IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФИГУРЫ, ЗАДАВАЕМОЙ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ
Кирина Е.С.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


ВВЕДЕНИЕ

Площадь – это величина, характеризующая размер геометрической фигуры. Расположенный на плоскости многоугольник занимает какую-то ее часть. Размер этой части плоскости и будет равен площади многоугольника. Определение площадей геометрических фигур является одной из древнейших задач геометрии, которая и в настоящее время имеет важное практическое значение. Так, например, определение границы земельного участка, и, в конечном итоге вычисление площади земельного участка является одной из основных задач кадастра объектов недвижимости. Картографо-геодезическое обеспечение кадастра направлено на решение указанной задачи. Точность кадастровых работ регламентирована соответствующими нормативными документами. Площадь земельного участка и конечная стоимость земельного участка связаны между собой. Вполне очевидно, что с увеличением стоимости земель должны возрастать требования к точности определения координат точек границы участка. Повышение точности определения координат поворотных точек границ земельных участков может быть достигнуто с использованием современных технологий и средств измерений (спутниковая технология, электронные тахеометры и т.д.). Таким образом, данная проблема имеет прикладное значение, ее понимание, прежде всего, важно для тех, кто осваивает навыки в области геодезии, картографии и кадастра и других областях, связанных с нахождением площади фигур.

Объект исследования – геометрия, предмет исследования – площади геометрических фигур. Цель исследования: овладеть практическими навыками, техническими приёмами, которые потребуются для вычисления площадей геометрических фигур. Задачи исследования:1. Ознакомить с различными формулами вычисления .площадей геометрических фигур.2.Ознакомить с понятием определителей, свойствами определителей, формулой вычисления площади треугольника с помощью определителя.3. Ознакомить с формулой Пика.4.Вычислить площади геометрических фигур, задаваемых на системе координат, различными способами. Выявить слабые и сильные стороны этих способов.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Рассмотрим систему из трех линейных уравнений относительно трех неизвестных

   

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице системы, назовем число D, равное Для того, чтобы вычислить определитель третьего порядка применяют две вычислительные схемы, позволяющие вычислять определители третьего порядка без особых хлопот. Эти схемы известны как «правило треугольника» (или «правило звездочки») и «правило Саррюса». Правило треугольника: сначала перемножаются и складываются элементы, соединенными на схеме линиями

т.е. получаем сумму произведений: a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32. Обратите внимание, что перемножаются элементы, соединенные одной линией, прямой или ломанной, а потом полученные произведения складываются. Затем перемножаются и складываются элементы, соединенные на схеме

т.е. получаем другую сумму произведений a13a22a31+a12a21a33+a11a23a32. И, наконец, чтобы вычислить определитель, из первой суммы вычитают вторую. Тогда окончательно получаем формулу вычисления определителя третьего порядка:

D=(a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32)-(a13a22a31+a12a21a33+a11a23a32). Правило Саррюса: к определителю справа дописывают два первых столбца, а затем считают сумму произведений элементов определителя в одном направлении и из нее вычитают сумму произведений элементов в другом направлении (Рис. 1):

Рис. 1 Свойства определителей 3 порядкатакже помогают в вычислениях определителей:Свойство 1. Величина определителя не изменяется при замене строк столбцами.Свойство 2. При перестановке двух строк (столбцов) между собой, величина определителя меняет знак.Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми (пропорциональными) строками (столбцами) равен нулю.Свойство 4. Если все элементы некоторой строки (столбца) содержат одинаковый множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) есть сумма равного числа слагаемых, то определитель будет равен сумме определителей, в которых элементы указанной строки (столбца) записываются отдельными слагаемыми.Свойство 6. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то весь определитель тоже равен нулю.Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) добавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель. Миноры и алгебраические дополненияРассмотрим определитель третьего порядка

   

вычеркнем из определителя одну строку и один столбец, например, первую строку и второй столбец. Из оставшихся элементов составим определитель второго порядка

номер которого (индекс у D) определяется номерами вычеркнутых строки (первой) и столбца (второй). Если из определителя вычеркнуть другие строку и столбец, например, третий и третий, соответственно, то оставшиеся элементы будут также составлять определитель второго порядка, номер которого теперь будет другой –

Определение. Определитель, который получается вычеркиванием одной строки и одного столбца из исходного определителя называется минором основного определителя. Очевидно, что определитель третьего порядка имеет 9 различных миноров второго порядка, т.е. каждый элемент определителя имеет минор.

Определение. Назовем алгебраическим дополнением любого элемента определителя D минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если сумма номеров элемента четная и минус в противном случае . Теорема 1. Определитель D равен сумме произведений элементов любого столбца или строки на их алгебраические дополнения Очевидно, что для определителя третьего порядка можно записать шесть различных равенств (по трем столбцам и по трем строчкам). Теорема 2. Суммы, произведений элементов для любого столбца (строки) на алгебраические дополнения другого столбца (строки) определителя, равна нулю.Доказательство. Возьмем сумму произведений алгебраических дополнений первой строки на элементы третьей строки. Получим

Разложение определителя по строке или столбцу дает нам правило вычисления любых определителей высоких порядков (четвертого и выше). Определение . Определителем n -го порядка называется число равное алгебраической сумме

где Aij=(-1)i+jDij есть алгебраические дополнения элемента aij, а Dij- есть соответствующие миноры, т.е. определители ( n-1 )-го порядка, получающиеся из исходного определителя вычеркиванием первой строки и n -го столбца, на пересечение которых находится элемент aij. Рассмотренные приемы позволяют вычислять определители любых порядков.

При нахождении площадей фигур можно пользоваться следующими приёмами:

1.Площадь треугольника с вершинами в точках вычисляется по формуле:

.

2.Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника.

3. Любой сложный многоугольник можно представить составленным из более простых многоугольников. В этом случае его площадь равна сумме площадей, входящих многоугольников.

4.Можно воспользоваться формулой Пика Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и - число клеток, которые имеют с внутренностью. Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки многоугольника хоть одну общую точку. Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой: Теорема Пика. Пусть — число целочисленных точек внутри многоугольника, — количество целочисленных точек на его границе, — его площадь. Тогда справедлива формула Пика: .Доказательство теоремы Пика. Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем . Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и . Имеем в этом случае и, по формуле Пика, Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами и , рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат целочисленных точек. Тогда для этого случая и получаем, что Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (Рис. 2 и Рис. 3). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Рис. 2 Рис. 3

Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной. Пусть многоугольник и треугольник имеют общую сторону. Предположим, что для формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из добавлением . Так как и имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через и получим — число внутренних целочисленных точек нового многоугольника, — число граничных точек нового многоугольника. Из этих равенств получаем Так как мы предположили, что теорема верна для и для по отдельности, то Что и требовалось доказать. Теорема Пика — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел.

Пример. Для многоугольника на рисунке (Рис. 3) (желтые точки), (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому квадратных единиц.

Рис. 3

Задание B3. Найдите площади фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (Рис. 4). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рис. 4

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задача 1. Вычислить площадь .

1 способ.Решение. Решим задачу с помощью определителя. Введем вспомогательную прямоугольную систему координат (Рис. 5) и определяем координаты вершин данного треугольника: .

Рис. 5

Применим формулу :

Ответ: 8 кв.ед.

2 способ.Решение. Решим задачу с помощью формулы Проведем высоту CD к стороне AB (Рис. 6):

Рис. 6

Ответ: 8 кв.ед.

3 способ.Решение. Решим задачу с помощью способа «вырезания». Достроим прямоугольник (Рис. 7).

Рис. 7

Ответ: 8 кв.ед.

4 способ.Решение. Решим задачу с помощью формула Пика:. Выделим узловые внутренние и граничные точки фигуры (Рис. 8).

Рис. 8

Ответ: 8 кв.ед.

Применить метод «полных» клеток нельзя.

Задача 2. Вычислить площадь трапеции (Рис. 9).

Рис. 9

1 способ.Решение. Решим задачу с помощью определителя. Для этого вводим вспомогательную прямоугольную систему координат (Рис. 10), разбиваем трапецию на треугольники, например, , с помощью вспомогательных построений, определяем координаты вершин полученных треугольников: .

Рис. 10

Первый определитель вычисляем, замечая, что в первой строке только один элемент не равен нулю, а второй – разложением по второй строке.

Ответ: 10,5 кв.ед.2 способ. Решение. Решим задачу с помощью формулы

Ответ: 10,5 кв.ед.

3 способ.Решение. Решим задачу с помощью способа «вырезания». Достроим прямоугольник (Рис. 11).

Рис. 11

Ответ: 10,5 кв.ед.

4 способ.Решение. Решим задачу с помощью формула Пика:. Выделим узловые внутренние и граничные точки фигуры (Рис. 12).

Рис. 12

Ответ: 10,5 кв.ед.

5 способ.Решение. Применим метод «полных» клеток (Рис.13).

Рис. 13

Ответ: 10,5 кв.ед.

Задача 3. Вычислить площадь четырехугольника.

1 способ.Решение. Решим задачу с помощью определителя. Введем вспомогательную прямоугольную систему координат (Рис. 14) и определяем координаты вершин данного четырехугольника: .

Рис. 14

Применим формулу . Первый определитель вычисляем по правилу треугольника, второй – по правилу Саррюса (Рис. 15).

и

Рис. 15

Ответ: 5 кв.ед.

2 способ.Решим задачу с помощью формулы

Ответ: 5 кв.ед.

3 способ. Решим задачу с помощью способа «вырезания» (Рис. 16). Достроим прямоугольник

Рис. 16

Ответ: 5 кв.ед.

4 способ.Решение. Решим задачу с помощью формула Пика:. Выделим узловые внутренние и граничные точки фигуры (Рис. 17).

Рис. 17

Ответ: 5 кв.ед.

Применить метод «полных» клеток нельзя.

Задача 4. Вычислить площадь треугольника (Рис. 18).

Рис. 18

1 способ.Решение. Решим задачу с помощью определителя. Введем вспомогательную прямоугольную систему координат (Рис. 19) и определяем координаты вершин данного треугольника: .

Рис. 19

Применим формулу и приведем определитель к треугольному виду, предварительно переставляя местами первую и последнюю строки:

Ответ: 6 кв.ед.

2 способ.Решение. Решим задачу с помощью формулы Проведем высоту BD к стороне AC (Рис. 20):

Рис.20

Ответ: 6 кв.ед.

3 способ.Решение. Решим задачу с помощью способа «вырезания». Достроим прямоугольник (Рис. 21).

Рис. 21

Ответ: 6 кв.ед.

4 способ.Решение. Решим задачу с помощью формула Пика:. Выделим узловые внутренние и граничные точки фигуры (Рис. 22).

Рис. 22

Ответ: 6 кв.ед.

Применить метод «полных» клеток нельзя.

Задача 5. Вычислить площадь четырехугольника (Рис. 23).

Рис. 23

1 способ.Решение. Решим задачу с помощью определителя. Введем вспомогательную прямоугольную систему координат (Рис. 24) и определяем координаты вершин данного четырехугольника: .

Рис. 24

Применим формулу :

Ответ: 10 кв.ед.

2 способ.Решение. Так как

Решим задачу с помощью формулы

Ответ: 10 кв.ед.

3 способ.Решение. Решим задачу с помощью способа «вырезания». Достроим прямоугольник (Рис. 25).

Рис. 25

Ответ: 10 кв.ед.

4 способ.Решение. Решим задачу с помощью формула Пика:. Выделим узловые внутренние и граничные точки фигуры (Рис. 26).

Рис. 26

Ответ: 10 кв.ед.

Применить метод «полных» клеток нельзя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты исследования предсьавлены в Таблице 1:

Рациональные (Р)/нерациональные (Н) способы, Н/П (не применим)

№ способа

Способ

Задача 1

Задача 2

Задача

3

Задача

4

Задача

5

1 способ

Определитель

Р

Р

Р

Р

Н/П

2 способ

По формулам площадей

Н

Р

Р

Р

Р

3 способ

Метод «вырезания»

Н

Н

Р

Р

Н/П

4 способ

Формула Пика

Р

Р

Р

Р

Н/П

5 способ

Метод «полных» клеток

Р

Н

Р

Р

Н/П

Таблица 1

В процессе исследования была изучена справочная, научно-популярная литература. В результате исследований появилась возможность расширить свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определить классификацию исследуемых задач, убедиться в их многообразии способов вычисления площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке Рассмотренные задачи имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Рассмотренный предмет исследования достаточно многогранен, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Исследуемые фигуры часто требуют применения векторной геометрии, теоремы Пифагора. К рациональным способам вычисления площади фигуры можно отнести формулу Пика, вычисление площади с помощью определителя. Универсальным способом можно назвать способ вычисления по формулам площадей, значит, возникает необходимость знать всё разнообразие формул.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. НОУ «ИНТУИТ» Лекция Определители – Режим доступа http://www.intuit.ru/ (дата обращения 09.06.2017)

2. Формула Пика. Математические этюды - Режим доступа: http://www.etudes.ru/ru/etudes/pick/ (дата обращения 09.06.2017)

3.Васильев Н. Б. Вокруг формулы Пика // Квант. — 1974. — № 12 стр.39-43

4. Матвеева Н. М.; Валеева А. А. Методическое пособие разработано для проведения практических занятий со студентами 4-го курса, обучающихся по специальности "Почвоведение" - Режим доступа: http://dspace.kpfu.ru/ (дата обращения 09.06.2017)