IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ МИРЫ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ОБЪЕКТОВ
Крыжановский Д.В.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение.

Идея «параллельных миров» многим знакома по научной фантастике. Сейчас в науке возникает парадигма «параллельных миров», основой которой служит идея логической многомерности [1 — 3] и метод когнитивной компьютерной графики [4].

Трансцендентные объекты в философии

Трансцендентным (от лат. transzendere - выходить за пределы) объектом называют такой, в реальности которого мы не сомневаемся, но познать его с помощью здравого смысла или научного знания - не можем. Трансцендентную природу имеют душа, совесть, свобода воли, нравственные и эстетические определенности. Эти объекты недоступны теоретическому познанию, и мы не можем иметь в отношении них какие-либо конкретные знания. Тем не менее, мало кто из людей сомневается в реальности совести или души. Идеальные факторы и мотивы оказывают на поведение людей иногда даже большее значения, чем материальные интересы. Об этом свидетельствуют бесчисленные примеры героизма, верности долгу, религиозного и идеологического фанатизма. [5]

Трансцендентные объекты встречаются и в математике, о них мы и поговорим.

Цель исследования: знакомство с идеей второго логического измере­ния и демонстрация возможностей идеи «параллельных миров» для получения «портретов» трансцендентных чисел.

Гипотеза: Концепция параллельных миров становится символом прогресса науки и тех­ники. Наглядный образ параллельных миров дают радиошкалы, непрерывное пе­ремещение по которым сменяется дискретным перескоком при изменении диапа­зона.

Задачи проекта:

  • изучить целесообразность применения графики Pascal ABC в программировании обусловленные спецификой задач;

  • определить область памяти, предназначенной для хранения промежуточных значений локальных переменных.

Методы исследования:

  • анализ информационных источников

  • изучение возможностей программных средств для решения специфических задач.

История.

В 1882 году немецкий математик Линдеман доказал, что число π трансцендентно. Из этого сразу следует невозможность решения одной из знаменитых задач древности.

Этих задач было три: об удвоении куба, о трисекции угла и о квадратуре круга. Их пытались решить еще математики Древней Греции.

По древнейшим библейским легендам о числе «Пи» было известно еще вавилонским жрецам. Они пользовались им для расчетов при строительстве Вавилонской башни. Однако справиться с проектом они не смогли, так как не удалось точно высчитать точное значение этого числа.

Впервой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил p с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1'. Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии. Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число p только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что p можно отыскать, исользуя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить p с какой угодно точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом p английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое У.Джонсоном обозначение стало обшеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.В конце XVIII в. А. М. Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что число p иррационально. Затем немецкий математик Ф. Линдеман, опираясь на исследования Ш.Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине окружности, невозможно, а следовательно, не существует решения задачи о квадратуре круга.Поиски точного выражения p продолжались и после работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540-1610) (некоторое историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа p с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа. К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа p. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число "пи". Некоторые из этих формул позволяют вычислить "пи" приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. Ряд [6].

В процессе вычислений этих самых знаков было открыто множество разных научных методов и целых наук. Но самое главное — в десятичной части числа пи нет повторений, как в обычной периодической дроби, а число знаков после запятой у него — бесконечно.

На сегодняшний день проверено, что в 500 млрд. знаков числа пи повторений действительно нет.

Поскольку в последовательности знаков числа пи нет повторений — это значит, что последовательность знаков пи подчиняется теории хаоса, точнее, число пи — это и есть хаос, записанный цифрами. Более того, при желании, можно этот хаос представить графически, и есть предположение, что этот Хаос разумен.

В 1965 году американский математик М. Улэм, сидя на одном скучном собрании, от нечего делать начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число пи. Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Попутно он обводил все простые числа кружками. Каково же было его удивление и ужас, когда кружки стали выстраиваться вдоль прямых! Позже он сгенерировал на основе этого рисунка цветовую картину с помощью специального алгоритма. Что изображено на этой картине — засекречено.

Этот случай произошедший с М.Улэм вдохновил меня на исследование графического построения числа Пи с помощью системы программирования PascalABC. Тем самым я хотел приоткрыть завесу на миры трансцендентных чисел. Используя текстовый файл pi.txt, в котором хранится число Пи как источник ввода для создания двумерного массива чисел, а также заполнения графического окна окружностями залитыми цветами, закодированными числовым кодом Пи.

Основная часть

Концепция параллельных миров становится символом прогресса науки и тех­ники. Наглядный образ параллельных миров дают радиошкалы, непрерывное пе­ремещение по которым сменяется дискретным перескоком при изменении диапа­зона. Примером может служить современная организация компьютерной памяти как системы прямого доступа (реализованная при помощи треков магнитных дис­ков). Сегодня никто не захочет вернуться вспять к системе последовательного дос­тупа (на магнитной ленте), основанной на логически непротиворечивой непрерыв­ности. Нормаль к параллельным мирам порождает новое измерение, образуя дву­мерные логические объекты.

Математика обязана своей поразительной эффективностью сверхмощи пара­доксальных понятий. Математики уже давно оперируют логическими векторами. Сила парадокса в том, что смысл всегда берется в нескольких направлениях одно­временно.

Трансценде́нтность (трансценденция, прил. трансценде́нтный) (от лат. transcendens — переступающий, превосходящий, выходящий за пределы) — философский термин, характеризующий то, что принципиально недоступно опытному познанию или не основано на опыте. В широком смысле трансцендентное понимается в качестве «потустороннего» в отличие от имманентного как «посюстороннего» [1].

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами (не равного тождественно нулю).

Их свойства

Множество трансцендентных чисел континуально.

Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число — иррациональное,

но не трансцендентное: оно является корнем многочлена (и потому является алгебраическим).

Порядок на множестве вещественных трансцендентных чисел изоморфен порядку на множестве иррациональных чисел.

Мера иррациональности почти всякого трансцендентного числа равна 2.

Примеры

Число π

Число е

Десятичный логарифм любого целого числа, кроме чисел вида 10n.

sin a, cos a и tg a для любого ненулевого алгебраического числа a (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).

Объектом исследования является трансцендентные числа π и e.

Первым шагом исследовательской работы стало создание программы формирования двумерного массива целых чисел ввод которых осуществляется из текстового файла pi.txt в котором содержится число π., или e.txt в котором содержится число e. Программа позволяет регулировать размер матрицы за счет ввода пользователем количества строк и столбцов.

Эксперименты с программой «π»

program p1;

Const

str = 1000;

st = 1000;

type matrix= Array [1..str, 1..st] of integer;

var p,i,j,x,z,y:integer;

f:text;

m:matrix;

begin

assign (f, 'C:/pi .txt');

reset (f);

writeln('введите параметры двумерного массива по горизонтали и вертикали z,y');

readln(z,y);

p:=0;

while not eof (f) do begin

for j:=1 to y do

begin

for i:=1 to z do

begin

readln(f,x);

write('',x);

end;

writeln ('');

end;

end;

close(f);

end.

Размер массива по вертикали y=10, по горизонтали z=100

Размер массива по вертикали y=20, по горизонтали z=50

Эксперименты с программой «E»

……..

assign (f, 'C:/E.txt');

……

Размер массива по вертикали y=10, по горизонтали z=100

Вторым шагом исследовательской работы стало создание программы формирования графического изображения образно представляющей трансцендентное число π, или e данные содержащиеся в исходных файлах pi.txt или e.txt представляли код цветовой палитры. Эта программа позволяет формировать по выбору пользователя размер графического окна в котором будет изображен графический код трансцендентных чисел π или e.

Программа построения графического изображения трансцендентных чисел π и e.

program pi;

uses GraphABC;

var i,j,x,q,m,n:integer;

f: text;

begin

writeln('Введите параметры двумерного массива по горизонтали и вертикали z,y ');

readln(m, n);

SetWindowSize(m,n);

assign(f, 'c:pi .txt');

reset(f);

i:=10;

while not eof(f) do begin

while i