IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПРОПОРЦИЯ И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
Дунаев Д.В.
Автор работы награжден дипломом победителя второй степени
Диплом школьника      Диплом руководителя
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

" Красота должна отвечать строгому числу"

Л.Б.Альберти

Искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии. Мы находим их в пропорциях архитектуры и скульптуры, в расположении предметов и фигур, сочетании красок в живописи, в чередовании рифм и мерности ритма в поэзии, в последовательности музыкальных звуков. Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы.

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот мы подходите к пустой скамейке, и садимся на нее. Где мы сядем — посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое… Мы сядем так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно нашего тела, будет равно примерно 1,62. Странная, загадочная, необъяснимая вещь: это число мистическим образом сопутствует всему живому. Мы непременно увидимтакое отношение и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Во всем живом и красивом— в том, что подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение».

Цель работы: познакомиться с понятием «золотое сечение».

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

  • дать определение понятию «золотое сечение»;

  • рассмотреть основные задачи на построение золотого сечения с помощью циркуля и линейки;

  • познакомиться с историей возникновения понятия «золотое сечение»;

  • выяснить где встречается золотое сечение в окружающем нас мире.

Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат.proportio) называют равенство двух отношений:

.

Отрезок прямой AB можно разделить на две части следующими способами:

  • на две равные части AB: AC = AB: BC

  • на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

  • таким образом, когда AB: AC = AC: BC.

Последнее и есть золотое сечение.

Золотое сечение– это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:

или .

Геометрическое изображение золотой пропорции:

Построение золотого сечения с помощью циркуля и линейки

  • Деление отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки

Дано: АВ – отрезок произвольной длины.

Построить: точку Е так, чтобы она делила отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Построение:

  1. Из конца отрезка – точки В восстановим перпендикуляр ВС, равный половине АВ. (строим окружность с центром в точке В с радиусом , равным 0,5АВ)

  2. Соединяем отрезком точки А и С.

  3. Строим окружность с центром в точке С радиуса ВС, она пересекает отрезок АС в точке D.

  4. Строим окружность с центром в точке А радиуса АD. Она пересечет отрезок АВ в точке Е.

  5. Точка Е – искомая.

Если выполнить измерение отрезков АВ, АЕ и ЕВ, то будет выполнено условие задачи, что:

.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если AB принять за единицу, BE = 0,382... Для практических целей часто используют приближённые значения 0,62 и 0,38. Если отрезок AB принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

  • Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (14711528).

Построение:

Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и E – середина отрезка OA. Перпендикуляр к радиусу OA, восставленный в точке O, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

  • Построение золотого треугольника

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит её в пропорции золотого сечения.

Построение:

  1. Проводим прямую AB.

  2. От точки A откладываем на ней три раза отрезок O произвольной величины.

  3. Через полученную точку P проводим перпендикуляр к линии AB.

  4. На перпендикуляре вправо и влево от точки P откладываем отрезки O.

  5. Полученные точки D и D1 соединяем прямыми с точкой A.

  6. Отрезок DD1 откладываем на линию AD1, получая точку C. Она разделила линию AD1 в пропорции золотого сечения.

  • Построение «золотого» прямоугольника

Дано: квадрат с произвольной стороной.

Построить прямоугольник, отношение сторон которого равно «золотому сечению».

Построение:

  1. Разделим две противоположные стороны квадрата пополам.

  2. Проведем отрезок, соединяющий середины противоположных сторон квадрата (разобьем данный квадрат на два прямоугольника).

  3. Построим окружность с центром в середине одной стороны и радиусом, равным диагонали, полученного прямоугольника.

  4. Эта окружность пересечет продолжение стороны квадрата в точке А.

  5. Проведем из точки А прямую, параллельную стороне квадрата.

  6. Она пересечет продолжение другой стороны квадрата в точке В.

  7. Таким образом, получим искомый прямоугольник.

 

А

В

 

История возникновения понятия «золотое сечение»

Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что он своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Французский архитектор Ле Корбюзье нашёл, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящён математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции.

При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» даётся геометрическое построение золотого деления.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди учёных и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи.

Он говорил о пропорции человеческого тела: «Если мы человеческую фигуру – самое совершенное творение Вселенной – перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека к длине от пояса до ступней».

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер.

Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он объявил пропорцию золотого сеченияуниверсальной для всех явлений природы и искусства.

Золотые пропорции в частях тела человека

Цейзинг измерил около двух тысяч человеческих тел и пришёл к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорождённого пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону.

С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Золотое сечение в окружающем нас мире

  • В природе

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда.

У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме логарифмической спирали, которая точно соответствуют «золотой пропорции»

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д.

Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.

Паук плетет паутину спиралеобразно.

Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

  • В искусстве

Под «правилом золотого сечения» в архитектуре и искусстве обычно понимаются асимметричные композиции, не обязательно содержащие золотое сечение математически.Многие утверждают, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные.Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения».

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал “золотое сечение” в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618.

  • Ряд Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г. вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счётной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Месяцы

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

и т.д.

Пары кроликов

0

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

и т.д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:

2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.,

а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – даёт непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

  • В современной науке

Числа – это строительный материал, божественного творения.

Весь окружающий мир можно разделить с точки зрения формообразования на две группы - то, что создано руками человека и то, что мы называем природой.

Наличие золотой пропорции в формах объектов, созданных человечеством можно объяснить на основе анализа следующих исследований.

«Психологические опыты Фехнера»

Густав Теодор Фехнер - немецкий физик, психолог, философ, профессор физики Лейпцигского университета.«Опыты Фехнера» были направлены на выявление у взрослых людей чувства прекрасного, гармонии. Всем участникам опыта (228 мужчин и 119 женщин) предлагалось оценить эстетические качества десяти белых прямоугольников с отношением сторон от 1:1 (квадрат) до 2:5. Одним из них был «золотой» прямоугольник с отношением сторон 21:34 (что весьма близко к «золотому» прямоугольнику). Испытуемым предлагалось посредством сравнения упорядочить прямоугольники по степени привлекательности для восприятия, отобрав один из прямоугольников, наиболее удовлетворяющих «эстетическому критерию». Опыты оказались чрезвычайно благоприятными для «золотого» прямоугольника.

Прямоугольники Фехнера

В 1958 г. «опыты Фехнера» были повторены английскими учеными. Эти опыты вновь оказались весьма благоприятными для золотого сечения. Большинство испытуемых (35%) без промедления указали на «золотой» прямоугольник 21:34. Соседние к нему фигуры (2:3 и 13:23) также были оценены весьма высоко (20% — верхняя фигура и 19% — нижняя). Все остальные прямоугольники получили не более 10%.

Эти же опыты, проведенные в детской аудитории, дали совершенно иные результаты, не обнаружив чувства гармонии, свойственного взрослым. Отсюда было сделано заключение, что, по-видимому, ощущение прекрасного в его наиболее тонких и глубоких сторонах присуще лишь человеку зрелому.

Это объясняется строением глазного дна человека. Поле ясного зрения имеет форму эллипса, поэтому предметы, в форме которых содержится золотая пропорция, воспринимаются «благоприятно».

Не напрасно всеми нами любимые экраны TV и кредитные карточки имеют соотношение длины и ширины равное золотой пропорции.При исследовании математических закономерностей электрических колебаний мозга А.А.Соколов и Я.А.Соколов, показали, что соотношение частот волн (ритмов) электрических колебаний мозга равно золотой пропорции.

Заключение

В ходе работы было дано определение Золотого сечения, изучена литература, связанная с этим понятием. Выполнены построения основных золотых фигур: треугольника, прямоугольника, пятиугольника и других.

Исследования Золотого сечения в архитектуре, живописи, показали признаки Золотого сечения в разных эпохах.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

Золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы.

Человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе. Закономерности Золотого сечения заложены в подсознании человека, использовались и используются архитекторами в своих работах.Золотое сечение является отображением окружающегося мира и имеет большое применение в нашей жизни.

Литература

  1. Васюткинский Н.Н. Золотая пропорция. – М., 1990

  2. Ковалев Ф.В. "Золотое сечение в живописи"

Интернет ресурсы:

  1. http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/

  2. http://russian7.ru/2014/09/zolotoe-sechenie-kak-ehto-rabotaet/

  3. http://podelki-sr.ru/tvorcheskie-zadachi-mastera-po-derevu/116-proporcii-zolotoe-sechenie-izmeritel-zolotogo-secheniya.html

  4. http://www.sibdesign.ru/index.php?text=1&razdel=stat&textnew=20030615041954

  5. http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/golden-section-pic002.htm

  6. http://shedevrs.ru/materiali/375-zolotoe=ceche.html?start=1

  7. https://ru.wikipedia.org

  8. http://www.abc-people.com/data/leonardov/zolot_sech-txt.htm