ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИЙ

I Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИЙ

Басько Александра Георгиевна 1
1
Колокольцева А.В. 1
1
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

23

Научно-исследовательская работа

Тема работы: «Практическое применение арифметической и геометрической прогрессий»

Выполнила:

Басько Александра Георгиевна

учащаяся _10__ класса

БОУ «Средней общеобразовательной школы № 1

имени Героя Российской Федерации

Туркина Андрея Алексеевича»

Динского района

Краснодарского края

Руководитель:

Колокольцева Анна Витальевна

учитель математики

БОУ «Средней общеобразовательной школы №1

имени Героя Российской Федерации

Туркина Андрея Алексеевича»

Динского района

Краснодарского края

Оглавление

1. Введение 3

2. Практическое применение арифметической и геометрической прогрессий: 4

2.1. Историческая справка

2.2 Определения и формулы

2.3 Применение прогрессий в разных отраслях

2.4 Задачи на прогрессии с практическим содержанием из различных источников

3. Заключение 19

4. Список использованной литературы и источников 20

1. Введение

В настоящее время актуальным вопросом становится проблема соотношения, изучаемого в школьном курсе математики, материла с жизнью. В 9 классе мы изучаем прогрессии: даем определение, учимся находить по формуламлюбой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии. В заданиях ОГЭ используются задачи на применение основных формул прогрессий, но как эти понятия связаны с жизнью. В заданиях ЕГЭ по математике также есть задачи на применение арифметической и геометрической прогрессий, но уже с практическим содержанием.

В данной работе мы хотим найти ответы на вопросы: имеет ли это какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Проблемный вопрос:

Действительно ли прогрессии играютбольшую роль в повседневной жизни?

  • Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии.

  • Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий

Гипотеза исследования:

На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Цель исследования: установить картину возникновенияпонятия прогрессии и выявить примерыих применения, создать сборник задач с практическим применением прогрессий с решением, так как в задачах ЕГЭ можно встретить задачи на прогрессии.

2.Практическое применение арифметической и геометрической прогрессий

2.1Историческая справка

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. О прогрессиях и их суммах знали древнегреческие ученые.Архимед (III в. до н.э.) для нахождения площадей и объемов фигур вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел.

12 +22+32+………+п2= 1/6 п(п+1)(2п+1).

Термин «прогрессия» (от латинского progression, что означает «движение вперед») был введен римским автором Боэцием (VI в.)

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (IIIв.)

Известна интересная история о знаменитом немецком математике К.Гауссе (1777-1855), которыйеще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил ему сложить натуральные числа от 1 до 100. Маленький гаусс решил эту задачу за 1 минуту.

В истории математики:Величайший немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс родился в городе Брауншвейг (Германия). Его отец, садовник и фонтанный мастер, славился искусством быстро и легко считать. Эта способность перешла к сыну, говорившему позднее, что он «умел считать раньше, чем говорить». Первый успех пришёл к Гауссу в 9 лет. Школьный учитель велел ученикам найти сумму целых чисел от 1 до 40. Он рассчитывал надолго занять учеников этой задачей. Но Гаусс мгновенно сообразил, как сгруппировать слагаемые, и выдал ответ:

(1 + 40) + (2 + 39) + (3+ 38) + …. = = 820. Найдите формулу, с помощью которой можно быстро вычислить сумму целых чисел от 1 до n/

Решение. Из формулы Sn сразу получаем, что искомая сумма равна

Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до насдокументах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:1+2+3+…..+n=

2+4+6+…..+n= n(n+1)

Древний Египет. Формула, которой пользовались египтяне: Задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры»

Формула, которой пользовались египтяне:a= –( n-1) * ( S = *n)

Задача из папируса Райнда «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?» Решение задачи Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.

2.2Определения и формулы

Определение арифметической прогрессии:

Последовательность (an) , каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называетсяарифметической прогрессией. Число d - разность прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно равенством an+1= an+d

Разность арифметической прогрессии: d=an+1 -an

  1. Если , то (an) - возрастающая

  2. Если , то (an) - убывающая

  3. Если , то (an) - постоянна

Последовательность (an) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, то есть .

Сумма членов арифметической прогрессии, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная, то есть

.a1+an=a2+an-1=….

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Определение геометрической прогрессии:

Последовательность , первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, называется геометрической прогрессией. Число q- знаменатель прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно равенством bn+1 =bnq, где .

Отношение любого члена геометрической прогрессии и ему предшествующего члена, равно одному и тому же числу q:

  1. Если , то - монотонна

  2. Если , то - постоянна

Последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, то есть .

Произведение членов геометрической прогрессии, равностоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии:

, где

Формулы суммы n членов геометрической прогрессии:

  1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при равна

2.3 Применение прогрессий в разных отраслях

Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии.

Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуютгеометрическую прогрессию.

Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность.Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части.Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам,раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.

Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени ихчисло удваивается.

В литературе:«…Не мог он ямба от хореяКак мы не бились отличить…». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8;…Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечетные слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7;..

Примеры.

Ямб. «Мой дЯдясАмыхчЕстныхпрАвил…», прогрессия 2; 4; 6; 8;…

Так бей, не знай отдохновенья,

Пусть жила жизни глубока:

Алмаз горит издалека —

Дроби, мой гневный ямб, каменья!

(А. Блок)

Хорей. «Я пропАл, как звЕрь в загОне» Б. Л.Пастернак, «БУря мглОю нЕбо крОет» А. С. Пушкин, прогрессия 1; 3; 5;7

Яблони и сизые дорожки, Изумрудно-яркая трава На берёзах — серые серёжки И ветвей плакучих кружева.

Листья падают в саду…В этот старый сад, бывало, Ранним утром я уйду И блуждаю, где попало. (И. Бунин)

Например, проведенный Н. Васютинским анализ стихотворений А. С. Пушкина с этой точки зрения показал, что размеры стихов распределены весьма неравномерно; оказалось, что Пушкин явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).Многими исследователями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них также существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения.

В медицине: Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Найдя сумму первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства.

Решение. Составим математическую модель задачи:

5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

ап1+d(n-1),

40=5+5(п-1),

п=8,

Sп=((a1+aп)n)/2, S8=(5+40)·8:2=180,

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

В спорте: Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

Решение. Составим математическую модель задачи: 1400, 1300, …, 1400-100(n-1). a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.

Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;

5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2; Условию задачи удовлетворяет

10000= (2800-100 n+100) n; n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn>0)

10000= (2900-100 n) n; Значит, альпинисты покорили

100 n2-2900 n+10000=0; высоту за 4 дня.

n2-29 n+100=0; n=25, n=4. Ответ: за 4 дня.

В строительстве: Представьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу.

Количество бревен легко подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице.

Решение. Составим математическую модель задачи: 1, 2, 3, 4,…,12.Это арифметическая прогрессия, а1=1,d=1,аn=12.

Надо найти n.аn=a1+d(n-1); 12=1+1(n-1); n=12.Sn=(a1+an)∙n:2; Sn=(1+12)•12:2; Sn=78.В одной кладке находится 78 бревен.Ответ: 78 бревен.

В банковских расчетах: a – первоначальный вклад;p – проценты p % годовых;t – срок хранения вклада.

1. В конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, т. е. полученную прибыль в размере руб. Математическая модель ситуации-конечная арифметическая прогрессия.

руб.- формула простых процентов

2.Прийти в банк один раз – в конце срока хранения вклада. Математическая модель ситуации – конечная геометрическая прогрессия.

– руб. формула сложных процентов.

2.4 Задачи на прогрессии с практическим содержанием из различных источников

Строительство:

Задача №1 (КДР, математика 11 класс, январь 2014)

Бри­га­да ма­ля­ров кра­сит забор дли­ной 240 мет­ров, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму по­крас­ки на одно и то же число мет­ров. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний день в сумме бри­га­да по­кра­си­ла 60 мет­ров за­бо­ра. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней бри­га­да ма­ля­ров кра­си­ла весь забор.

Решение:

,

30n=240

n=8

Ответ: 8 дней

Задача № 2(КДР, математика 11 класс, январь 2014)

Бригада маляров красит забор длиной 750 метров, ежедневно увеличивая норму

покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний

день в сумме бригада покрасила 150 метров забора. Определите, сколько дней

бригада маляров красила весь забор.

Решение:

Sn=150*, Sn=750

75n=750, n=10

Ответ: 10 дней.

Задача № 3 («http://reshuege.ru/»)

Ра­бо­чие про­кла­ды­ва­ют тон­нель дли­ной 500 мет­ров, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму про­клад­ки на одно и то же число мет­ров. Из­вест­но, что за пер­вый день ра­бо­чие про­ло­жи­ли 3 метра тон­не­ля. Опре­де­ли­те, сколь­ко мет­ров тон­не­ля про­ло­жи­ли ра­бо­чие в по­след­ний день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 10 дней.

Решение:

,

..n = 10

Ответ: 97 метров

Задача №4 (КДР, математика 11 класс, январь 2014)

Гру­зо­вик пе­ре­во­зит пар­тию щебня мас­сой 210 тонн, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму пе­ре­воз­ки на одно и то же число тонн. Из­вест­но, что за пер­вый день было пе­ре­ве­зе­но 2 тонны щебня. Опре­де­ли­те, сколь­ко тонн щебня было пе­ре­ве­зе­но за де­вя­тый день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 14 дней.

Решение:

,n = 14

d = 2

Ответ: 18 тонн

Задача №5 Студенты должны выложить плиткой мостовую. В 1 день они выложили 3 м². Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м² больше, чем в предыдущий. Сколько м2 уложат студенты в 15 день?

Решение:

+d

5= 3+d

d= 2

Ответ: 31 тонн

Банковские расчеты:

Задача №1 («http://reshuege.ru/»)

Биз­не­смен Буб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 5000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 300% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Буб­ли­ков за 2003 год?

Решение:

1)

2) 2001 год

2002год

2003 год

64*5000=320000

Ответ: 320000 рублей заработал бубликов за 2003 год

Задача № 2 («http://reshuege.ru/»)

Ком­па­ния "Альфа" на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать сред­ства в пер­спек­тив­ную от­расль в 2001 году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре 5000 дол­ла­ров. Каж­дый год, на­чи­ная с 2002 года, она по­лу­ча­ла при­быль, ко­то­рая со­став­ля­ла 200% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года. А ком­па­ния «Бета» на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать сред­ства в дру­гую от­расль в 2003 году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре 10000 дол­ла­ров, и, на­чи­ная с 2004 года, еже­год­но по­лу­ча­ла при­быль, со­став­ля­ю­щую 400% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года. На сколь­ко дол­ла­ров ка­пи­тал одной из ком­па­ний был боль­ше ка­пи­та­ла дру­гой к концу 2006 года, если при­быль из обо­ро­та не изы­ма­лась?

Решение:

A) (2001 год) B)

(2002 год)

(2003 год)

(2004 год)

(2005 год) 125*10000=1250000$

(2006 год)

243*5000=1215000$

1250000-1215000= на 35000$ капитал одной компании был больше другой

Ответ: на 35000$

Задача № 3Клиент взял в банке кредит в размере 50000 рублей на 5 лет под 20 % годовых. Какую сумму клиент должен вернуть банку в конце срока?

Решение:.

t = 5

p = 20%

Ответ: 124416 рублей

Задача № 4 Два приятеля положили в банк по 10000 рублей каждый, причем первый положил деньги на вклад с ежеквартальным начислением 10 %, а второй- с ежегодным начислением 45%. Через год приятели получили деньги вместе с причитающимися им процентами. Кто получил большую прибыль?

Решение:

a = 10000 p = 10% t = 4

Ответ: Первый приятель получил большую прибыль

Медицина:

Задача № 1 Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобыдостичь их максимальной продолжительности 1ч 45мин?

Решение:

n = 10

Ответ: на 10 дней

Задача № 2 Отдыхающий, следуя совету врача, в первый день загорал 5 минут. А в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 минут. НА какой день время пребывания на солнце будет равно 40 минут?

Решение:

Ответ: на 8-ой день

Задача № 3 Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день – на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства что составляет 250 капель?

Решение:

n = 8

40*3+40+40=200 капель нужно

Ответ: 2 пузырька

Спорт:

Задача № 1(Сборник конкурсных задач по математике под редакцией М.И.Сканави)

В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах - одно очко, за каждый последующий- на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Решение:

25-4=21

Ответ : в 21 раз

Задача № 2 В угловом секторе стадиона в первом ряду 7 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в 26-ом ряду?

Решение:

а1=7 , d=2

a261+d*25=7+25*2=57

Ответ: в 26 ряду 57 мест

Другие задачи:

Задача № 1(«http://reshuege.ru/»)

Васе надо ре­шить 490 задач. Еже­днев­но он ре­ша­ет на одно и то же ко­ли­че­ство задач боль­ше по срав­не­нию с преды­ду­щим днем. Из­вест­но, что за пер­вый день Вася решил 5 задач. Опре­де­ли­те, сколь­ко задач решил Вася в по­след­ний день, если со всеми за­да­ча­ми он спра­вил­ся за 14 дней.

Решение:

n=14,

Ответ: 65 задач

Задача № 2 («http://reshuege.ru/»)

Вере надо под­пи­сать 640 от­кры­ток. Еже­днев­но она под­пи­сы­ва­ет на одно и то же ко­ли­че­ство от­кры­ток боль­ше по срав­не­нию с преды­ду­щим днем. Из­вест­но, что за пер­вый день Вера под­пи­са­ла 10 от­кры­ток. Опре­де­ли­те, сколь­ко от­кры­ток было под­пи­са­но за чет­вер­тый день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 16 дней.

Решение:

Ответ: 22 открытки

Задача №3 («http://reshuege.ru/»)

Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту - на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?

Решение:

а1=30

d=5

Sn=525 n=10 или n=-21-не удов. усл. задач.

an=a1+d*(n-1)=30+5(n-1)=25+5n

Sn=1/2*(a1+an)*n=1/2*(30+25+5n)*n=525

(55+5n)*n=525*2

(11+n)*n=105*2

n2+11n-210=0

Ответ: за 10 минут

Помимо того, что в данной работе рассмотрены задачи на прогрессии, взятые из различных источников по разным отраслям, меня заинтересовал вопрос: если в класс, в котором учится 27 учащихся, пришел заболевший ученик и пробыл среди данных учащихся весь учебный день, как быстро могут заболеть все учащиеся класса?

Попадая в благоприятные условия, бактерия делится, образуя две дочерние клетки; у некоторых бактерий деления повторяются через каждые 20 минут и возникают все новые и новые поколения бактерий. Заметим, что данная последовательность образует геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2. В сутках 1440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=72, находим, что S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 709 213 696 - 1 = 4 722 366 482 869 645 709 213 695. Нетрудно заметить, что через час четвёртый член последовательности будет равен 8, через 2 часа- седьмой член последовательности будет равен 64 и т.д. Через 6 часов 19-ый член такой прогрессии будет равен 262144 и т.д. Таким образом, 262144 вырабатывается бактерий у одного заболевшего ребенка за 6 часов.262144*2n=4 722 366 482 869 645 213 696

2n=

n=54 поколения, а это 18 часов, т.е. за 18 часов попадания инфекции в организм человек заболевает. При благоприятных условиях на следующий день заболевших учащихся уже будет четверо и т.д., следовательно, 27 учащихся могут заболеть через 3 дня.

3. Заключение:

В данной работе рассмотрены исторические сведения о практическом применении последовательностей, а именно арифметической и геометрической прогрессии; основные определения и формулы; рассмотрены примеры применения арифметической и геометрической прогрессии в различных отраслях, решены задачи из различных источников на применение арифметической и геометрической прогрессии с практическим содержанием по отраслям. Цели и задачи, поставленные нами перед написанием работы, достигнуты полностью.

Последовательности часто используется в разных отраслях нашей жизни. Мы сами не замечаем, как используем ее повседневно. Она помогает избегать нам неудачные ситуации, предугадывая правильный ответ. Знания по данной теме помогут мне в подготовке к ЕГЭ по математике, а также в различных жизненных ситуациях.

4. Список использованной литературы и источников

1. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М. :Дрофа, 2000,-352с..

2. Бондаренко Т.Е. Разноуровневые дидактические материалы по алгебре для 9 класса/. Воронеж. 2001.

3. Гончарова Л.В.. Предметные недели в школе. Математика. – Волгоград.: Учитель, 2001.

4. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М., Просвещение, 1981.

5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра 9. – М.: Просвещение,2011.

6. Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 2000. №46.

7. М.И. Сканави. Сборник конкурсных задач по математике. Выпуск 2., 1998.

8. Понятие арифметическая прогрессия. Формула n – члена арифметической прогрессии: http://arprog.ru/

9. http://festival.1september.ru

10. http://reshuege.ru/

11. http:// repetitor-problem.net

12. www.metodichka.net

Просмотров работы: 14562