I Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

КАК ХОРОШО УМЕТЬ СЧИТАТЬ… ПРИЁМЫ БЫСТРОГО УМНОЖЕНИЯ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Гатилов М.Д. 1

---

1

Комазова С.В. 1

---

1

Работа в формате PDF

226.4 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение …………………………………………………………………………..3

Теоретическая часть

Часть 1.

Графический способ умножения…………………………..………………….....4

Часть 2.

Умножение на пальцах…………………………………………………………...5

Часть 3.

Лёгкий способ умножения на 11, в уме………………………….……………...6

Часть 4.

Возведение в квадрат чисел оканчивающихся на 5 ………………………..…7

Практическая часть……. …………………………………………………...….. 8

Заключение ………………………………………………………………………14

Источники информации ………………………………………………………...15

Введение

«Как хорошо уметь читать…», хотя уметь считать тоже неплохо. В библиотеке я увидел книгу «Быстрый счет» Я.И. Перельмана. Полистав ее, я понял, что долгие математические операции можно выполнять быстрее. Я спрашивал своих одноклассников, знают ли они другие способы счета? Все говорили только о тех способах, которые изучаются в школе. Оказалось, что все мои друзья ничего не знают о других способах. Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.

В истории математики известно около 30 способов умножения, отличающихся схемой записи или самим ходом вычисления. Метод умножения «в столбик», который мы изучаем в школе – один из способов. Но самый ли эффективный ли это способ? Давайте, посмотрим!

Актуальность:

В последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике. Многие ученики не знают даже таблицы умножения! Чтобы заинтересовать своих одноклассников, я решил показать им интересные способы умножения.

Цель исследования:

Оценка эффективности использования различных видов устных вычислений для значительного сокращения времени, потраченного на вычисления и запись решения.

Задачи:

1. Узнать об упрощённых, нестандартных способах устных вычислений при умножении натуральных чисел.

2. Рассмотреть и показать на примерах применение нестандартных способов при умножении чисел.

3. Помочь себе и товарищам овладеть вычислительными навыками, при этом, развивая память и внимание.

4. Собрать материал по теме, проанализировать и представить в виде исследовательской работы.

Методы исследования:

1. Сбор информации.

2. Систематизация и обобщение.

3. Проведение мастер класса.

4. Анкетирование.

Гипотеза:

Существующие специальные способы умножения, сокращают время, потраченное на вычисления, позволяют свести вычисления к устным, рассчитанные на ум «обычного» человека и не требующие уникальных способностей.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Часть 1.

Графический способ умножения

Мы в школе учили таблицу умножения наизусть. Да это надо! Но многие мои одноклассники до сих пор испытывают затруднения.

Данный способ заключается в изображении множителей с помощью пересечения вертикальных и горизонтальных линий соответственно множителям. Результатом произведения считается количество пересечений. Например: 3*2 =6

Так же можно считать и двузначные числа, например 32 * 21. На листе бумаги поочередно рисуем линии, количество которых определяется из данного примера. Сначала 32 – линии первого числа рисуются в направлении из верхнего левого угла в нижний правый: сначала 3 линии и чуть ниже - 2 . Затем 21: из нижнего левого, в верхний правый перпендикулярно уже нарисованным, рисуем сначала 2 лини, затем - 1. Затем считаем количество точек пересечения в каждой из трех областей (на рисунке области обозначены в виде окружностей). Итак, в первой области ( область сотен) - 6 точек, во второй (область десятков) - 7 точек, в третьей (область единиц) - 2 точки. Следовательно ответ: 672.

Часть 2.

Умножение на пальцах

Поверните кисти ладонями к себе и присвойте каждому пальцу цифры от 6 и до 10 начиная с мизинца.

Теперь попробуем умножить, например, 7*8. Для этого соедините палец №7 на левой руке с пальцем №8 на правой.

А теперь считаем пальцы: количество пальцев под соединенными, вместе с ними – это десятки. А пальцы левой руки, оставшиеся сверху, умножаем на пальцы правой – это и будут наши единицы (3*2=6). Десятки и единицы складываем, и получаем 56.

Снова поверните кисти ладонями к себе, но теперь нумерация пальцев будет идти по порядку с лева на право, то есть от 1 до 10.

Теперь умножаем, например, 2*9. Это значит загибаем палец №2. Все то, что идет до пальца №2 – это десятки (то есть 1 в этом случае). А все то, что остается после пальца №2 – единицы (то есть 8). В итоге получаем 18.

Часть 3.

Лёгкий способ умножения на 11 «в уме»

Для того, чтобы умножать на 11 существует специальный метод, позволяющий совершать операции даже с очень большими множителями. Для начала продемонстрирую пример того, как можно умножить на 11 любое двузначное число.

Пример 42*11 решается просто. Пишем цифры «4» и «2», а между ними «4+2». Получается 462 – это и есть верный ответ. Если сумма в скобках больше 10, тогда пишем по центру количество единиц от суммы, а к первой цифре добавляем «1». Например:

93*11 = 9 (9+3) 3 = 1023

Конечно, можно умножить 93 на 10, и к 930 прибавить 93. Но этот несколько сложнее. В примерах с двузначными числами разницы в скорости решения между описанным выше и традиционным методами практически нет. Но если на 11 умножать большие числа, то сокращенный метод может быть более эффективным. По сути техника умножения на 11 любого числа сводится к сложению соседних чисел. К примеру, умножим 51726 на 11. Вначале пишем первую цифру «5», затем последнюю «6», а между ними суммируем все цифры последовательно.

51 726 * 11 = 5 (5+1) (1+7)(7+2)(2+6) 6 = 568 986

Если сумма в скобках дает результат больше 9, то поступаем также как и в примере с двузначными числами. Не смотря на то, что ответ получается громоздким, мы его получили достаточно просто.

Возведение в квадрат числа, содержащего в себе одни единицы.Все что нам понадобится – подсчитать количество единиц. Для наглядности возведем в квадрат сто одиннадцать тысяч сто одиннадцать. Звучит впечатляюще? Записываем 111111². Подсчитываем количество единиц – 6. А теперь записываем подряд числа от 1 до 6 и опять до 1: 111111²= 12345654321.

Часть 4.

Возведение в квадрат чисел оканчивающихся на 5.

Кто-то может посчитать, а зачем это надо, ведь есть более надежный вариант - калькулятор, но на школьных экзаменах калькулятором пользоваться нельзя, в задачах надо оперировать порой большими числами, а значит решать в столбик, на что уходит драгоценное время. А возвести в квадрат число, оканчивающееся на 5, особенно если оно двухзначное, займет 1-2 секунды - проверим?

Итак, как найти квадрат числа, оканчивающегося на 5?

Возведем в квадрат 15 или умножим 15 на само себя:

15*15=225

А теперь по схеме, которая отнимет у Вас пару секунд:

1. Выделим цифры в числе, стоящие до 5 (в нашем случае - это 1)

2. Выделенное число умножим на число единицей больше (в нашем случае: 1 умножим на 2, итого: 1*2=2)

3. К полученному ответу подпишем в конце 25 - ответ готов (в нашем случае к 2 подписываем 25, результат 225). Получилось? Еще несколько примеров:

Трехзначные, четырехзначные и более числа, оканчивающиеся на 5 можно возводить в квадрат по той же схеме, что и квадраты двузначных чисел, но перед 5 будет уже стоять не однозначное число, а значит придется перемножать двухзначные, трехзначные и более числа. А это уже не пара секунд, но если под рукой нет калькулятора, перемножить эти числа в столбик все равно будет быстрее, чем возвести в квадрат нужное число, т.к. это число на порядок больше.

Анкетирование

Преждечем начать исследование необходимо было выяснить, знают ли учащиеся о приёмах быстрого счёта и применяют ли их при выполнении заданий. Мною было проведено анкетирование (приложение 1) в 2-4 и 5-7 классах по вопросам (Анкета №1):

1. Хорошо ли ты знаешь таблицу умножения от 1 до 9?

2. Умеешь ли ты выполнять умножение двузначных чисел в уме ?

3. Знакомы ли тебе способы быстрого счёта?

4. Ты хотел бы научиться быстро считать?

Выяснилось:

Рис. 1. Результаты анкетирования №1

Не все уверены в своих силах, но очень хотелось бы научиться быстро считать.

После проведения нескольких мастер классов и тренинговых упражнений было проведено повторное анкетирование (Анкета №2):

1. Понравились ли тебе способы быстрого счёта?

2. Ты сможешь их применить самостоятельно?

3. Как ты думаешь, тебе помогут эти способы быстрого счёта в учёбе?

4. Какой способ тебе понравился больше всего?

Рис.2. Результаты анкетирования №2.

На четвёртый вопрос:

- в начальной школе ответили: 54% - умножение на 11; 28% - умножение на пальцах; 18% - графический способ;

- в 5-7 классах: 25% - умножение на 11; 38% - умножение на пальцах; 8% - графический способ; 25 % - возведение в квадрат чисел оканчивающихся на 5; 4% - не понравился никакой способ.

Практическая часть включает в себя изучение динамики развития вычислительных навыков. Была выдвинута следующая гипотеза: с помощью приемов быстрого счета можно уменьшить время вычисления.

Объект исследования: 5-7 классы.

Время проведения: декабрь-февраль.

Для диагностики был составлен ряд однотипных упражнений, состоящих из 5 примеров на умножение и возведение в квадрат (см. Приложение 2. «Реши примеры»).

Диагностика проводилась в несколько этапов:

1. Определение времени решения данных примеров известными способами;

2. Тренинговые занятия с использованием быстрых способов умножения;

3. Определение времени решения данных примеров с помощью быстрых способов умножения.

Обработка результатов показала:

На первом этапе (декабрь) учащиеся 5-7 классов показали результат в 3 мин. 46 сек.

После изучения способов быстрого умножения (февраль), 5 заданий было решено за 3 мин. 8 сек.

Ниже приведена диаграмма, из которой видно, что прослеживается динамика развития вычислительных навыков приемов быстрого счета.

Рис.3. Динамика развития вычислительных навыков учащихся

Таким образом, принимаем гипотезу о том, что можно улучшить вычислительные навыки с помощью приемов быстрого счета.

Необходимым условием успешной работы, так или иначе связанной с вычислениями, является владение культурой счета. Основу культуры счета составляют вычислительные навыки, совершенствование которых возможно только в практической деятельности. В своей работе мы попытались показать эффективность использования различных приемов устного счета, из которых каждый ученик может выбрать те, которые показались ему целесообразными, и применять их на практике.

В результате проведения практических занятий мы подтвердили, что различные приемы устного счета помогают быстрее и правильней выполнять вычисления, что в свою очередь тренирует внимание и память, формирует числовую зоркость, развивает память.

Научиться быстро и правильно считать не так уж сложно. Вышеперечисленные способы быстрого устного счета рассчитаны на ум "обычного" человека и не требуют уникальных способностей. Главное - более или менее продолжительная тренировка. Наработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной, надо стремиться к тому, чтобы как можно больше освоить “хитрых” приемов.

Мне было очень интересно работать над проектом. Я изучил новые для меня способы умножения. У меня появилось желание продолжить нашу работу и узнать ещё многие другие способы устного счёта.

В заключение подчеркнем, что устный счет развивает механическую память, быстроту реакции, умение сосредоточиться, а поиски и обоснование новых приемов служат формированию логических умений. Вот так простые устные упражнения на каждом уроке могут развить каждого из нас. Нужно только стараться и усердно работать!

1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с.: ил.

2. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки/ Под редакцией М.К. Потапова, текстол. Обработка Ю.В. Нестеренко. – 4-е изд. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984, 192 с.

3. Игры и развлечения. Кн.I/Сост. Л.М. Фирсова. – Ь.: Мол. Гвардия, 1989. – 237 c., ил.

4. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. шк. - 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988. – 160 с.: ил.

5. Перельман Я.И. Живая математика. - Екатеринбург, Тезис, 1994.

6. Перельман Я.И. Быстрый счёт. - Екатеринбург, Тезис, 1994.

7. Ткачева М.В. Домашняя математика. - М., Просвещение,1993.

8. Зайкин М.Н. Математический тренинг. - Москва, 1996.

9. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.

10. Борода Л.Я., Борисов А.М. Некоторые формы по привитию интереса к математике. //Математика в школе. - 1990, №11.– с.39-44.

11. Зимовец К.А., Пащенко В.А. Интересные приемы устных вычислений. //Начальная школа. – 1990, №6. - с.44-46.

12. Иванова Т. Устный счёт. // Начальная школа. – 1999, №7. - с.11-14.

13. Липатникова Н.Г. Роль устных упражнений на уроках математики. // Начальная школа. - 1998, №2. - с.34-38.

1. www.school.edu.ru

2. www.ik.net/~stepanov/

3. http://www.junior.ru/students/chukhua/shestoe%20chyvstvo.htm

Приложение 1.

Анкета 1

1. Хорошо ли ты знаешь таблицу умножения от 1 до 9?

Да Нет

1. Умеешь ли ты выполнять умножение двузначных чисел в уме ?

Да Нет

1. Знакомы ли тебе способы быстрого счёта?

Да Нет

1. Ты хотел бы научится быстро считать?

Да Нет

Анкета 2

1. Понравились ли тебе способы быстрого счёта?

Да Нет

1. Ты сможешь их применить самостоятельно?

Да Нет

1. Как ты думаешь, тебе помогут эти способы быстрого счёта в учёбе?

Да Нет

1. Какой способ тебе понравился больше всего?

Приложение 2.

Реши примеры:

1. 9*6 =

2. 36*11 =

3. 1111² =

4. 95² =

5. 115² =

Реши примеры:

1. 9*7 =

2. 26*11 =

3. 111² =

4. 85² =

5. 105² =

14