IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

МЕТОД «МИНИ-МАКСОВ» ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ
Шатров А.А.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


ВВЕДЕНИЕ

Под словами «нестандартные задачи» мы понимаем такие задачи, которые хотя и сформулированы с использованием только обычных понятий элементарной математики, тем не менее, не могут быть решены описанными ранее стандартными приёмами. Порой такие задачи трудно отличить от стандартных задач, опираясь только на их формулировку, и «нестандартность» задачи выявляется только в ходе её решения. Так, например, задачу № 8.52 из задачника для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровнь) 10 класса под редакцией А.Г. Мордковича можно отнести к «нестандартной». А порой стандартные задачи могут быть решены нестандартными приёмами. Появилась гипотеза: существуют «нестандартные» задачи и «нестандартные» методы решения задач.

Цель исследования: выявить «нестандартные задачи» на основе решения их методом «мини-максов».

Задачи исследования:

1). Ознакомить с методом «мини-максов».

2). Применять метод «мини-максов» (метод сравнения, метод мажоранта, использование ограниченности функций) при решении уравнений.

3). Составить банк уравнений, решаемых с помощью метода «мини-максов». Решить их, по возможности, альтернативным способом и сравнить полученные решения по рациональности.

4). Распростанить опыт решения уравнений методом «мини-максов» среди старшеклассников лицея.

ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1). Метод «мини-максов», применяется по простейшей схеме:

Если необходимо решить уравнение = (1) и на общей области определения E функций и выполняются неравенства:

и , то уравнение (1) равносильно системе уравнений:

Число А называют мажорантой функции.

Для применения метода «мини-максов» необходимо уметь оценивать левую и правую части уравнения или неравенства. Приведём перечень часто используемых для оценки базовых неравенств.

  1. Неравенство Коши. (Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел).

Равенство достигается в этом неравенстве при a = b. Если же , то .

  1. , где , при условии последнее неравенство равносильно неравенству Коши.

  2. , равенство достигается при a = b.

Замечу также, что неравенство (3) выражает выпуклость функции на всей числовой оси .

  1. Оценка суммы двух взаимообратных чисел.

, если A > 0, равенство достигается только при A = 1.

Эта неравенство вытекает из (1).

  1. Неравенство Коши для n переменных.

.

Равенство выполняется только при

  1. Оценка однородного линейного тригонометрического многочлена.

.

  1. Оценка квадратного трёхчлена:

если a > 0, то ; равенство достигается при .

если a < 0, то ; равенство достигается при .

  1. , если a > 1

, если 0 < a < 1.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Из неравенств и , которые верны для всех , следует оценка . Итак, в данном случае A = 1. Уравнение равносильно системе:

Решения системы соответствуют случаю равенства

Так как и – целые числа, то число 6n должно делится на простое число 5, а это равносильно равенству n = 5l, . Тогда k=6l и 4l.

Ответ:

Конечно, при использовании метода «мини-максов», кроме неравенств 1-9 могут использоваться и другие, более специальные неравенства.

Замечание к методу «мини-максов»:

1). Часто внешним признаком, побуждающим использовать метод «мини-максов» является наличие в одном уравнении или неравенстве функций различной природы: алгебраических, тригонометрических, показательных или логарифмических и т.п., что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов.

2). Иногда оценка одной из частей уравнения (неравенства) может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственно видом этой части; тогда следует попытаться получить противоположную оценку для другой части уравнения (неравенства) используя, например, неравенства 1-9 или другие соображения.

ГЛАВА II. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИ

Пример 1. Уравнение примера 1, рассмотренного выше, не является «нестандартным», но его можно решить не только методом «мини-максов», но и стандартным способом, используя формулу :

Отберём решение системы, используя числовую окружность (Рис. 1):

Рис. 1

Ответ: (Самостоятельное решение)

Пример 2. Решить уравнение

Решение. 1 способ. Метод «мини-максов».

Поэтому

Ответ: . (Самостоятельное решение)

2 способ. Графический метод. Построим графики функций и (Рис. 2). Пересечение параболы с осью ОУ – (0;4).

Рис. 2

Ответ: . (Самостоятельное решение)

Пример 3. (Тест 134, №13 2017 А.А. Ларина) Решить уравнение .

Решение. Метод «мини-максов». Из системы неравенств верно для всех . Итак, в данном случае A = 1. Уравнение равносильно системе:

Ответ: . (Самостоятельное решение)

Пример 4. (Тест 26, №13 2017 А.А. Ларина) Решить уравнение

Решение.

Ответ: .(Самостоятельное решение)

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. 1 способ. Метод «мини-максов».

Ответ: (Самостоятельное решение)

2 способ. Графический метод. Посторим гарфики функций и (Рис. 3):

Рис. 3

Ответ: (Самостоятельное решение)

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. 1 способ. Метод «мини-максов».

Ответ: (Самостоятельное решение)

2 способ. Графический метод.

Посторим гарфики функций и (Рис. 4):

Рис. 4

Ответ: (Самостоятельное решение)

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Метод «мини-максов».

Ответ: (Самостоятельное решение)

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Метод «мини-максов».

Ответ: . (Самостоятельно составленное и решенное уравнение)

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Метод «мини-максов».

Ответ: . (Самостоятельно составленное и решенное уравнение)

Пример 10. Решить уравнение

Решение. Метод «мини-максов».

Ответ: . (Самостоятельно составленное и решенное уравнение)

Пример 11. Решить уравнение

Решение. Метод «мини-максов». При решении воспользуемся оценкой суммы двух взаимообратных чисел: .

Ответ: . (Самостоятельно составленное и решенное уравнение)

Пример 12. Решить уравнение

Решение. 1 способ. Метод «мини-максов». При решении воспользуемся оценкой суммы двух взаимообратных чисел: .

Ответ: (Самостоятельно составленное и решенное уравнение)

2 способ. Графический метод.

Построим гарафики функций (Рис. 5)

График первой функции построим, пользуясь преобразованиями графика функции на прямоугольной системе координат: растяжение в два раза вдоль оси ординат и сжатие в вдоль оси абсцисс.

График второй функции построим, пользуясь производной.

Определим монотонность и экстремумы функции:

При построении графика учтем нечетность функции и вертикальную () и наклонную асимптоты ():

Рис. 5

Ответ: (Самостоятельно составленное и решенное уравнение)

Пример 13. Решить уравнение

Решение. Метод «мини-максов».

Ответ: (Самостоятельно составленное и решенное уравнение)

Пример 14. Решить уравнение

Решение. 1 способ. Метод «мини-максов».

значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2 способ. Графический метод.

Построим графики функций и (Рис. 5).

Рис. 5

Ответ: нет решений. (Самостоятельно составленное и решенное уравнение)

Пример 15. Решить уравнение

Решение. Метод «мини-максов».

Ответ: . (Самостоятельно составленное и решенное уравнение)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из 15 решенных уравнений только пять (33,(3)%) были решены альтернативным методу «мини-максов» методом: одно из них решилось с помощью формулы тригонометрии, четыре –графическим методом, причем, в последнем построение графика осуществлялось с помощью производной и нахождением асимптот графика. Это указывает на то, что если уравнение относится к типу уравнений, решаемых с помощью изученного метода, то эффективно применять именно этот метод, он более рационален в большинстве случаев.

Изучение способов решения задач развивает догадливость. Решая ту или иную задачу, необходимо найти её место в системе резличных способов решения задач, тогда из класса «сложных» они перейдут в класс «простых». После презентации результатов исследования во время проведения элективного курса по алгебре в 10 классе профильного уровня учащимся, распределенным в группы по 4 человека, было предложено составить и решить два уравнения: одно из которых решалось бы только методом «мини-максов», втрое – и указанным методом и альтернативным. С этой работой справились 4 группы из пяти, отметив, что метод «мини-максов» значительно упрощает решение уравнения.

При изучении рассмотренной мной темы сделан вывод о том, что алгебра, математический анализ и другие разделы математики нельзя разобщать, т.к. они связаны, например, при решении уравнений.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Нараленков М.И. Вступительный экзамен по математике. Алгебра. Как решать задачи: учебно-практическое пособие- М.: Экзамен, 2003. 306-307 с.

  2. ЕГЭ и ГИА 2017 Математика Материалы для подготовки к экзаменам - Режим доступа:http://alexlarin.net/ege17/html (дата обращения 15.07.2017)