IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПАРАМЕТРЫ И НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР
Липатова С.В.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


ВВЕДЕНИЕ

Широко известно о применении интеграла к вычислению различных величин, об использовании для решения прикладных задач. Метод графического интегрирования основан на графическом подсчете определенного интеграла и заключается в последовательном нахождении площадей под соответствующей подынтегральной функции кривой. Он применяется для анализа электрических цепей, переходные процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.

Практическое применение интегрирования можно увидеть на примере задачи: «Вход в ангар для самолётов имеет форму арки синусоиды. Сколько литров краски потребуется для покраски внешней стороны ворот ангара, если на 1 м2 расходуется 0,3 л краски»? Площадь ворот вычисляется с помощью интеграла, интегрируемая функция – функция синус. Расчёт покажет, что потребуется 60 л краски. Однако, стоит ввести в условие задачи элементы, например, задачи оптимизации или ввести параметр, как характеристику функции, описывающей форму ворот ангара, встает необходимость более детального рассмотрения поставленной задачи. Появилась гипотеза: задачи с параметрами остаются актуальными при интегрировании. Объект исследования - интегрирование, предмет исследования- задачи на нахождение площадей фигур, включающие в условии параметры.

Цель работы: описать на языке математики особенности простых плоских фигур и их свойство-площадь, задаваемых с помощью различных линий и включающих в себя понятие параметра.

Задачи:

  1. Составить и решить задачи, решаемые с помощью определенного интеграла, включающие в условии параметр.

  2. Составить и решить задачи, решаемые с помощью определенного интеграла, включающие элементы оптимизации.

  3. Использовать при решении задач свойства площадей фигур, свойства определенного интеграла.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

В задачах с параметрами наряду с неизвестными величинами фигурируют величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа.

В литературе по элементарной математике немало учебных пособий, задачников, методических руководств, где приводятся задачи с параметрами. Но большинство из них охватывает узкий круг вопросов. Задачи с параметрами в интегрировании встречаются крайне редко.

Определение. Если при существует конечный предел интегральных сумм, не зависящий от разбиения на части и от выбора точек в этих частях, то:

1) функция называется интегрируемой на отрезке;

2) этот предел называется определённым интегралом от функции по отрезку и обозначается символом .

Принятая терминология: отрезок – отрезок интегрирования, a иb – нижний и верхний пределы интегрирования, x – переменная интегрирования, – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение.

Итак, по определению .

Некоторые свойства определенного интеграла:

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

  2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций (верно для любого числа слагаемых).

  3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается задан­ным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренно­му множеству.

Что означает «решить задачу с параметром»?

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения парамет­ра, либо для значения параметра, принадлежащего зара­нее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при ко­торых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, ре­шение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Определение интеграла, зависящего от параметра: интеграл называется интегралом, зависящим от параметра, если интегрируема на промежутке

при любом фиксированном , где .

.

Следовательно, представляет собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Возможно также существование интеграла при фиксированном . Тогда он будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Обозначается она так: .

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задачи, включающие элементы оптимизации.

Задача 1. Найти действительное значение параметра , при котором площадь фигуры, ограниченной функциямии , достигает наибольшего значения.

Решение. Найдём точки пересечения графика функции с осью ОХ:

Определим абсциссу вершины параболы с помощью производной:

Раскроем знак модуля для заданной функции :

Рассмотрим два случая:

1 случай:

2 случай:

Ответ:

Задача 2.Найдите значение а при котором фигура, ограниченная параболамиимеет наибольшую площадь.

Решение.

Найдём точки пересечения заданных парабол:

Определим координаты вершины параболы , используя производную:

Рассмотрим расположение графиков функций (Рис. 1):

Рис. 1

Составим формулу для вычисления площади заштрихованной фигуры:

Решим поставленную задачу оптимизации, введя функцию ,

Исследуем знак производной при (Рис. 2):

Рис. 2

при .

Ответ:

Задачи, решаемые с помощью свойств площадей фигур, свойств определенного интеграла.

Задача 3. Найти площадь фигуры, если известно, что она ограничена графиками функций, производной второй функции принадлежит точка с координатами

Решение.

Найдем координаты точек пересечения параболы с прямой:

Вычислим координаты вершины параболы:

Изобразим схематически графики заданных функций (Рис. 3):

Рис. 3

Вычислим площадь заданной фигуры:

Ответ: 2(кв.ед.)

Задача 4. Фигура ограничена линиями Чемуравен угловой коэффициент прямых, проходящих через точку(0; 0) и разбивающих фигуру на три равновеликие части?

Решение. Выполним построения, соответствующие условию задачи (Рис. 4)

Рис. 4

Определим угловые коэффициенты прямых, используя формулу площади прямоугольного треугольника

С другой стороны

Ответ:

Задача 5. Дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями . Какую часть площади трапеции составляет площадь треугольника, отсекаемого от данной трапеции касательной к линии в точке

Решение. Изобразим схематически заданные линии (Рис. 5):

Рис. 5

Ответ:

Задача 6. Найти действительный параметр , при котором прямая делит площадь фигуры, задаваемой функцией и , на две равновеликие части.

Решение.

Найдём точки пересечения параболы и прямой (Рис. 6):

Рис. 6

Ответ:

Задача 7. При каких значениях действительного параметра площадь фигуры, ограниченной линиями , больше 3?

Решение. Значение , так как и .

Тогда

Ответ:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исследований поставленная цель была достигнута: площади рассматриваемых фигур находились с помощью либо определенных интегралов, определенных интегралов с параметром, либо с помощью формул площадей простых плоских фигур. Таким образом, и свойство плоских фигур - площадь, задаваемых различными линиями и включающих в себя понятие параметра, было исследовано с помощью интеграла.

Составлено 7 задач, решаемых с помощью определенного интеграла, включающие в условии параметр, из них две задачи включали элементы оптимизации, пять задач решались с помощью свойства площадей фигур, свойства определенного интеграла.

Продукты исследования были рассмотрены на элективном курсе в 11 классе, в котором проводилось проб­ное обучение по рассматриваемой теме. Учащимся предложили составить задачи на интегрирование с параметром. С этой работой справились 70% старшеклассников из 25 человек: в основном это были задачи на разбиение фигур на части. Временные рамки выполнение этого задания составляет диапазон от 20 до 40 минут. На занятии применялись интегралы с параметрами при решении неравенств, составленных автором работы, типа: >-1, , , >2.

Проведенное занятие убедило выпускников школы в необходимости более глубокого изучения интегральных вычислений, включая интегралы с параметром.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Метод графического интегрирования- Режим доступа: StudFiles.ru›preview/4416561/ (дата обращения 8.07.2017)

  2. Журнал Математика в школе №4, 1992. С. 25-27

  3. Свойства определенного интеграла — Студопедия- Режим доступа:studopedia.ru›18_63510_svoystva…integrala.html (дата обращения 8.07.2017)

  4. Амелькин В.В. Задачи с параметрами: Справ. Пособие по математике.-2-ое изд./ Рабцевич В.Л.– Мн.: ООО Асар, 2002. –5 с.

  5. Математика: Учебник для XII класса / И. Акири, В. Гарит, П. Ефрос и др. – Кишинёв, Prut International, 2005.- 34 с.

  6. Моденов В.П. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: Учебное пособие для школьников и абитуриентов. – М.: Издательство Экзамен, 2007.

  7. Собственные интегралы, зависящие от параметра – Режим доступа:mirznanii.com›a/315169/sobstvennye-integraly…ot…(дата обращения 9.07.2017)