IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ДВИЖЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Михеева Д.А.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

С симметрией мы встречаемся везде - в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания, его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Созданные природой и человеком модели заинтересовали меня очень давно. Наш мир невообразимо богат формами - капли, дюны, перья, листья, кристаллы, атомная структура молекул, а так же симметрия форм автомобиля и самолета, симметрия в ритмическом построении стихотворения и музыкальных фразах, симметрия орнаментов и бордюров и т. д. Такое разнообразие от микромира, например, в капле воды из озера до галактики во Вселенной. Что означает это переплетение правильности, разнообразия и единообразия? Если правильность - следствие математических законов, то откуда берётся разнообразие? Если разнообразие - результат сложного строения нашего мира, как и Вселенной, то откуда берётся эта правильность? Математика раскрывает эти механизмы. Законы математики действуют на уровнях атомов и галактик. Объяснением поразительно широкого круга природных форм служит симметрия - отличительный признак математических моделей. Эта тема связана с вопросами гармонии нашего мира.

Таким образом, заинтересовавшись симметрией в окружающем мире, я поставила перед собой следующие цели и задачи:

Цель проекта: исследование проявлений симметрии на плоскости и в пространстве.

Объект исследования: различные группы, типы и виды симметрий.

Предмет исследования: симметрия.

Задачи проекта:

1. Изучить источники информации по выбранной теме (книги, интернет).

2. Расширить свои знания в области изучаемой темы.

3. Рассмотреть виды симметрии на плоскости и в пространстве.

4. Составить брошюру по выбранной теме.

5. Обобщить изученный в ходе работы материал и сформулировать вывод.

6. Представить продукт проекта: брошюра.

Актуальность выбранной темы: составление брошюры с материалом теории и задач по выбранной теме.

Методы исследования:

  • Теоретический;

  • Практический.

Математические модели

Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образцы, чей вид неизменно привлекает наше внимание, например, отдельный цветок, снежинки, мотылёк или морская раковина и т.д. Созданные природой формы очень интересны. В основе этих удивительных природных форм лежат законы математики.Математическая модель - математическое представление реальности, один из вариантов модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе. Математическая модель - это математическое представление форм в реальности: шестиугольные ячейки пчелиных сот, широкие четкие полосы на хвосте енота, круговая рябь на воде, шестисторонняя форма снежинки, пятистороннее расположение зёрен в гранате, кристаллы соли и другое. Симметрия в искусстве и декоративных ремеслах преобладает на протяжении всей истории, симметрия применима в архитектурном дизайне объектов всех форм и размеров. Мы все можем оценить красоту математических моделей. Математические модели выходят и за пределы нашей планеты: планеты, некоторые их спутники, самые крупные астероиды шарообразны, в кольцах Сатурна преобладают круговые структуры, движение планет в Солнечной системе - эллипсы, галактики - гигантские спирали.

Понятие симметрии

Самым важным понятием в области математических моделей является симметрия. На явлении симметрии в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием учения о гармонии (V век до н.э.). Симметрия- от греч. symmetria - соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Симметрия (матем.) - понятие, отражающее существующий в природе порядок, пропорциональность и соразмерность между элементами какой-либо системы или объекта природы, упорядоченность, равновесие системы, устойчивость. Законы природы являются симметричными, но при ближайшем их рассмотрении, в каждом из них можно найти хоть небольшой изъян. Оказывается, что природа не терпит точной симметрии. Природа почти, но не абсолютно симметрична. Примером этому являются догадки Пифагора, который считал, что орбиты, по которым движутся планеты, являются совершенными окружностями, на самом же деле и это не так. Или если мы посмотрим на человека - внешне он симметричен, а строение органов и их расположение абсолютно ассиметрично. Отсутствие или нарушение симметрии называется асимметри́ей или аритмией. В широком смысле симметрию можно понимать как неизменность при каких-либо преобразованиях. Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Симметрия служит отличительным признаком моделей, определяющим не то, почему они возникают, а что они собой представляют. Законы природы подчиняются принципам симметрии. Симметрией обладают объекты и явления окружающего мира. Живым организмам симметрия позволяет лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.

В повседневном языке слово «симметрия» - это пропорциональность. В математике - какая-либо форма является симметричной, если она после тех или иных преобразований - отображения, поворота, сдвига, увеличения или уменьшения - выглядит в точности такой же. Каждое такое преобразование - симметрия данного объекта. В живой природе огромное большинство живых организмов обнаруживает различные виды симметрий (формы, подобия, относительного расположения). Причем организмы разного анатомического строения могут иметь один и тот же тип внешней симметрии.

Группы симметрий

Существуют две группы, которые описывают общие симметрийные свойства:

  • К первой группе относится симметрия положений, форм и структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

  • Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира. Её можно назвать физической симметрией.

Типы симметрий

  • Вращательная.

Любой организм обладает вращательной симметрией. При повороте на какой-либо градус контуры тела совпадут с исходным положением. Минимальный градус совпадения контура имеет шар, вращающийся около центра симметрии. Максимальный градус поворота 3600, когда при повороте на эту величину контуры тела совпадут. Если тело вращается вокруг центра симметрии, то через центр симметрии можно провести множество осей и плоскостей симметрии. Если тело вращается вокруг одной оси, то через эту ось можно провести столько плоскостей, сколько имеет данное тело. (Приложение 1).

  • Поступательная.

Для поступательной симметрии характерным элементом являются метамеры(meta – один за другим; mer – часть), которые расположены последовательно друг за другом вдоль главной оси тела. (Приложение 2).

  • Вращательно-поступательная. Модификация.

Этот тип симметрии ограничен. При повороте на определённый угол часть тела немного проступает вперед и её размеры каждый последующий размер увеличивает на определённую величину. (Приложение 3).

Элементы симметрии

1. Плоскость симметрии - плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение. Обозначается этот элемент симметрии прописной (большой) латинской P. В новой международной системе обозначения элементов симметрии обозначается строчной (маленькой) латинской буквой m (от фр. mirior – зеркало).

2. Ось симметрии - прямая линия, вокруг которой несколько раз повторяются равные части симметричной фигуры. Эти равные части расположены так, что после поворота вокруг оси на некоторые угол фигура занимает в пространстве то же положение, которое она занимала и до поворота, только на месте одних ее частей оказались другие равные им части. Оси симметрии бывают самые разнообразные. Вокруг таких осей одинаковые части фигуры могут повторяться и самосовмещаться один, два, …, шесть раз и т. д. Число самосовмещений фигуры при ее повороте вокруг оси на 360° называется «порядком оси», который может быть только целым числом.

3. Центр симметрии. Центром симметрии является особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через эту точку прямая по обе стороны от нее и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. Действие центра симметрии можно уподобить отражению в зеркальной точке. Обозначение этого элемента – прописная (большая) буква С.

Виды симметрий

С помощью элементов симметрии можно описать некоторые основные виды симметрии.

Центральная симметрия

Понятие «центральная симметрия» фигуры предполагает существование определенной точки – центра симметрии. По обе стороны от него располагаются точки, принадлежащие этой фигуре. Каждая из них имеет симметричную себе. (Приложение 4). Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры в точку А1, симметричную ей относительно центра О, называется центральной симметрией. Точка О – центр симметрии (точка неподвижна). Центральная симметрия присутствует в таких известных всем фигурах, как параллелограмм и окружность. И у первой, и у второй фигуры центр один. Центр симметрии параллелограмма расположен в точке пересечения прямых, вышедших из противоположных точек; в окружности – это центр ее самой. Для прямой характерно наличие бесконечного количества таких участков. Каждая ее точка может являться центром симметрии. Центральная симметрия предполагает поворот одной части фигуры на сто восемьдесят градусов около центра. Таким образом, одна часть встанет в зеркальное положение относительно второй. Две части фигуры можно, таким образом, наложить друг на друга, не выводя из общей плоскости. В алгебре в изучении нечетных и четных функций осуществляется с использованием графиков. Для четной функции график построен симметрично по отношению к оси координат. Для нечетной – по отношению к точке начала координат, то есть О. Так, для нечетной функции присуща центральная симметрия, а для четной – осевая. Достаточно распространена центральная симметрия в природе. Среди многообразия форм в изобилии можно встретить самые совершенные образцы. К таким образцам, привлекающим взгляд, относятся различные виды растений, моллюсков, насекомых, многих животных. Центральная симметрия в жизни встречается повсеместно.

Осевая симметрия

Осевая симметрия – это симметрия относительно проведённой оси (прямой). Точки А и В симметричны относительно некоторой прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Прямая а называется осью симметрии. (Приложение 5). При осевой отражательной симметрии любой точке соответствует точка, находящаяся на том же расстоянии от оси симметрии, и лежащая на одной прямой с исходной точкой и их общей проекцией на ось симметрии. При осевой вращательной (радиальная, лучевая) – тело совпадает само с собой при вращении объекта вокруг определённой точки или прямой. Часто эта точка совпадает с центром симметрии объекта, то есть той точкой, в которой пересекается бесконечное количество осей или плоскостей. При этом тело называют осесимметричными, если они переходят в себя при любом повороте вокруг этой прямой. (Приложение 6). Применительно к плоскости эти два вида симметрии совпадают (считаем, что ось тоже принадлежит этой плоскости). Чаще всего осевая симметрия в природе может наблюдаться у растений, развивающихся перпендикулярно поверхности почвы. В этом случае симметричность является результатом поворота идентичных элементов вокруг общей оси, находящейся в центре. Угол и частота их расположения могут быть разными. Примером служат деревья: ель, клен и другие. Шаровидная симметрия характерна для плодов многих растений, для некоторых рыб, моллюсков и вирусов. А примерами лучевой симметрии являются морские звезды, некоторые виды червей, иглокожие.

Переносная симметрия

Переносная (трансляционная, скользящая) симметрия - это симметричность относительно сдвигов в каком-либо направлении на некоторое расстояние. О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние, она совмещается сама с собой. Прямая В, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, расстояние а - элементарным переносом или периодом. (Приложение 7). Преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом. Переносная симметрия обычно используется при построении бордюров. В произведениях архитектурного искусства ее можно увидеть в орнаментах или решетках, которые используются для украшения интерьеров зданий.

Поворотная симметрия

Поворотная симметрия - это симметрия при которой объект совмещается сам с собой при повороте вокруг оси на угол, равный 3600/n, где n=2,3,4… Говорят, что объект обладает поворотной симметрией, если он совмещается сам с собой при повороте на угол 360°/n, где n может равняться 2, 3, 4 и т. д. до бесконечности. Ось симметрии называется ось осью n-го порядка. (Приложение 8). В мире растений «популярна» поворотная симметрия. Возьмите в руку цветок ромашки. Совмещение разных частей цветка происходит, если их повернуть вокруг стебелька. Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, цветок совместится самим с собой. Внешний вид цветка не изменится, если его повернуть на некоторый угол вокруг оси. Угол такого поворота для различных цветов неодинаков. Для ириса = 1200, для колокольчика = 720, для нарцисса = 600. Очень часто флора и фауна одалживают внешние формы друг у друга. Морские звезды, ведущие растительный образ жизни, обладают поворотной симметрией.

Заключение

Симметрия, проявляясь в самых различных объектах материального мира, отражает наиболее общие, фундаментальные его свойства. Поэтому исследование симметрии является инструментом познания основных закономерностей существования материи. Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении столетий пытался постичь и создать порядок, красоту, совершенство. Симметрия с давних времён считалась синонимом прекрасного. Красоту, воспринимаемую зрением, порождает соразмерность частей друг с другом: быть прекрасным – значит быть симметричным. Симметрия, как объективный признак красоты, проходит через всю историю искусств. Симметрия господствует не только в природе, но и в творчестве человека: архитектуре, живописи, музыке, литературе.

В физике симметрии в уравнениях, описывающих поведение системы, помогают упростить решение с помощью нахождения сохраняющихся величин. В химии симметрия в расположении молекул объясняет ряд свойств кристаллографии, спектроскопии или квантовой химии. В биологии симметрией называются закономерно расположенные относительно центра или оси симметрии формы живого организма или одинаковые части тела. Симметрию часто можно встретить в символах мировых религий и в повторяющихся моделях социальных взаимодействий.

Проектная работа расширила мой кругозор и помогла взглянуть на окружающий мир глазами исследователя. При изучении особенностей типов и видов симметрии я выявила межпредметные связи между математикой и естественными науками, повысила интерес к изучению этой темы.

На основании полученных знаний я составила брошюру по выбранной теме, которая может использоваться при изучении этого материала на уроках геометрии.

Список литературы

1. Гильде В. Зеркальный мир. - М.: Мир, 1982.

2. Стюарт И. Магические цифры в природе. – М.: Мир книги, 2007.

3. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. – Л.: Недра, 1985.

4. Весь мир как на ладони. (http://lifeglobe.net/)

5. Симметрия. (https://ru.wikipedia.org/)

Приложение

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Приложение 8

Брошюра

«Движение на плоскости и в пространстве»

Поворотная симметрия

Поворотная симметрия - это симметрия, при которой объект совмещается сам с собой при повороте вокруг оси на угол, равный 3600/n, где n=2,3,4… Ось вращения - ось поворотной симметрии n-го порядка.

Задача.

Цветок нарцисса можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Определите угол поворота.

Центральная симметрия

Центральная симметрия - это симметрия относительно точки. Это преобразование, переводящее каждую точку фигуры в точку, симметричную ей относительно центра О.

Точка О - центр симметрии (точка неподвижна).

Задача.

Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке.

Осевая симметрия.

Осевая симметрия - это симметрия относительно проведённой оси (прямой). Это преобразование, переводящее каждую точку фигуры, расположенной по одной стороне прямой а, в соответствующую точку фигуры, расположенную по другую сторону этой прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам.

Прямая а - ось симметрии.

Задача.

Точки А и В расположены в различных полуплоскостях с границей с так, что отрезок АВ перпендикулярен прямой с и делится ею пополам. Симметричны ли точки А и В относительно прямой с?

Переносная симметрия.

Переносная симметрия - это перенос фигуры вдоль прямой на расстояние а, фигура совмещается сама с собой. Прямая В, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, расстояние а - элементарным переносом или периодом. Преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом.

Задача.

Определите период в переносной симметрии в зелёном бордюре равнобедренного треугольника со стороной 12 см.

а

_________________________________

В