IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПТОЛЕМЕЙ: ОТ ДРЕВНОСТИ ДО НАШИХ ДНЕЙ
Якунин А.С.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


1. Введение.

Клавдий Птолемей (около 100 – около 178) – древнегреческий астроном, астролог, математик, механик, оптик, теоретик музыки и географ занимает одно из самых почетных мест в истории мировой науки. Один из наиболее выдающихся ученых древности. Один из прародителей тригонометрии. Ему посвящено огромное число книг и трудов ученых разных стран и веков. И при этом его образ остается неясным и противоречивым. Не так много деятелей науки и культуры, давно ушедших эпох, о ком бы высказывались такие противоречивые суждения, как о Птолемее1.

Объясняется это, с одной стороны, той важнейшей ролью, какую сыграли его труды в истории науки, а с другой — недостаточность биографических сведений о нем.

Наиболее громкую славу Клавдию Птолемею принесли астрономические произведения, в их числе, прежде всего «Математическая система» (Mathematike syntaksis) в 13 книгах, позднее называемая «Великой системой» (Megale syntaksis), откуда в арабском языке посредством добавления артикля «al» получилось название «Альмагест», под которым произведение Птолемея повсюду известно. Этот труд стал итогом развития античной небесной механики и содержала практически полное собрание астрономических знаний Греции и Ближнего Востока того времени. Без этого произведения невозможно представить себе историю средневековой индийской, персидской, арабской и европейской астрономии. Знаменитый труд Коперника «О вращениях», положивший начало современной астрономии, во многих отношениях был продолжением «Альмагеста».

Другие сочинения Птолемея, такие как «География», «Оптика», «Гармоники» и т.д., также оказали большое влияние на развитие соответствующих областей знания. Во всяком случае, каждое из них положило начало традиции изложения научной дисциплины, которая сохранялась на протяжении столетий. По широте научных интересов, сочетавшейся с глубиной анализа и строгостью изложения материала, мало кого можно поставить рядом с Птолемеем в истории мировой науки.

Клавдий Птолемей жил и действовал в Александрии в первой половине второго века от рождества Христова. Нет никаких доказательств того, что Птолемей жил и бывал где-либо, кроме Александрии. С большой степенью вероятности можно сказать, что Птолемей был римским гражданином, греческого происхождения, жившим в Египте.

Птолемею принадлежат три геометрические теоремы, описывающие некоторые свойства диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, и носящие его имя:

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство: рис.1

Третья теорема Птолемея. Для любых точек плоскости выполнено неравенство , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой.

В настоящее время математическое образование является основным для людей многих профессий, поэтому большое внимание уделяется изучению основ арифметики, геометрии и алгебры. Особую актуальность приобретает проблема изучения геометрии и повышение уровня математического образования в целом.

Актуальность исследования заключается в том, что позволяет расширить знания по геометрии, умения применения ранее неизвестных теорем при решении задач школьного курса геометрии.

Объект исследования - теорема Птолемея “О произведении диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность”.

Цель: изучить и доказать теорему Птолемея, рассмотреть возможности ее практического применения при решении задач школьного курса геометрии.

Задачи:

- найти исторические сведения о трудах Птолемея,

- пополнить теоретическую «копилку» теорем, изучаемых в школьном курсе геометрии;

- найти применение теоремы: получить выражения медианы, биссектрисы, высоты и радиуса описанного около треугольника окружности, выражение площади треугольника, вписанного в окружность, доказать теорему Пифагора, доказать теорему косинусов, решить задачи школьного курса геометрии, используя утверждения теоремы Птолемея.

Предмет исследования – применение теоремы Птолемея к решению задач.

2. Теорема Птолемея «О произведении диагоналей вписанного в окружность четырехугольника» и ее доказательство

Теорема Птолемея, которая в древности звучала так: прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противоположных сторона,понадобилась Клавдию Птолемею для составления таблицы синусов, точнее, таблицы длин хорд. Частные случаи своей теоремы Птолемей использовал для составления своих таблиц, очень нужных для астрономических расчетов.

Современная её формулировка следующая:

Сумма произведений двух пар противоположных сторон вписанного в окружность четырехугольника равна произведению его диагоналей.

Доказательство:

Докажем, что справедливо равенство:

рис.2

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис.3).

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E), угол ADB равен углу ACB (эти рис.3

углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

Складывая равенства, получаем:

Теорема Птолемея доказана.

3. Применение теоремы Птолемея

при решении задач школьного курса геометрии

3.1. Выражение медианы треугольника, вписанного в окружность.

Если ВЕ проходит через середину стороны АС, то AD = DC (рис.4), а потому по теореме Птолемея имеем:

2AD ∙ BE = AB ∙ CE + BC ∙ AE (1)

Из подобия ∆АDЕ и ∆DBC, и ∆DCE и ∆ABD находим:

Подставляя это в выражение (1), рис.4 получим:

и, так как AD=DC, то, сокращая равенство на AD, приведя к одному знаменателю, получим:

2(BD + DE) = AB² + BC² .

Далее, раскрыв скобки и заменив DB∙DE через(по теореме о хордах, пересекающихся в точке D),

получим:

,

или окончательно: .

3.2. Выражение биссектрисы треугольника, вписанного в окружность.

Пусть BD делит пополам ∟B (рис.5).

Здесь ∟ABE=∟CBE, а потому ∆ABE подобен ∆BDC, а также ∆ABD подобен ∆BEC.Поэтому:

и

Вставляя эти выражения в теорему Птолемея, получаем:

Отсюда:

,

или рис.5

Сокращая на AC и, в силу равенства , получим:

откуда: .

3.3. Выражение высоты треугольника, вписанного в окружность.

Пусть BE проходит через О – центр окружности, следовательно BE = 2R (рис. 6). Тогда из подобия ∆АВЕ и ∆BDC, а также ∆BCE и ∆ABD имеем:

и .

Вставляя это в теорему Птолемея, находим:

,

или рис.6

.

Сокращая на AC, найдем:

Отсюда имеем выражение высоты треугольника:

.

3.4. Выражение радиуса описанной около треугольника окружности.

Если ВЕ проходит через центр окружности, то ВЕ = 2R и углы А и С будут прямые, как опирающиеся на диаметр. В виду этого ∆АВЕ ~ ∆BDC и ∆BCE ~ ∆ABD, где BD – высота (рис. 7).

По теореме Птолемея имеем:

AB ∙ CE + AE ∙ BC = 2R ∙ AC (1)

Из подобия ∆BCE и ∆ABD находим:

; рис.7

Из подобия ∆ABE и ∆BDC находим:

Вставляя эти значения в (1), получим:

или

так как AD + DC = AC, то, сокращая на АС, найдем:

.

3.5. Теорема Стюарта (выражение площади треугольника, вписанного в окружность).

Пусть BD имеет произвольное направление. Тогда из подобия ∆ADE и ∆BDC, а также ∆DCE и ∆ADB (рис. 8) имеем:

и .

рис.8

Вставляя эти выражения в теорему Птолемея, находим:

Если BD будет высотой ∆АВС, то теорема Стюарта2 и даст выражение высоты через стороны треугольника АВС и отрезки, образуемые высотой на основании:

Отсюда имеем изящное выражение площади треугольника:

3.6. Применение теоремы Птолемея при решении задач:

Задача 1. Пользуясь теоремой Птолемея, доказать теорему Пифагора.

Дано: ∆ABC – прямоугольный

Доказать:

Доказательство.

Дополним прямоугольный треугольник АВС до прямоугольника АDВС (рис. 9). По определению прямоугольника, его внутренние углы будут равны => прямоугольник можно вписать в окружность. Применяя теорему Птолемея к вписанному в окружность четырехугольнику: рис.9

АС · BD + AD ·BC = AD ·CD,

И опираясь на свойства прямоугольника AB = CD, AD = BCи

AC =BD,

получим: AC 2 + BC 2 = AB 2.

Итак, теорема доказана.

Задача 2. Доказать теорему косинусов с помощью теоремы Птолемея.

Дано: АВС – треугольник, вписанный в окружность,

АВ = а, АС = b, АВ = с

Доказать:

Доказательство:

Опишем окружность около ΔАВС и проведем АD úç ВС :

АВСD - равнобедренная трапеция (рис. 10), обозначим:

ВD = АС = b и CD =АВ = с

. рис.10

Проведем в трапеции высоты АΝ и , тогда .

Найдём

Применим теорему Птолемея к трапеции АВСD , получим: .

Задача 3. Пусть в окружности данного радиуса R известны хордыАВ, АС и требуется найти хорду ВС, соответствующую разности дуг, стягиваемых хордами АС и АВ.

Дано: АВ = с, АС =b

Найти: ВС.

Решение:

Обозначим ВС = а, проведя диаметр AD и применяя теорему Птолемея к четырех­угольнику ABCD (рис.11), имеем:

b×BD = с ×CD + а × 2R.

Откуда: (1)

Отрезки BD и CD можно определить по теореме Пифагора, так как они являются катетами прямоугольных треугольников ABD

и ACD , в которых известная гипотенуза AD= 2R рис.11

и катеты b и c

Подставляя в формулу (1): .

В своих расчетах Птолемей использовал хорды, длина кото­рых была известна из геометрии. Этими хордами были стороны правильных многоугольников, вписанных в окружность: треугольника (хорда дуги в 120°), квадрата (90°), шестиугольника (60°), пятиугольника (72°) и десятиугольника (36°). Взяв хорду, соответст­вующую 120°, и применив свою теорему, Птолемей вычислил хорды дуг 12°, 6°, 3°, ,. Хорду дуги в 1° Птолемей вычислил с большой точностью, показав, что она меньше хорды в и больше хорды в .

При помощи формулы из задачи 3 Птолемей и составлял свои знаменитые таблицы хорд дуг окружностей. Исходя из этих теорем, Птолемей определил хорды дуг в 1,5° и 0,75° и приближённо вычислил по ним хорду дуги в 1°. При этом он основывался на установленной им теореме, согласно которой отношение большей хорды к меньшей менее отношения стягиваемых ими дуг.

Птолемей составил таблицу хорд, соответствующих дугам от 0° до 180° с шагом в 0,5° (что эквивалентно таблице синусов от 0° до 90° через каждые четверть градуса, то есть 15') - с пятью верными знаками после запятой. Так же ввёл деление градуса на минуты и секунды.

Задача 4. В выпуклом четырехугольнике ABCD известны все стороны и диагональ AC. Найти диагональ BD.

Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник,

AB = 25,

BC = 60,

CD = 52,

AD = 39,

диагональ AC = 65 .

Найти: BD.

Решение: рис.12

Так как 25 ² + 60 ² = 65 ² и 39 ² + 52 ² = 65 ², то по теореме обратной теореме Пифагора, треугольники ABC и ADC прямоугольные. Следовательно, ∟B + ∟D = 90 º + 90 º = 180 º. Значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Для вписанного в окружность четырёхугольника применим теорему Птолемея:

AC · BD = AB · CD + AD · BC,

65·BD = 39 · 60 + 25 · 52 , откуда BD = 56.

Задача 5. Доказать, что в равнобедренной трапеции ABCD справедливо равенство:

.

Дано:

ABCD - трапеция, АВ = CD (рис. 13).

Доказать:

рис.13

Доказательство:

При условии, что трапеция равнобедренная, её можно вписать в окружность. Применим теорему Птолемея:

Так как АВ = CD, значит , что и т. д.

Задача 6. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС во внешнюю сторону построен квадрат, О – его центр. Найдите ОС, если а и b – катеты треугольника.

Дано: ∆ABC – прямоугольный (рис.14).

Найти: OC.

Решение:

В четырехугольнике ОАСВ угол АОВ и угол С – прямые, следовательно, около четырехугольника ОАСВ можно описать окружность и применить теорему Птолемея:

, рис.14

OA=OB(свойства диагоналей квадрата),

следовательно, . (1)

Из квадрата со стороной АВ выразим ОА:

BD2= 2AB2(по теореме Пифагора из треугольника АВD)

BD=AB, .

Подставим в формулу (1) и сократим на АВ:

4. Заключение

Четырехугольники, вписанные в окружность, представляют собой замечательные фигуры, которые имеют ряд интересных метрических соотношений элементов. Они обладают более высокой структурной симметрией, чем сходные соотношения между элементами треугольников.

Задачи, поставленные перед началом исследовательской работы, мною выполнены полностью:

- с помощью теоремы Птолемея доказана теорема Пифагора, теорема косинусов,

- получил выражения медианы, биссектрисы, высоты и радиуса описанного около треугольника окружности через стороны данного треугольника,

- вывел изящное выражение для площади треугольника, объединив теорему Стюарта и теорему Птолемея,

- более рациональным способом решил некоторые задачи из сборника Атанасян Л. С., Бутузова В. Ф. , Кадомцева С. Б. , Юдиной И.И. «Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс» и сборника Бутузова В. Ф. , Кадомцева С. Б. , Позняк Э. Г., Шестакова С. А. , Юдиной И. И. «Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики».

Моя личная “копилка” теорем по геометрии пополнилась еще одной уникальной теоремой. В ходе исследования я понял,

что применение теоремы о произведении диагоналей вписанного в окружность четырехугольника при решении задач школьного курса дает более красивое и рациональное решение.

На основании исторической справки, Птолемею принадлежат только три геометрические теоремы, описывающие некоторые свойства диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, и носящие его имя. Но недооценивать вклад этого ученого в мировую науку нельзя.

Американский историк математики Моррис Клайн так оценил вклад великого ученого в развитие науки во II в н.э.:

Высшим достижением александрийцев стало создание Гиппархом и Птолемеем количественной астрономии – геоцентрической системы мира, позволившей человеку предсказывать движение планет, Солнца и Луны. Для построения своей количественной теории Гиппарх и Птолемей разработали тригонометрию – область математики, занимающуюся вычислением одних элементов треугольника по данным о других его элементах. Так как подход Птолемея к построению тригонометрии отличался от принятого в то время, ему пришлось вычислять длины хорд окружности. Хотя для получения основных результатов об отношениях длин одних хорд к длинам других Птолемей использовал дедуктивно-геометрический метод, в процессе вычислений длин хорд (а именно они и были конечной целью расчетов) он широко применял арифметику и зачатки алгебры. Длины большинства хорд выражались иррациональными числами. Птолемей довольствовался получением рациональных приближений нужных ему величин, но в ходе вычислений, не колеблясь, употреблял и иррациональные числа.

Именем Птолемея названы:

  • кратер на Луне,

  • кратер на Марсе,

  • звёздное скопление.

Имя Птолемея носят следующие математические объекты:

  • теорема Птолемея (о произведении диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность)

  • теорема Птолемея (об отношении диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность)

  • неравенство Птолемея.

Непреходящее значение теории Птолемея состоит в том, что она убедительно продемонстрировала мощь математики в рациональном осмыслении сложных и даже таинственных физических явлений.

Моррис Клайн.

Теорема Птолемея до сих пор является источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

5. Список источников и литературы:

  1. АтанасянЛ. С., Бутузов В. Ф. , Кадомцев С. Б. , Юдина И.И. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004.

  2. Бронштэн В.А. «Клавдий Птолемей»// «Астрономия» П. И. Попова, К. Л. Баева, Б. А. Воронцова-Вельяминова и Р. В. Куницкого, Москва, «НАУКА», 1988.

  3. Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: КомКнига, 2007.

  4. Бутузов В. Ф. , Кадомцев С. Б. , Позняк Э. Г., Шестаков С. А. , Юдина И. И. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005.

  5. Глейзер Г. И. «История математики в школе».- М: Просвещение 1982.

  6. Затакавай В. «Теорема Птолемея и некоторые тригонометрические соотношения»// «Квант», 1991 г. №4.

  7. ПонаринЯ. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004.

  8. Прасолов В.В. «Задачи по планиметрии», 2003 г.

  9. Смирнова И., Смирнов В. «Вписанные и описанные многоугольники» // «Квант», 2006 №4.

  10. Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

  11. http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/ofcircle.htm

  12. http://smallbay.ru/private/alch_ptolemaios.html

  13. http://www.problems.ru/view_by_subject_new.php?parent=418

  14. http://math4school.ru/ptolemaeus.html

  15. http://www.hintfox.com/article/dokazatelstvo-drygih-teorem-s-pomoschju-teoremi-ptolemeja.html

Приложение 1

Клавдий Птолемей с угломерным инструментом

Приложение 2

Теорема Стюарта: «Произведение квадрата расстояния от точки, лежащей на стороне треугольника, до противоположной вершины на длину этой стороны равно сумме квадратов оставшихся сторон на несмежные с ними отрезки первой стороны без произведения этих отрезков на длину основания.

ВD2·АC = AB2·CD + ВC2·АD — АC·АD·CD»

1 В исторических работах первых веков нашей эры Клавдий Птолемей иногда связывался с Птолемеями, династией правителей Египта, но современные историки полагают это ошибкой, возникшей из-за совпадения имён. Приложение 1.

2 Мэтью Стюарт, шотландский астроном и математик, 1717–1785гг. Приложение 2.