ВСЕ ЗАГАДКИ И ПРИМЕНЕНИЕ БУТЫЛКИ КЛЕЙНА

I Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

ВСЕ ЗАГАДКИ И ПРИМЕНЕНИЕ БУТЫЛКИ КЛЕЙНА

Чукова Олеся Михайловна 1
1
Фладунг М.С. 1
1
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение

Глава 1

Феликс Христиан Клейн

  1.  

    1. Биография

1.2 Основные достижения

Глава 2

Загадки бутылки Клейна

2.1 Строение бутылки Клейна

2.2 Конструирование бутылки Клейна

Заключение

Библиографический список

ВВЕДЕНИЕ

Тема работы и обоснование выбора темы

Предлагаемая вниманию читателя исследовательская работа посвящена необычной и загадочной бутылке Клейна.

Я обратила на нее внимание после того, как наткнулась на очень интересную статью в Интернете по поводу самых причудливо-простых изобретений. Свою будущую жизнь я хотела бы связать с математикой и физикой, поэтому данный прибор меня заинтересовал своим строением.

Актуальность

Актуальность темы моей работы определяется тем, что современные учащиеся считают математику и физику одними из самых скучных и бесполезных предметов, хотя на самом деле все, что нас окружает, в той или иной степени взаимосвязано с математикой и физикой, а это, кстати говоря, очень интересно.

Новизна

На сегодняшний день существует множество работ по данной теме. Но новизна моей работы состоит в том, что таким образом я хочу показать учащимся математику и физику с занимательной интересной стороны, а не доказать какие-либо факты или закономерности.

Цель работы

Основной целью моей работы является рассмотрение бутылки Клейна с точки зрения математики.

Задачи

Для достижения поставленной цели нам необходимо решить следующие задачи:

  1. Охарактеризовать биографию Феликса Клейна;

  2. Познакомится с основными достижениями Клейна;

  3. Рассмотреть особенности строения бутылки Клейна;

  4. Выявить способы конструирования бутылки Клейна.

Глава 1

Научная деятельность Феликса Клейна.

  1.  

    1. Биография Феликса Клейна

Феликс Христиан Клейн родился 25 апреля 1849 в Дюссельдорфе, в семье чиновника. Окончил гимназию в Дюссельдорфе, затем учился математике и физике в Боннском университете. Сначала планировал стать физиком. В это время Юлиус Плюккер заведовал отделением математики и экспериментальной физики в Бонне, и Клейн стал его ассистентом. Однако главным интересом Плюккера была геометрия. Под его руководством Клейн стал доктором в 1868.

В 1868 году Плюккер умер. Клейн совершает поездку по Германии, знакомится с Клебшем и другими крупными математиками.

В 1872 году Клейн становится профессором Эрлангенского университета.

В 1875 году женился на Анне Гегель, стал профессором в Высшей технической школе в Мюнхене. Позже работал в Лейпцигском университете. В1882 году после серьезной болезни, начал заниматься педагогической и общественной работой. С1888 года работал в Гёттингенском университете. Его лекции пользовались большим успехом, слушатели приезжали со всего мира. Умер Клейн на 76 году жизни.

  1.  

    1. Основные достижения Феликса Клейна

Клейн опубликовал более 20 работ по неевклидовой геометрии, теории групп Ли, теории многогранников и эллиптическим функциям. Одним из важнейших его достижений стало первое доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Он построил пример односторонней поверхности — «бутылку Клейна».

Именем Феликса Клейна названы:

  • Математический центр в Германии

  • Кратер на обратной стороне Луны

  • Приз Европейского математического общества и Технологического университета Кайзерслаутерна (присуждается молодым математикам Европы в ходе Европейского математического конгресса (каждые 4 года) за практически полезные работы в области прикладной математики)

  • Медаль Международной комиссии по математическому образованию.

Имя Клейна носят следующие математические объекты:

  • группа Клейна

  • модель (интерпретация) Клейна

  • бутылка (поверхность) Клейна

На последнем изобретении мы бы хотели остановиться более подробно во второй главе.

Глава 2

Загадки бутылки Клейна.

2.1 Строение бутылки Клейна

Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность (то есть двумерное многообразие). Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г.немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиусаи проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Flache (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

Чтобы построить модель бутылки Клейна, понадобится бутылка с двумя дополнительными отверстиями: в донышке и в стенке. Горлышко бутылки нужно вытянуть, изогнуть вниз и, продев его через отверстие в стенке, присоединить к отверстию на дне бутылки. Для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве отверстие в стенке не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве.

В отличие от обыкновенного стакана, у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара, можно пройти путь изнутри наружу, не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

2.2 Конструирование бутылки Клейна

Способ № 1.Получение бутылки Клейна из бумаги. Прежде всего, нужно взять бумажный квадрат, перегнуть его пополам и соединить клейкой лентой его стороны. На обращенной к вам половине квадрата сделайте прорезь, перпендикулярную склеенным сторонам. Расстояние между прорезью и верхним краем трубки должно быть равно примерно четверти стороны квадрата. Согнув модель пополам вдоль пунктирной прямой, протащите нижний край трубки сквозь прорезь и склейте друг с другом верхнее и нижнее основания трубки. Правда, там, где поверхность самопересекается, в нашей модели прорезь, но легко представить себе, что края этой прорези соединены так, чтобы поверхность во всех своих точках была непрерывна и не имела края.

Способ № 2. Получение бутылки Клейна из стандартной пластмассовой бутылки. Необходимо взять бутылку с отверстием в донышке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки.

Способ № 3. Получение бутылки Клейна из одного цилиндра. Один из краёв цилиндра изгибается в обратную сторону, проходит сквозь цилиндр и склеивается с другим краем. Чтобы совершить это склеивание, необходимо исказить ширину цилиндра.

Способ № 4. Получение бутылки Клейна из ткани. Целесообразно взять кусок носка или колготок и проделать с ними то же, что и с цилиндром.

Способ № 5. Получение бутылки Клейна склеиванием двух листов Мёбиуса.Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространствесделать это, не создав самопересечения, невозможно.

Заключение

Как представить себе, на что похожа поразительная "бутылка" в реальности? Оказывается, невозможно построить абсолютно правильную модель этого объекта в нашем трехмерном мире: здесь будет наблюдаться пересечение поверхности, что напрочь отсутствует в четырехмерном измерении. Вывод: истинная "бутылка Клейна" может существовать только в четырехмерном измерении! Допустим, у нас есть бутылка с очень длинным горлом, в стенке и в донышке бутылки есть небольшие отверстия, соответствующие размеру горлышка. Берем бутылку за горло, изгибаем его, пропускаем вплотную через боковое отверстие, дотягиваемся горлышком до отверстия в дне бутылки и совмещаем их. Вот и получилось! Где - начало, где - конец? - сказать невозможно ... У такой бутылки нет края, и ее поверхности нельзя разделить на внешнюю (наружную) и внутреннюю!

Все вышесказанное подводит нас к мысли, что математика таит в себе много нового, неизведанного и интересного.

Библиографический список

1.М.Гарднер «Математические чудеса и тайны» «Наука» 1978 г., стр. 43 -

48.

2.Е.С. Смирнова «Курс наглядной геометрии» 6 класс. «Просвещение»

2002 г.т стр. 63 - 67.

3.Современный словарь иностранных слов. «Русский язык» 1993гг, стр.

146, 468: 579, 612.

4.И.Ф. Шарыгин . Л.Н. Еранжиева «Наглядная геометрия» 5-6 класс.

«Дрофа» 2000г.; стр. 69 - 72. 5.Энциклопедия для детей «Математика».

«Аванта+»2001г., стр. 111-112.

6. Научно-исследовательская работа «Этот удивительный лист Мёбиуса»

Окунев Д.О., 2009 год.

Интернет-ресурсы:

1.http://pictoris.ru/

2. http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_2.htm

3. http://www.whatisit.com.ua/index.php/other/288-2009-03-21-00-23-15

Просмотров работы: 11583