IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

КАК НАУЧИТЬСЯ РЕШАТЬ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Поспелова Е.Н.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

С простейшими текстовыми задачами учащиеся встречаются уже в первом классе. Переходя из класса в класс, ребята постепенно осваивают задачи на отношения «на …больше, на…меньше», «в…раз больше, в…раз меньше», причем заданных как в прямой, так и косвенной форме.

Новой ступенью развития умений решать текстовые задачи, является введение физической формулы равномерного движения: S=V*T. С помощью этой формулы можно решать несколько разновидностей задач: на прямую и обратную пропорциональные зависимости; такие процессы как «купля-продажа», «целое, разбитое на равные части», «работа», «площадь прямоугольника» и т.д.

Новый, очень серьёзный класс задач появляется при изучении процентов, обыкновенных и десятичных дробей. И начинается он с элементарных задач (процент или дробь от числа, число по его процентам или дроби) и заканчивается достаточно сложными для понимания и решения учащимися задачами на растворы, смеси, сплавы.

В курсе математики обязательно встречаются разного рода задачи, вот они и вызывают у многих затруднения. Все дело в том, что необходимо отработать и автоматизировать эти процессы. Чтобы получить правильный ответ на задачу, необходимо понять ее суть, поэтому тренироваться необходимо на простейших примерах для младшей школы.

Решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того, чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких основных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Итак, что же такое задача? Любая текстовая задача представляет собой описание какого-либо явления (ситуации, процесса). С этой точки зрения текстовая задача есть словесная модель явления (ситуации, процесса). И, как во всякой модели, в текстовой задаче описывается не все явление в целом, а лишь некоторые его стороны, главным образом, его количественные характеристики.

Любая текстовая задача состоит из двух частей – условия и требования (вопроса). В условии сообщаются сведения об объектах и некоторые числовые данные объекта, об известных и неизвестных значениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти. Оно выражено предложением в повелительной или вопросительной форме.

Начинается работа над любой задачей с того, что:

1) Ученики самостоятельно знакомятся с условием задачи.

2) Далее один из учащихся читает задачу вслух. Ученик должен прочитать задачу так, чтобы условие задачи стало доступно каждому.

2) После четкого, разборчивого и выразительного чтения задачи учащихся должны рассказать о той ситуации, которая происходит в данной задаче.

3) Выделить главные слова, так как одним из важнейших этапов в работе над задачей является умение записать условие задачи в виде краткой записи.

4) Составить краткий план для записи решения задачи.

5) Выбрать модель задачи (рисунок, чертёж, таблица).

6) Спланировать способ решения.

7) Ответить на вопрос задачи.

8) Проверить решение.

Основная часть

2. 1 Классификация текстовых задач

Текстовые задачи делятся на группы, которые объединяет либо метод решения, либо количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет. Задачи можно классифицировать:

1. По числу действий, которые необходимо выполнить для решения задачи;

2. По соответствию числа данных и искомых;

3. По фабуле задачи;

4. По способам решения и др.

По числу действий:

  • простые;

  • составные задачи.

Задачу, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие, называют простой.

Пример.Один кг яблок стоит 50 рублей. Сколько стоит один кг груш, если груши весят на 15, 5 рубля дороже?

Задачу, для которой нужно выполнить два или большее число действий, называют составной.

Пример. Ширина прямоугольника составляет 8/9 его длины. Найдите площадь и периметр прямоугольника, если его ширина равна 32 см.

Разделение задач на простые и составные не может быть проведено вполне строго. Например: задача на сложение нескольких слагаемых может быть решена одним действием сложения или несколькими действиями сложения, т.е. может быть причислена к простым или составным. Задачи на нахождение числа по его части могут решаться одним действием - делением на дробь, как задачи простые, или двумя действиями (деление на числитель дроби и умножением на ее знаменатель), т. е. могут быть отнесены к составным задачам.

Решение составной задачи сводится к разложению ее на простые задачи и к решению этих простых задач.

По соответствию числа данных и искомых;

  • определенные задачи;

  • неопределенные задачи;

Число условий должно соответствовать числу данных и искомых. Тогда задача имеет одно решение и является задачей определенной.

Пример. Два переплетчика должны переплести 384 книги. Один из них переплетает по пять книг в день и уже переплел 160 книг. Сколько книг в день должен переплетать другой переплетчик, чтобы закончить работу в один день с первым?

Если число условий в задаче недостаточно, то задача может иметь несколько решений и называется задачей неопределенной.

Пример. На складе было 392 банки вишневого, малинового и клубничного варенья. Банок с вишневым вареньем было в 3 раза больше, чем малинового. Какова масса вишневого варенья, если в каждой банке его 800 г?

По фабуле задачи:

  • «на движение»;

  • «на работу»;

  • «на смеси и сплавы»;

  • «на смешение и концентрацию»;

  • «на проценты»;

  • «на части»;

  • «на время»;

  • «на покупку и продажу» и т. п.

По способу решения задач:

  • задачи на тройное правило;

  • задачи на нахождение неизвестных по результатам действий;

  • задачи на пропорциональное деление;

  • задачи на исключение одного из неизвестных;

  • задачи на среднее арифметическое;

  • задачи на проценты и части;

  • задачи, решаемые с конца, или «обратным ходом».

При обучении математике в средних классах, кроме приведенной классификации задач по их месту при изучении нового материала используются классификации по другим основаниям:

По методам поиска решения - алгоритмические, типовые, эвристические;

По требованию задачи - на построение, вычисление, доказательство;

По трудности -- легкие и трудные;

По сложности - простые и сложные;

По применению математических методов - уравнений, подобия, арифметический, алгебраический, графический, практический методы и т. д.

Все эти классификации позволяют рассматривать математические задачи под разными углами зрения и уточнять, совершенствовать методику работы с учащимися над задачей.

2.2 Методы и способы решения тестовых задач

Существуют различные методы решения текстовых задач:

  • арифметический,

  • алгебраический,

  • геометрический,

  • логический,

  • практический,

  • табличный,

  • комбинированный,

  • метод проб и ошибок.

В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.

При алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом - строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

Практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения; используя логический метод - построив разные алгоритмы. В этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называют способы решения.

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту де задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно так же решить различными алгебраическими способами.

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом - значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

Логический метод. Решить задачу логическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения.

Практический метод. Решить задачу практическим методом - значит найти ответ на требования задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами).

Табличный методпозволяет видеть задачу целиком это- решение путем занесения содержания задачи в соответствующим образом организованную таблицу.

Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование задачи более простым путем.

Метод проб и ошибок (самый примитивный), в нем ответ на вопрос задачи угадывается.

Методы решения могут быть разные, но способ решения, лежащий в их основе, может быть только один.

2.3 Практическая часть

В практической части научно-исследовательской работы для 5-го и 6-го классов были предложены следующие задачи:

Арифметический метод решения задачи. В этой задаче необходимо знать формулу: S=V*T.

Задача 1: Воробей за два часа пролетел 14 километров, а орел за три часа пролетел 210 километров. Во сколько раз скорость орла больше?

Условие

Воробей: 2ч – 14 км

в ? раз б

Орел: 3ч -210 км

Решение:

14 :2=7 (км/ч) - скорость воробья;

210 :3=70 (км/ч) - скорость орла;

70 :7=10 - во столько раз скорость орла превосходит скорость воробья.

Ответ: в 10 раз больше.

Задача 2.Найдем 12 % от 7000 рублей

1 способ: Найдем 1 %, а потом 12 %.

1) 7000:100 = 70(р.) – 1%

2) 70 * 12 = 840(р.) – 12%

2 способ: Перевод % в десятичную дробь

1) 12% = 0,12

2) 7000 * 0,12 = 840(р.)

Ответ: 840р.

Задача 3. Два мальчика выбежали одновременно навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 100 м. Они встретились через 10 с. Первый мальчик бежал со скоростью 4 м /с. С какой скоростью бежал второй мальчик?

План решения задачи:

І способ.

1.Найти путь, который пробежал первый мальчик до встречи.

2. Найти путь, который пробежал второй мальчик до встречи.

3. Найти скорость, с которой бежал второй мальчик.

II способ.

1. Найти скорость сближения.

2. Найти скорость, с которой бежал второй мальчик до встречи.

Задача 4.(2 уровень.) Цена книги понизилась на 15%. Найдите новую цену книги, если прежняя составляла 60 рублей?

Вот наглядный пример решения задачи на составление уравнения с использованием вспомогательной таблицы. Она значительно упрощает восприятие

Задача5. На первой полке книг в три раза больше, чем на второй. Если с первой полки убрать восемь книг, а на вторую поставить 32, то их станет поровну. Сколько книг было первоначально на каждой полке?

Условие

 

1 полка

2 полка

Было

3х-8

Стало

х

х+32

Решение:

3х-8=х+32;

3х-х=32+8;

2х=40;

х=20

20 (книг) - было на второй полке;

20*3=60 (книг) - было на первой полке.

Ответ:60 книг;20книг.

Задача6. На солнышке грелось несколько кошек. У них вместе лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?

Решение.

1 способ.

 

Лапы

Ушки

1 кошка

Кошки

На 10 больше

?

Так как лап на 10 больше чем ушей.

Составим и решим уравнение:4х – 2х = 102х= 10 │: 2х = 5

Ответ: 5 кошек грелось на солнышке.

  1. способ

1. На сколько лап больше чем ушей у одной кошки?4 – 2 = 2 (шт.)

2. Сколько кошек грелось на солнышке?10 : 2 = 5 (шт.)

Ответ: 5 кошек грелось на солнышке.

Задача7. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если известно, что у них вместе 19 голов и 46 ног?

Составленное уравнение учащиеся решают самостоятельно, с последующей проверкой.

2х + 76 – 4х = 46-2х = -30 │: (-2)х= 1515 шт. – куры19 – 15 = 4 (шт.) – овцы

Ответ: 15 кур, 4 овцы

Логический метод.

Задача 8. Кто из учеников Саша, Сергей, Дима и Андрей играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:

а) если Саша и Сергей играет, то Дима не играет;

б) если Сергей не играет, то играют Дима и Андрей;

в) Дима играет.

Решение:

Если Саша и Сережа играют, то Дима не играет.

Если играют Дима и Андрей, то Сережа не играет.

Так как Дима по условию играет в шахматы, значит – это Дима и Андрей играют в шахматы.

Ответ: в шахматы играют ученики Дима и Андрей, а Саша и Сергей – не играют.

Задача 9. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?

Решение:

1-й способ.

1) 82 32 + 78 = 192 (чел.) - удвоенное число учеников, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) 192 : 2 = 96 (чел.) - поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3) 96 – 32 = 64 (чел.) - поют в хоре;

4) 96 – 78 = 18 (чел.) - занимаются танцами;

5) 96 – 82 = 14 (чел.) - занимаются художественной гимнастикой.

2-й способ.

1) 82 – 32 = 50 (чел.) –на столько больше учеников поют в хоре, чем

занимаются художественной гимнастикой;

2) 50 + 78 = 128 (чел.) - удвоенное число учеников, поющих в хоре;

3) 128 : 2 = 64 (чел.) - поют в хоре;

4) 78 – 64 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой;

5) 82 – 64 = 18 (чел.) - занимаются танцами.

Ответ: 64 ученика поют в хоре, 14 учеников занимаются художественной гимнастикой, 18 учеников занимаются танцами.

Среди учащихся 5 и 6 классов, в количестве 33 человек с предложенными задачами справилось 12 человек. Задачи на проценты в 5 классе учащиеся ещё не умеют решать. Обратились за помощью 8 учащихся, и потом они тоже справились с предложенными задачами.

Отсюда можно сделать вывод, что 37% успешно решили все задачи. Прибегнув к помощи, ещё 24% учащихся смогли справиться с данными задачами. Особые затруднения вызвали логические задачи.

Подводим итог: с задачами более простыми в целом ученики 5-го и 6-го классов справляются, но если добавляются немного больше элементов в рассуждениях, то справляются с такими заданиями не все.

Так же был проведён соц. Опрос среди учащихся 5-6 классов. Всем задавали вопрос: «Какие задачи легче решать: математические или логические?» В опросе участвовали 33 ученика. 25 учеников ответили – математические, 3 ученика – логические, 5 учеников – ни какие не могут решить.

Вывод: математические задачи легче решить 76-ти % опрошенных, логические – 10% и 14% не смогут решить никакую задачу.

Заключение

Для достижения цели данного исследования были выполнены следующие задачи:

1.Был произведен анализ некоторой методической и школьной литературы с точки зрения изучения методов решения задач в школе на уроках математики.

2.На основе изученного материла, были описаны методы и способы решения текстовых задач, в основной школе. С кратким описанием и приведением примеров.

3. В результате были описаны наиболее часто встречающиеся методы используемые в школьном курсе математики в 5 – 6 классах.

Таким образом, была достигнута цель данного исследования: описать методы и способы решения текстовой задачи в курсе изучения математики 5 – 6 классов.

Литература

1.Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений// Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – М.: Мнемозина: 1999-2004. – 384 с.

2.Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений// Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 1999-2004. – 384 с.

3.Дорофеев Г.В. Математика 6 класс.-Просвещение,:2013.

4.Матвеева Г. Логические задачи // Математика. - 1999. № 25. - С. 4-8.

5. Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи [Текст] : Кн. для учащихся ст. кл. средн. шк. / Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий.– 3-е изд., дораб.– М.: Просвещение, 1989.– 192 с.: ил.

6. Целищева, И. Как помочь каждому ученику самост-но решать текстовые задачи [Текст] / И. Целищева, С. Зайцева // Нач. шк.: еженед. прил. к газ. "Первое сентября".– 2001.– 00.05 (№ 18).С. 2-5.

7. Шарыгин И.Ф. , Шевкин Е.А. Задачи на смекалку.-Москва,:Просвещение,1996.-65с.

Приложение

«ПАМЯТКА «КАК РЕШАТЬ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ»

1. Прочитай задачу и представь себе то, о чем в ней говорится.

2. Выдели условие и вопрос.

3. Запиши условие кратко или выполни чертёж.

4. Подумай можно ли сразу ответить на вопрос задачи. Если нет, то почему. Что надо узнать сначала, что потом?

5. Составь план решения.

6. Выполни решение.

7. Проверь решение и запиши ответ задачи.Примерный план ответа-рассуждения при решении задачи:

1.Арифметический метод.

Анализ задачи.

1. Известно, что … (расскажи условие задачи)

2. Надо узнать… (повтори вопрос)

3. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо …

4. Сразу мы не можем ответить на вопрос задачи, так как не знаем…

5. Поэтому в первом действии мы узнаем …

6. Во втором действии мы ответим на вопрос задачи. Для этого … ( какое действие выполняем)

7. Ответ ...

2. Алгебраический метод:

Одним из важнейших направлений улучшения качества обучения математике является совершенствование его практической составляющей. К средствам реализации этого направления можно отнести использование текстовых задач и метода уравнений. Действительно, решение текстовых задач с помощью уравнений иллюстрирует применение математики к исследованию явлений реальной действительности, обеспечивает реализацию общих принципов прикладной направленности курса математики. Поэтому необходимо уделять внимание решению текстовых алгебраических задач. Схема работы над задачей:1 этап – анализ и запись условия задачи. Выполнение чертежа, если он необходим.

Содержание данного этапа включает:

Установление объекта наблюдения (исследования);

Выделение процессов, подлежащих рассмотрению;

Выявление величин, входящих в каждый процесс;

Выяснение функциональной зависимости между величинами и составление формул этой зависимости;

Схематическая запись условия задачи с обозначение неизвестных величин;

2 этап – нахождение плана решения.

Выявление основания для составления уравнения или системы уравнений;

Составление уравнения или системы уравнений;

3 этап – осуществление плана решения задачи.

Решение уравнения или системы;

Исследование корней уравнения (системы) с целью установления решений задачи. Проверка расчетов и обоснований;

Запись ответа;

4 этап – анализ решения задачи.Комментирование решения задачи. Возвращение к решению задачи (ретроспективный подход) с целью уточнения идей и методов решения задачи, упрощение расчетов. Поиск более рациональных приёмов решения задачи.

Пример № 1.На середине пути между станциями А и В поезд был задержан на 10 минут. Чтобы прибыть вВ по расписанию, машинисту пришлось первоначальную скорость поезда увеличить на 12 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что расстояние между А и В равно 120 км. 1 – Пусть Х км/ч - первоначальная скорость поезда (умение выделять величины и обозначать их буквами).2 – Найдем зависимость между зафиксированной величиной и другими, участвующими в задаче (умение формулировать зависимости между величинами и выражать посредством букв).ч – время прохождения поездом пути от А до середины;(х + 12) км/ч – скорость поезда от середины пути до В;ч – время прохождения второго участка пути; 3 – По условию задачи поезд прошел вторую часть пути на ч меньше, чем предполагалось по расписанию. Время прохождения поезда по расписанию от середины до конца пути - 60 км/ч, поезд из-за стоянки ч должен был увеличить первоначальную скорость на 12 км/ч , чтобы прибыть по расписанию, т.е. время, затраченное им на втором участке пути, равно ( + ) ч (умение выражать одну и ту же зависимость разными способами, умение составлять уравниваемые выражения). 4 – Составляем уравнениеРешив данное уравнение, получаем: х1 = 60, х2 = - 72. Условию задачи, отвечает х = 60. Таким образом первоначальная скорость поезда – 60 км/ч. (умение интерпретировать результат решения задачи на языке данной задачи).5 – Заметим, что словесная формулировка условия задачи довольно громоздка. В таких случаях осуществления анализа может помочь рисунок.На рисунок вынесены величины, содержащиеся в условии задачи (умение использовать графические модели условия задачи, осуществлять переход от одной модели к другой).

Памятка для лучшего усвоения решения задач с помощью уравнений.

Тщательно изучи условие задачи, если надо, сделай чертёж.

Выясни, о каких величинах идет речь в задаче.

Выбери любую из этих величин для правой части уравнения.

Установи, каким действием и над какими величинами её можно получить.

Выясни, какие из них известны, какие нет. Введи обозначение переменной.

Запиши уравнение.

Реши данное уравнение.

Сделай анализ уравнения.

20