IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ОДНА ЗАДАЧА – РЕШЕНИЙ МНОГО
Дерябин Д.С.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


ВВЕДЕНИЕ

«Математика ум в порядок приводит» – эти слова принадлежат великому математику М.В. Ломоносову.

Изучение математики, решение математических задач развивают, помимо воображения, и способность догадываться, угадывать заранее результат, способность разумно искать правильный путь в самых запутанных условиях.

Прочтя задачу и ещё не произведя никаких действий, вы должны стремиться к тому, чтобы научиться сразу видеть, что тот или иной способ непригоден для её решения, а вот какой-то другой способ может быть использован. Такое умение вырабатывается в процессе решения одной и той же задачи разными способами. Появилась гипотеза: часто полезнее решить одну задачу несколькими различными способами, чем решить три – четыре различные задачи.

Цель исследования: понять специфику того или иного метода решения задачи, его преимущество и недостатки в зависимости от содержания задачи.

Задачи исследования:

1). Решить задачу №26 ОГЭ 2017 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов: «В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 292. Найдите сторону ВС треугольника ABC» различными способами.2). Выявить те свойства, которые использовались при каждом решении.

3). Убедиться в том, что решая одну задачу несколькими различными способами, повторяешь множество свойств планиметрии, что полезно при подготовке к ОГЭ или к ЕГЭ, а также для проверки верности полученного ответа.

4). Привлечь к решению данной задачи различными способами старшеклассников, например, при проведении «Математического боя», при необходимости, указывая первый, второй и т.д. шаг того или другого решения.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Задача 1. (Вариант 5. Задание 26. ОГЭ 2017 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов). В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 292. Найдите сторону ВС треугольника ABC.1способ.

  1. По условию задачи биссектриса BE и медиана AD пересекаются под прямым углом. Следовательно, в треугольнике ABD BO – медиана, и треугольник ABD равнобедренный с основанием AD.

  2. Треугольник ABD равнобедренный, тогда AO=OD=146.

  3. Если медиана с биссектрисой пересекаются под 90 градусов, то в точке пересечения биссектриса делится в отношении 3:1, считая от вершины, следовательно,

.

  1. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, в котором известны два катета AO и BO. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:

Ответ:

2 способ. Воспользуемся дополнительным построением: достроим данный треугольник AВС до параллелограмма ABFC(Рис. 4):

Рис. 4

  1. равнобедренный, так как биссектриса ВО является и высотой. Значит,

  1. По свойству биссектрисы треугольника АВС:

  1. По свойству сторон параллелограмма

  2. значит, подобен .

  3. Из подобия и получаем:

  1. Значит,

  2. Для по теореме Пифагора:

Ответ:

ГЛАВА II. ПРИМЕРЫ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Решение. 3 способ. Составим чертёж к решению задачи: Рис. 1

Рис. 1

  1. Используем формулу вычисления площади треугольника:

  2. Используем свойство площади: площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит:

  1. Применим свойство медианы треугольника: медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника:

  1. Составим систему двух равенств:

Вычтем из второго равенства первое и поделим обе части полученного равенства на 2:

  1. Введём вспомогательные переменные: Тогда

  1. Применим теорему Пифагора к

Ответ:

4 способ. Решим задачу, пользуясь данными Рис. 2, достроив данный треугольник АВС до параллелограмма ABFC:

Рис. 2

  1. Используем свойства параллельных прямых BF, AC и секущую BC, BE, CGи секущую BC, а также определение биссектрисы углов ABC, BCF, и свойство диагоналей параллелограммов

  1. Составим систему двух уравнений с двумя неизвестными и решим её с помощью подстановки:

3. Итак,

Ответ:

5 способ. Воспользуемся данными Рис. 3: выполним дополнительное построение проведём прямую EFпараллельно прямой AD.

Рис. 3

  1. По свойству биссектрисы треугольника АВС:

  1. По теореме Фалеса:

  1. По теореме Фалеса:

  1. Введем вспомогательную переменную х. Тогда

  1. Составим теорему Пифагора к

Ответ:

6 способ. Воспользуемся данными Рис. 4:

  1. Пусть

  2. По определению медианы

  3. По свойству биссектрисы

Рис. 4

  1. По теореме Менелая в

  1. Составим теорему Пифагора для:

Ответ:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, поставленную выше задачу удалось решить самостоятельно 4 способами, с использованием решений на сайте self-edu.ru›oge 2017 получилось 6 способов.

При этом повторили 20 свойств геометрии, а также прибегли к решению систем и уравнений.

1 способ

  1. Свойство медианы и биссектрисы треугольника, пересекающихся под прямым углом.

  2. Признак равнобедренного треугольника.

  3. Теорема Пифагора.

  4. Свойство равнобедренного треугольника: высота, проведенная к основанию, является медианой.

  5. Определение медианы треугольника.

2 способ.

  1. Признак равнобедренного треугольника.

  2. Свойство равнобедренного треугольника: биссектриса, проведенная к основанию, является и высотой.

  3. Свойство биссектрисы треугольника.

  4. Свойство сторон параллелограмма.

  5. Признак подобия треугольников.

  6. Свойство подобных треугольников.

  7. Теорема Пифагора.

3 способ.

  1. Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

  2. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.

  3. Решение системы двух равенств, приводящей к линейному уравнению.

  4. Теорема Пифагора.

  5. Дополнительное построение.

4 способ.

  1. Свойство параллельных прямых.

  2. Определение биссектрисы углов.

  3. Свойство диагоналей параллелограмма.

  4. Решение системы двух уравнений с двумя переменными.

5 способ.

  1. Признак равенства треугольников.

  2. Определение медианы.

  3. Свойство биссектрисы треугольника.

  4. Теорема Фалеса.

  5. Теорема Пифагора.

6 способ

  1. Признак равнобедренного треугольника.

  2. Свойство равнобедренного треугольника.

  3. Определение медианы.

  4. Свойство биссектрисы треугольника.

  5. Теорема Менелая.

  6. Теорема Пифагора.

Во время проведения элективного курса в 10 классе вышеуказанную задачу решили 4 способами, причем, 4 и 5 способ самостоятельно одолели 50% учащихся (24 респондента, возраст 15-16 лет), 3 способ решения применили 30% с двукратными подсказками: применение формулы и составление системы. Остальные учащиеся работали с автором работы. Этот урок показал заинтересованность в различных способах решения, нацелил ребят на поиск других подходов к данной задаче. На занятии появился дух соревновательности: кто быстрее решит поставленную задачу и каким способом. Оказалось - 5 способом, однако для тех, кто был знаком с теоремой Менелая – 6 способом. Выяснилось, что задача из второй части экзаменационной работы оказалась по силам почти половине учащихся.

В ходе исследования имеющегося способа решения доказано свойство медианы и биссектрисы треугольника, пересекающихся под прямым углом.

В работе применялись общенаучные методы исследования, а также метод эмпирического уровня: наблюдение, сравнение, анализ. Организация работы в группах явилось эффективным методом качественного иссле­дования.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

  1. И.В. Ященко ОГЭ 2017 Математика, 36 вариантов. Вариант 5. Задание 26. ОГЭ 2017.Режим доступа:self-edu.ru›oge2017_36.php?id=5_26 (дата обращения 15.05.2017)