IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ: РОЗЫ ГВИДО
Лавров Г.О.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Цель работы - исследовать розы (кривые) Гвидо Гранди.

1.Введение.

Кроме привычной для нас прямоугольной декартовой системы координат, в математике используются и другие способы задания положения точки в пространстве или на плоскости. Чаще всего применяются полярные координаты. Положение точки определяется при помощи луча, выходящего из полюса и пересекающего в заданном месте соответствующую окружность. В такие координаты очень естественно укладываются многие природные формы и биологические объекты. Их формы порой самым удивительным образом напоминают фигуры, образуемые в криволинейных координатах достаточно простыми и лаконичными математическими выражениями. Это сходство указывает на то, что тела живых организмов, биологические структуры, образуются по принципам, сходным с принципами построения "полярных" объектов. Живой организм "начинается" из одной исходной точки, и затем развивается и растет во все стороны по определенному математическому закону. По крайней мере, такое предположение совсем не противоречит наблюдаемому в природе обилию "математических", "полярных" форм. Природа как бы сама использует полярные координаты, что особенно бросается в глаза на примере растений, многоклеточных животных и насекомых. Вероятно поэтому фигуры, построенные в полярных координатах, обладают неповторимой эстетической привлекательностью. Они плотно ассоциируются с формами цветов, бабочек, словом, всем тем, что так много удовольствия доставляет нашему взору в живой природе.1

Полярная система координат. В полярной системе координат положение точки определяется полярным радиусом R и углом , образуемым полярным радиусом с полярной осью. Следовательно, полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел . Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Если в декартовой системе координат предельно простое выражение определяет прямую линию, то это же выражение, переписанное в форме , уже превращается в спираль. Фигуры в полярных координатах образуются как след конца бегающего по кругу полярного радиуса переменной длины. Длина полярного радиуса определяется величиной угла, который в данный момент времени он образует с полярной осью. Координата берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае. Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида, которым соответствует одна и та же точка при любых натуральных . Для полюса , угол произвольный.2

Связь между полярной и декартовой системами координат. Точка О - полярный полюс, луч ОЕ будем называть полярной осью, отрезок ОМ - называют длиной полярного радиуса R, положительный угол от луча ОЕ до луча F - полярный угол.

Если известны полярные координаты R и , точки М, то можно уставить связь с её декартовыми координатами. Построим прямоугольный ОМЕ. В этом треугольнике гипотенуза ОМ=R, ЕОМ = , катет ЕМ = у, катет ОЕ = х координаты точки М.Для того, чтобы перейти от полярных координат к декартовой системе, используют формулы: , , . Обратно, чтобы, имея прямоугольные координаты, получить расстояние нужное для задания полярных координат, надо воспользоваться теоремой Пифагора: , затем , .3 Построение кривых, заданных полярными уравнениями, имеет некоторые специфические особенности, которые мы проиллюстрируем на примерах. Как известно, математики Древней Индии заменяли доказательства теорем геометрическим чертежом, сопровождая его короткой подписью: «Смотри!». Мы пользовались тем же принципом, заменив долгие разъяснения рисунками, из которых видны все свойства кривых.

2.Классификация плоских кривых.

   

Кривая линия - это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики определяется по-разному. Например, (рис.1) циклоида – траектория движения точки окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Эта кривая состоит их ряда «арок», каждая из которых соответствует полному обороту окружности.

Рисунок 1. Циклоида

 

Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют её определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую.Различны и способы задания кривых:

· аналитический – кривая задана математическим уравнением;

· графический – кривая задана визуально на носителе графической информации;· табличный – кривая задана координатами последовательного ряда точек.

Уравнением кривой линии называется такое соотношение между переменными, которому удовлетворяют координаты точки, принадлежащей кривой.4

В основу классификации кривых положена природа их уравнений.

Кривые подразделяются на алгебраические и трансцендентные в зависимости от того, являются ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.Плоская кривая линия называется алгебраической, если её уравнение f(xy)=0. Функция f (xy) является степенным множителем относительно переменных хи у; в остальных случаях кривая называется трансцендентной. Кривая линия, представленная в декартовых координатах уравнением п-й степени, называется алгебраической кривой п-го порядка. Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими, остальные пространственными.5

 

Плоские Кривые линии.

 

Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими.

Порядок плоской алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек её пересечения прямой линией. Любая прямая линия может пересекать алгебраическую кривую линию п-го порядка не более, чем в п точках.

Рассмотрим несколько примеров алгебраической кривой линии:

Рисунок 2. Парабола

 

Рисунок 3. Гипербола

 

Рисунок 4. Эллипс

 
1. Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках (рис.2). При этом парабола может быть определена как:

-множество точек М(A,B,C,...) плоскости, расстояние которых до определенной точки F этой плоскости (фокуса параболы) равно расстоянию до определенной прямой DD1 - директрисы параболы;

-линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельная какой либо касательной плоскости этого конуса;

-в прямоугольной системе координат 0ху с началом в вершине параболы и осью направленной по оси параболы уравнение параболы имеет так называемый канонический вид

y2=2px,

где р (фокальный параметр) - расстояние от фокуса до директрисы.

2. Гипербола :

- множество точек М(A,B,C,...) плоскости, (рис.3) разность (по абсолютной величине) расстояний которых до двух определенных точек F и F1 этой плоскости (фокусов гиперболы) величина постоянная:

FM - F1M=2а 1, - рациональное число, роза состоит из m лепестков при m и n нечетных и из 2m лепестков, если одно из этих чисел четное (при этом каждый следующий лепесток частично покрывает предыдущий). 4. Если k - иррациональное число, роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.(приложение №2)

4.Разнообразие роз Гвидо Гранди

5. Исследования Хабенихта.

Математическим исследованием формы цветов и листьев занимался также Хабенихт – геометр 19 столетия. Им был получен целый ряд уравнений, которые с весьма хорошим приближением выражали аналитически формы листьев клена, щавеля, ивы и т. д. Вот некоторые из этих кривых:в полярных координатах можно описать при помощи косинусов кратных дуг линии, которые обрисовывают контуры листьев некоторых растений:

• кувшинки: (рис. а);• кислицы: (рис. б);• настурции: (рис. в);

• стрелолиста: (рис. г).

Интересные «цветы» получаются при построении кривых заданных уравнением: , которое задает на плоскости две линии: окружность и розу .

Исследование формы кривой при постоянном значении радиуса , и изменяющемся значения коэффициента при угле .8

«Цветочная фантазия» на основе кривых Хабенихта, (получены с помощью графопостроителя Advanced Grapher).

 

6.Применение. Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки — центра колебаний, то траектория этой точки будет розой.Вообще, если k — натуральное число, то роза состоит из 2k лепестков при четном k и из k: лепестков при k нечетном. Если k — рациональное число (k=, то роза состоит из т лепестков в случае, когда оба числа т и п нечетные, и из 2т лепестков, когда одно из этих чисел является четным; при этом лепестки частично перекрываются. Если k - иррациональное число, то роза состоит из бесконечного множества частично перекрывающихся лепестков.7.Заключение. В данной работе было приведена классификация роз Гвидо Гранди и описаны их основные свойства: порядок алгебраической линии; рассмотрены особые точки кривой; приведена формулы по вычислению длины дуги, радиуса кривизны. Кривая применяется при нарезке зубчатых передач и при описании движения галактических объектов относительно произвольной точки галактики (Земля).

8.Литература и Интернет-ресурсы.

1. rusproject.narod.ru›article/polar.htm

2. http://matica.org.ua/osnovi-visshey-matematiki/03-06-polyarnaya-sistema-koordinat- Курс лекций по высшей математике

3. wikipedia.org/wiki/

4. http://gvidograndi.jimdo.com/-Как строить графики в полярных координатах.

5. Большая Советская энциклопедия. А. М. Прохоров .-М.:Советская энциклопедия , 1969 .

6. Бюшгенс С. С. Дифференциальная геометрия. ЛКИ, 2008.

7. Гильберд Д. Наглядная геометрия. ОНТИ НКТП.,1936.

8. Савелов. А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. М: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960

9. Яковлев Г.Н.Геометрия.п.13.Л: Альфа, 1995.

                           
           

Приложение 1.

Инструкция по построению кривых с помощью программы Microsoft Excel.9

Если уравнение задано в декартовых координатах, то следует перевести его в полярные, используя формулы: X=R*COS(F), Y=R*SIN(F). Следовательно, математическая модель у нас уже есть. Рассмотрим пример построения кривой. Задача. Построить кривую, заданную уравнением .Решение. Найдем уравнение данной линии в полярных координатах.

Для программы Microsoft Excel: R=4*COS(3*F).Предположим, что угол F изменяется в интервалах от 0 до 2. Для того, чтобы построить эту кривую наиболее точно, с малым шагом изменения угла F, как мы это делали при построении тригонометрических функций, мы выберем шаг изменения 0,1. Построим компьютерную модель исследования. Формулы будут записаны в терминах электронных таблиц следующим образом:

А2 0,1 А3 =А2+0,1B2 =4*COS(3*F)C2 =SIN(А2)D2 =COS(А2)E2 =B2*D2F2 =В2*C2

Тогда получаем следующее распределение по столбцам электронной таблицы:

1

F

R

SIN(F)

COS(F)

X

Y

2

0,1

3,821346

0,099833

0,995004

3,802255

0,381498

3

0,2

3,301342

0,198669

0,980067

3,235535

0,655875

4

0,3

2,48644

0,29552

0,955336

2,375387

0,734793

5

0,4

1,449431

0,389418

0,921061

1,335014

0,564435

6

0,5

0,282949

0,479426

0,877583

0,248311

0,135653

Для построения графика выделим информационный блок E2..F63, так как аргумент F, будем изменять от 0,1 до 6,3 радиана. Возможно изменение и до 9,42, 12,56, и т. д. Получим следующий график.

Приложение 2.Мои построения.

F

R

SIN(F)

COS(F)

X

Y

0,1

3,684244

0,099833

0,995004

3,665838

0,367811

0,2

2,786827

0,198669

0,980067

2,731276

0,553657

0,3

1,449431

0,29552

0,955336

1,384694

0,428336

0,4

-0,1168

0,389418

0,921061

-0,10758

-0,04548

0,5

-1,66459

0,479426

0,877583

-1,46081

-0,79805

0,6

-2,94957

0,564642

0,825336

-2,43439

-1,66546

0,7

-3,76889

0,644218

0,764842

-2,88261

-2,42799

0,8

-3,99318

0,717356

0,696707

-2,78207

-2,86453

0,9

-3,58703

0,783327

0,62161

-2,22974

-2,80982

1

-2,61457

0,841471

0,540302

-1,41266

-2,20009

1,1

-1,22933

0,891207

0,453596

-0,55762

-1,09559

1,2

0,349996

0,932039

0,362358

0,126824

0,32621

1,3

1,874067

0,963558

0,267499

0,501311

1,805772

1,4

3,102264

0,98545

0,169967

0,527283

3,057125

1,5

3,840681

0,997495

0,070737

0,271679

3,83106

 

F

R

SIN(F)

COS(F)

X

Y

0,1

3,301342

0,099833

0,995004

3,284849

0,329584

0,2

1,449431

0,198669

0,980067

1,420539

0,287957

0,3

-0,90881

0,29552

0,955336

-0,86822

-0,26857

0,4

-2,94957

0,389418

0,921061

-2,71674

-1,14862

0,5

-3,95997

0,479426

0,877583

-3,4752

-1,89851

0,6

-3,58703

0,564642

0,825336

-2,96051

-2,02539

0,7

-1,96104

0,644218

0,764842

-1,49989

-1,26334

0,8

0,349996

0,717356

0,696707

0,243845

0,251072

0,9

2,538772

0,783327

0,62161

1,578126

1,988688

1

3,840681

0,841471

0,540302

2,075129

3,231822

1,1

3,80093

0,891207

0,453596

1,724087

3,387417

1,2

2,433405

0,932039

0,362358

0,881763

2,268029

1,3

0,215822

0,963558

0,267499

0,057732

0,207957

1,4

-2,07715

0,98545

0,169967

-0,35305

-2,04693

1,5

-3,64452

0,997495

0,070737

-0,2578

-3,63539

 

F

R

SIN(F)

COS(F)

X

Y

0,1

3,920266

0,099833

0,995004

3,900681

0,391374

0,2

3,684244

0,198669

0,980067

3,610804

0,731946

0,3

3,301342

0,29552

0,955336

3,153893

0,975613

0,4

2,786827

0,389418

0,921061

2,566837

1,085241

0,5

2,161209

0,479426

0,877583

1,89664

1,036139

0,6

1,449431

0,564642

0,825336

1,196267

0,81841

0,7

0,679869

0,644218

0,764842

0,519992

0,437983

0,8

-0,1168

0,717356

0,696707

-0,08137

-0,08379

0,9

-0,90881

0,783327

0,62161

-0,56492

-0,71189

1

-1,66459

0,841471

0,540302

-0,89938

-1,4007

1,1

-2,354

0,891207

0,453596

-1,06777

-2,09791

1,2

-2,94957

0,932039

0,362358

-1,0688

-2,74912

1,3

-3,42756

0,963558

0,267499

-0,91687

-3,30265

1,4

-3,76889

0,98545

0,169967

-0,64059

-3,71405

1,5

-3,95997

0,997495

0,070737

-0,28012

-3,95005

 

F

R

SIN(F)

COS(F)

X

Y

0,1

0

0,099833

0,995004

0

0

0,2

3,301342

0,198669

0,980067

3,235535

0,655875

0,3

2,48644

0,29552

0,955336

2,375387

0,734793

0,4

1,449431

0,389418

0,921061

1,335014

0,564435

0,5

0,282949

0,479426

0,877583

0,248311

0,135653

0,6

-0,90881

0,564642

0,825336

-0,75007

-0,51315

0,7

-2,01938

0,644218

0,764842

-1,54451

-1,30092

0,8

-2,94957

0,717356

0,696707

-2,05499

-2,1159

0,9

-3,61629

0,783327

0,62161

-2,24792

-2,83274

1

-3,95997

0,841471

0,540302

-2,13958

-3,3322

1,1

-3,94992

0,891207

0,453596

-1,79167

-3,5202

1,2

-3,58703

0,932039

0,362358

-1,29979

-3,34326

1,3

-2,90373

0,963558

0,267499

-0,77674

-2,79791

1,4

-1,96104

0,98545

0,169967

-0,33331

-1,93251

1,5

-0,84318

0,997495

0,070737

-0,05964

-0,84107

1,6

0,349996

0,999574

-0,0292

-0,01022

0,349847

1,7

1,511911

0,991665

-0,12884

-0,1948

1,499309

1,8

2,538772

0,973848

-0,2272

-0,57681

2,472377

1,9

3,338851

0,9463

-0,32329

-1,07942

3,159555

 

1 rusproject.narod.ru›article/polar.htm

2 http://matica.org.ua/osnovi-visshey-matematiki/03-06-polyarnaya-sistema-koordinat- Курс лекций по высшей математике

3 Яковлев Г.Н.Геометрия.п.13.Переход от полярной системы координат.

4 Савелов. А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство).

5 Гильберд Д. Наглядная геометрия.

6 Бюшгенс С. С. Дифференциальная геометрия.

7 wikipedia.org/wiki/

8 Большая Советская энциклопедия

9 http://gvidograndi.jimdo.com/-Как строить графики в полярных координатах