IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ЖИВОПИСИ
Егорова А.И.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Я больше всего дорожу аналогиями,

моими верными учителями .Они знают

все секреты природы, и ими меньше всего

следует пренебрегать.

Ян Кеплер

ВВЕДЕНИЕ

Наука и искусство – два основных начала в человеческой культуре, две дополняющие друг друга формы высшей творческой деятельности человека. В истории человечества были времена, когда эти начала дружно уживались, а были времена , когда они противоборствовали. Но видимо высшая их цель – быть взаимодополняющими гранями человеческой культуры, потому что даже в самой сердцевине науки есть элемент искусства, а всякое искусство несѐт в себе частицу научной мудрости.

В 90 – е годы прошлого века начали говорить о необходимости сочетать серьезное естественно-научное и техническое образование с гуманитарным. Сейчас все большую популярность завоевывает такая, на первый взгляд, парадоксальная идея: лучшее усвоение знаковой информации, которую несет математика, происходит при помощи лучшего усвоения образной информации – музыки, поэзии, живописи.

Цель исследования – рассмотреть математико-гуманитарные и геометрические аналогии. Доказать, что математика и жиовпись тесно связаны.

Задачи исследования:

  1. Изучить учебную, методическую, энциклопедическую литературу.

  2. Определить сущность аналогии и ее виды.

  3. Провести свое исследование по установлению связи между живописью и математикой.

  4. Выделить признаки сравниваемых объектов, находящихся во взаимной зависимости, как в живописи, так и в математике.

Объект исследования – некоторые образцы живописного творчества.

Предмет исследования – математика живопись.

Методы исследования: анализ учебной, методической, энциклопедической, научно-популярной литературы; сравнительный анализ, выявление аналогий.

Рассмотрев понятие «аналогия», мы выявили для себя гипотезу:

  1. между математикой и живописью существуют аналогии;

В результате своего исследования мы постараемся подтвердить либо опровергнуть данную гипотезу.

К теме аналогий часто обращаются философы, например, В.Беляев, который в структуре аналогии выделяет тему и фору. «Чтоб произошла аналогия, тема и фора должны относится к разным предметным областям, иначе аналогия уступит место рассуждению с помощью примера и иллюстрации», - утверждает философ и сравнивает аналогию с метафорой по размытости символов и объектов, которым соответствуют эти символы. Найденные в гуманитарных областях знания аналогии математических объектов также довольно приблизительны, размыты, отдалены, поэтому, взяв во внимание сравнение В.Беляева, будем называть их литературными метафорами математики. Мы решили провести целенаправленную работу по установлению аналогий, выбрав в поля их поиска разнообразные литературные произведения всевозможных жанров, включая фольклорные.

«В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надѐжно использовано на практике без помощи и вмешательства математики» Ф.Бэкон

Глава 1 Математика и живопись

Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем реалистичное изображение трехмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие художники редко или вообще никогда не используют даже использование перспективы. Однако, есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Несколько значительных фигур в изобразительном искусстве проложили дорогу этим индивидуумам.

Голландский художник М.К. Эшер в некотором роде является отцом математического искусства. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин за исключением лишь ранних работ. Большинство идей, часто используемых современными математическими художниками, были использованы Эшером, и его работы часто являются источником вдохновения для современных авторов.

Эшер 1898- 1972гг

Глава 1.1 Общие темы в математическом искусстве

Темы наиболее часто использующиеся в математическом изобразительном искусстве включают в себя использование многогранников, тесселляций, лент Мебиуса, невозможных фигур, фракталов, золотое сечение и искаженных перспектив. Отдельные работы часто включают в себя одновременно несколько тем.

Многогранники

Многогранник - это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников, у которых все стороны являются правильными многоугольниками и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники Платона или Платоновы тела. Также существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых являются один, два или три правильных многоугольника, и у которых все вершины одинаковы. Они известны как тела Архимеда. Кроме этого существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников. Эшер использовал многогранники во многих своих работах, включая "Рептилии", "Двойной планетоид" и "Гравитация".

Мауриц Эшер «Рептилии». На альбомной странице мы видим мозаику из плоских ящериц, которые прилегают друг к другу, не оставляя свободного места. Это — картина плоского мира: ящерицы, живущие на странице, знают только эту страницу, окружающее же пространство для них неведомо. Одна из этих ящериц нашла способ выбраться из своей плоскости и посетить наш мир. Мы видим её внизу листа, постепенно обретающую плотность, взбирающуюся на книгу, использующую угольник в качестве моста, ведущего к выступу в форме додекаэдра, прежде чем спуститься вниз и вернуться в свой плоский мир, но уже впитав новый опыт, словно учёный, который только что открыл новый континент.

Тесселляции

Тесселляции, известные также как покрытие плоскости плитками, являются коллекциями фигур, которые покрывают всю математическую плоскость, совмещаясь друг с другом без наложений и пробелов. Правильные тесселляции состоят из фигур в виде правильных многоугольников, при совмещении которых все углы имеют одинаковую форму. Существует всего три многоугольника, пригодные для использования в правильных тесселляциях. Это - правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Полуправильными тесселляциями называют такие тесселляции, в которых использованы правильные многоугольники двух или трех типов и все вершины одинаковы. Существует всего 8 полуправильных тесселляций. Вместе три правильных тесселляции и восемь полуправильных носят название Архимедовых. Тесселляции, в которых отдельные плитки являются узнаваемыми фигурами, являются одной из основных тем творчества Эшера. В его записных книгах содержатся более 130 вариантов тесселляций. Он использовал их в огромном количестве своих картин, среди которых "День и ночь", серия картин "Предел круга", и знаменитые "Метаморфозы"

Холлистер Девид "Семь птиц". На этой картине изображены семь птиц, две из которых изображены в негативе на фоне ландшафта города Ахо в Аризоне. Последовательно уменьшающиеся фигуры птиц совмещаются друг с другом в виде фрактальной тесселляции. Хвостовые перья каждой птицы являются разделяют конструкцию напополам, отсекая примерно треть расстояния между кончиками крыльев. Каждая меньшая птица в свою очередь делит свою область аналогичным образом. Если этот процесс продолжать до бесконечности, получится набор точек, известный как множество Кантора или Канторова пыль.

Роберт Фатауэр "Фрактальные рыбы - сгруппированные группы". Сквозь иллюминатор видны волны, но при ближайшем рассмотрении видно, что волны являются на самом деле фрактальной тесселляцией, состоящей из рыб.

Невозможные фигуры

Невозможные фигуры - эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах "Бельведер", "Восхождение и спуск" и "Водопад". Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвана Ороса.

Иштван Орос "Перекрестки". Репродукция гравюры по металлу. На картине изображены мосты, которые не могут существовать в трехмерном пространстве. Например, есть отражения в воде, которые не могут быть исходными мостами.

Лента Мебиуса

Лента Мебиуса - это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, перекрутив один из концов полоски, а затем склеив оба конца друг с другом. Эшер изобразил ленту Мебиуса на работах "Всадники", "Лента Мебиуса II (Красные муравьи)" и "Узлы".

Мауриц Эшер «Узлы». Два зеркально симметричных узла, известных под названием «трилистник». Левый узел «сделан» из двух полосок, пересекающихся под прямым углом. Перед тем как концы такой крестообразной полоски были соединены, всю двойную полоску перекрутили на пол оборота. Большой узел, изображенный под двумя трилистниками, «выполнен» из ажурной трубки четырехугольного сечения, перекрученной на четверть оборота перед склеиванием ее концов.

Искаженные и необычные перспективы

Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также относится родственная область - анаморфноеискусство. Эшер использовал искаженную перспективу в нескольких своих работах "Наверху и внизу", "Дом лестниц" и "Картинная галерея" . Дик Термес использует шеститочечную перспективу для рисования сцен на сферах и многогранниках, как показано на примере ниже.

Дик Термес "Клетка для человека". Это разукрашенная сфера, в процессе создания которой использовалась шеститочечная перспектива. На ней изображения геометрическая структура в виде сетки, сквозь которую виден ландшафт. Три ветки проникают внутрь клетки, а также по ней ползают рептилии. В то время как одни изучают мир, другие обнаруживают себя, находящимися в клетке.

Слово анаморфный сформировано из двух греческих слов "ana" (снова) и «morthe» (форма). К анаморфным относятся изображения настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно. Такое зеркало иногда называют анаморфоскопом. Если смотреть в анаморфоскоп, то изображение "формируется снова" в узнаваемую картину. Европейские художники раннего Ренессанса были очарованы линейными анаморфными картинами, когда вытянутая картина становилась снова нормальной при обзоре под углом. Известный пример - картина Ханса Хольбейна "Послы", в которой изображен вытянутый череп. Картина может быть наклонена в верхней части лестницы так, что люди, поднимающиеся по лестнице будут напуганы изображением черепа. Анаморфные картины, для просмотра которых необходимы цилиндрические зеркала, были популярны в Европе и на Востоке в XVII-XVIII веках. Эшер не использовал в своей работе классические анаморфные зеркала, однако, в некоторых своих картинах он использовал сферические зеркала. Самая известная его работа в этом стиле "Рука с отражающей сферой". Пример ниже показывает классическое анаморфное изображение работы Иштвана Ороса.

Иштван Орос "Колодец". Картина "Колодец" полученая с гравюры по металлу. Работа была создана к столетию со дня рождения М.К. Эшера. Эшер писал об экскурсиях в математическое искусство, как он прогуливался по прекрасному саду, где ничто не повторяется. Ворота в левой части картины отделяют эшеровский математический сад, находящийся в мозге, от физического мира. В разбитом зеркале в правой части картины присутствует вид маленького городка Атрани на побережье Амалфи в Италии. Он изобразил этот город на второй и третьей картинах из серии "Метаморфозы". Если поместить цилиндрическое зеркало на место колодца, как это показано справа, то в нем, как по волшебству, появится лицо Эшера.

Фракталы

Фрактал - это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. Фракталы формируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей. Ниже приведены примеры современных художников Кэри Митчелл и Роберта Фатауэра.

Кэри Митчелл "Будда" - компьютерная картина основанная на множестве Мандельброта, исследованного Бенуа Мандельбротом.

Роберт Фатауэр "Композиция кругов"- не является вычисляемым фракталом, однако может быть получен графически, упаковывая меньшие круги в больших.

Золотое сечение

Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

а : b = b : с или с : b = b : а.

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина «Сосновая роща»

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника.

Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи «Джоконда»

Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на «золотых треугольниках» (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

Золотой треугольник — это равнобедренный треугольник, в котором две боковые (равные) стороны находятся в золотой пропорции с основанием.

Математическое изобразительное искусство процветает сегодня, и многие художники создают картины в стиле Эшера и в своем собственном стиле. Эти художники работают в различных направлениях, включая скульптуру, рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и компьютерную графику. А наиболее популярными темами математического искусства остаются многогранники, тесселляции, невозможные фигуры, ленты Мебиуса, искаженные системы перспективы и фракталы.

Практическая часть

Я решила попробовать себя в теме тесселляции. Вернемся к теме «Тесселляции». Тесселляция-это покрытие плоскости плитками без наложений и пробелов.

Как образец я взяла работу Роберта Фатауэра «Фрактальные рыбы-сгруппированные рыбы», данная работа была близка мне по настроению, цветовой гамме и по исполнению картины. На мою неподлинную работу я потратила в порядке 5 часов. Работа выполнена акриловыми красками. И даже срисовать произведение Роберта Фатауэра оказалось очень сложно.

Порой, нам, обычным зрителям, может показаться чье-либо произвдение искусства простым и бессмысленным, но стоит окунуться в мир искусства и простое может показаться настолько сложным и интересным, что захочется его познать.

Заключение

Воздействие искусства на эмоции и чувства человека может быть усилено научным использованием правила. Наша гипотеза подтвердилась. Наблюдение за объектами позволило развиваться науке математике. Таким образом, наука и искусство находятся в постоянной взаимосвязи, наука помогает искусству.

Любит природа пропорций гармонию,

Всё, что растет и живет, размножаясь,

Вечным законам ее подчиняясь,

Смысла и формы рождает симфонию.

Именно это деление вечное –

Общего к большему, большего к меньшему-

Строит гармонию соотношений,

Природных явлений и божьих творений.

В этом секрет золотого сечения.

В этом сакральная тайна влечения

Меньшего к большему, большего к общему,

Твердой рукой неведомого зодчего.

( Д. Пономарева)

Литература

  1. Ресурсы Интернета:

  2. www.o-detstve.ru

  3. www.vp-ch.ru

  4. www.1september.ru

  5. www.tarefer.ru

  6. www.virartech.ru

  7. http://n-shkola.ru/arch/54.html

  8. http://rudocs.exdat.com/docs/index-17734.html

  9. M. C. Escher - His Life and Complete Graphic Work, by F.H. Bool, J.R. Kist, J.L. Locher, and F. Wierda (Harry N. Abrams, New York, 1982).

  10. The Magic Mirror of M. C. Escher, by Bruno Ernst (Ballantine Books, New York, 1976).

  11. Visions of Symmetry - Notebooks, Periodic Drawings, and Related Works of M. C. Escher, by Doris Schattschneider (W.H. Freeman and Co., New York, 1990).

  12. "Fractals and an Art for the Sake of Science," Benoit B. Madelbrot, in The Visual Mind, ed. by Michele Emmer (MIT Press, Cambridge, 1993).