IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА О МНОГОГРАННИКАХ
Большакова А.С.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Теорема Эйлера о многогранниках - математическое утверждение, связывающее между собой число ребер, граней и вершин многогранников. Она заложила фундамент нового раздела математики — топологии. В области математики существует много разных методов исследования.

Метод математической индукции является одной из теоретических основ при решении задач на суммирование, доказательстве тождеств, доказательстве и решении неравенств, решении вопроса делимости, при изучении свойств числовых последовательностей. В работе рассмотрены достаточно известные приемы доказательства Теоремы Эйлера и доказано, что метод математической индукции как эффективный способ доказательства гипотез может быть с успехом применен и в геометрии.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность:

15 апреля 2017 года исполнилось 310 лет со дня рождения Леонарда Эйлера- одного из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих современных разделов математики. Вряд ли найдется хоть одна значительная область математики, в которой не оставил бы след гений XVIII века. Эйлер долгое время жил и работал в России, был действительным членом Петербургской Академии наук, оказал большое влияние на развитие русской математической школы и в деле подготовки кадров ученых математики и педагогов России. Перу Эйлера принадлежат 865 работ. Ученый отлично знал русский язык и часть своих учебников издавал на нем. В них в одинаковой степени освещены как практические вопросы, так и вопросы чистой математики. Он многое сделал в алгебре, аналитической геометрии и сферической тригонометрии; успешно работал в области дифференциального и интегрального исчислений. Им были созданы новые разделы математики.

Леонард Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Он был прежде всего математиком, но знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Леонард Эйлер оставил фундаментальные труды по самым различным отраслям математики, механики, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям прикладных наук. Французский математик и астроном Лаплас сказал об Эйлере так: «Он наш общий учитель». И действительно, на трудах Леонарда Эйлера воспитывалось целое поколение математиков. Он и сегодня многому учит нас.

В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Теорема Эйлера о многогранниках - математическое утверждение, связывающее между собой число ребер, граней и вершин многогранников. Она хорошо известна и используется для выяснения того, какие многогранники могут существовать.

Новизна

Для того чтобы воспитать в себе исследователя, недостаточно понимать только конечные результаты исследования. Необходимо проникнуть в самый процесс исследовательской работы и усвоить тот метод, который был использован, чтобы прийти к удачному результату. «Не то важно знать, что Земля круглая, а то важно знать, как люди дошли до этого»,- писал Л.Н. Толстой. Поиски верного метода-это начальный этап изучения любого явления, и очень часто выбор метода решает успех всего исследования.

В экспериментальных науках велика роль индуктивных выводов. В математике индукция часто позволяет угадать формулировку теорем, а в ряде случаев и наметить пути доказательств. В математике о фактах сначала догадываются, а затем их доказывают. Метод математической индукции не дает никаких указаний, как построить гипотезу. Любую подмеченную закономерность можно рассматривать как вполне разумную гипотезу, которая в результате последующих испытаний либо подтверждается, либо опровергается. Покажем, что такой способ доказательства гипотез может быть с успехом применен и в геометрии.

Цель:изучить Теорему Эйлера о многогранниках, ее применение. Доказать теорему, применив метод математической индукции.

Задачи:

  1. Изучить теорию многогранников, их применение.

  2. Рассмотреть различные известные способы доказательства Теоремы Эйлера и возможности ее применения в теории правильных многогранников.

  3. Применить метод математической индукции для доказательства теоремы Эйлера в выпуклом многограннике.

Гипотеза: в любом выпуклом многограннике имеет место соотношение: В+ Г- Р = 2 ,

где В – число вершин многогранника, Г- число его граней и Р- число ребер.

Методы, используемые в работе:

1. Теоретические (анализ, синтез, обобщение).

2. Практический эксперимент.

Этапы исследования:

1.Анализ ситуации по проблеме, выдвижение гипотезы;

2.Проведение исследования;

3.Обработка полученных результатов;

Объект исследования: теорема Эйлера о многогранниках.

Предмет исследования: возможности применения математической индукции в геометрии.

Ход работы

1 этап. Постановка задачи

1.1 Определение. Многогранником называется тело, поверхность которого составлена из многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, их стороны -ребрами, а вершины - вершинами многогранника.

В школьном курсе рассматриваются выпуклые многогранники. Это многогранники, для которых верно следующее утверждение: для любой плоскости, проходящей через одну из граней многогранника, многогранник находится целиком по одну сторону от этой плоскости. Многогранник является выпуклым тогда и только тогда, когда отрезок, соединяющий любые две точки многогранника, полностью принадлежит многограннику. Каждая грань такого многогранника будет выпуклым многоугольником. При этом обратное утверждение не верно: если каждая грань многогранника - выпуклый многоугольником, то он необязательно выпуклый.

Правильный многогранник – выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Многогранник называется правильным, когда

• он выпуклый;

• все его грани являются равными правильными многоугольниками;

• в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.

Древнегреческий философ Платон очень интересовался такими многогранниками, у которых все грани являются одинаковыми правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Он нашел 55 таких многогранников. Разновидностей многогранников существует множество. Например, любая 3D-модель из компьютерной игры представляет собой некоторый (возможно, очень сложный) многогранник. Чем он сложнее, тем точнее описывает реальный объект. Однако изучать свойства многогранников легче на простых моделях. Устройство многогранников важно знать и понимать инженерам, дизайнерам и художникам, а также всем, кто хочет лучше понимать взаимосвязи объектов в пространстве.

Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильным многогранниками, эквивалентными между собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками. Четырехугольные пирамиды не являются топологически правильными многогранниками.

Существует 5 правильных многогранников:

рис.1 рис.2 рис.3 рис.4 рис.5

Тетраэдр – составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=180°. Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.(рис1).

Куб –составлен из 6 квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине=270°.Куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.(рис.2).

Октаэдр –составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=240°. Октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.(рис.3).

Икосаэдр –составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 5 треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=300°. Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.(рис.4).

Додекаэдр –составлен из 12 равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=324°. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.(рис.5).

Правильные многогранники также называются платоновыми телами. Каждый из правильных многогранников Платон ассоциировал с 4 «земными» стихиями: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с «наземным» элементом – небом (додекаэдр). Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует. Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Эйлера.

Рассмотрим многогранники, которые имеют вершины (В), ребра (Р) и грани (Г) :

Название многогранника

Число вершин

Число ребер

Число граней

Тетраэдр

4

4

6

Куб

8

6

12

Треугольная пирамида

4

6

4

Треугольная призма

6

9

5

n- угольная пирамида

n+1

2n

n+1

n- угольная призма

2n

3n

n+2

n- угольная усеченная пирамида

2n

3n

n+2

Несмотря на различия самих многогранников и различия их величин В, Г, и Р, значение

Э = В -Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Оно остается постоянным и равным 2, значит, имеет место равенство: В+Г- Р= 2, которое и называется Теоремой Эйлера для многогранников. Она устанавливает связь между числом вершин e, числом ребер k и числом граней f простого многогранника. Рассмотрим некоторые из хорошо известных доказательств этой теоремы.

1.2. Теорема Эйлера.

Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство: f+e-k = 2 (*),

где e - число вершин, k - число ребер и f - число граней данного многогранника.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный выпуклый многогранник, имеющий e вершин, f граней, kребер. Докажем, что f + e - k =2.

Выберем произвольную грань G, отметим какую-нибудь точку M ее внутренней области и проведем из нее луч H, перпендикулярный к плоскости этой грани и лежащий по ту сторону от нее, по которую нет точек многогранника. Если плоскости каких-либо других граней пересекают луч H, то выберем на нем точку O, лежащую между M и ближайшей к M точкой пересечения; в противном случае возьмём в качестве точки O произвольную точку луча H (рис 1). Тогда точка O окажется лежащей по ту же сторону от плоскости каждой грани многогранника, отличной от G, что и сам многогранник.

Удалим теперь грань G. В результате получим многогранную поверхность F, имеющую те же ребра и вершины, что и исходный многогранник. Число граней которой равно f-1. Любой луч с началом O пересекает поверхность F не более чем в одной точке (поскольку после пересечения лучом поверхности F он "уходит в то полупространство, в котором точек поверхности F нет). Примем точку O за центр проектирования и рассмотрим центральную проекцию поверхности F на плоскость грани G (рис 2) ; грань G на этом рисунке изображена в увеличенном масштабе. Она представляет собой грань G, составленную из f-1 выпуклых многогранников - проекций остальных граней. Число вершин этих многоугольников равно e, а число сторон равно k. Если провести диагональ какого-нибудь из них, то число вершин не изменится, число многоугольников увеличится на один, число сторон также увеличится на один, поэтому разности числа многоугольников и числа сторон не изменится (см.рис 2). Следовательно, если каждый многоугольник разделить диагоналями на треугольники, то грань G окажется разделенной на f ` треугольников с e` вершинами и k` сторонами, причем

Пусть n - число сторон грани G. Каждый из треугольников имеет три стороны, поэтому число k` меньше числа 3f ` на число сторон, каждая из которых принадлежит одновременно двум треугольникам, т.е. на k`-n;

Отсюда получаем

Сумма углов всех треугольников, с одной стороны, равна f `*180°, с другой - сумме углов n-угольника G плюс 360°, умноженный на число e` - n вершин, лежащих внутри G:

.

Отсюда находим

т.е. . Но . Следовательно, . Теорема доказана.[3]

1.3. Второй способ.

Он основан на использованииформулы для вычисления суммы углов многоугольника.

Доказательство:

Возьмем снаружи многогранника точку О вблизи от какой-либо грани F и спроектируем остальные грани на F из центра О. Их проекции образуют разбиение грани F на многоугольники. Подсчитаем двумя способами сумму α углов всех полученных многоугольников и самой грани F. Сумма углов n-угольника равна π(n - 2). Сложим эти числа для всех граней (включая грань F). Сумма членов вида πn равна общему числу сторон всех граней, т.е. - ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас всего Г слагаемых,  Теперь найдем сумму углов при каждой вершине разбиения и сложим эти суммы. Если вершина лежит внутри грани F, то сумма углов вокруг нее равна 2π. Таких вершин  где k - число вершин самой грани F, а значит, их вклад равен

2π(В - k). Углы при вершинах F считаются в сумме дважды (как углы F и как углы многоугольников разбиения); их вклад равен 

Таким образом,Приравнивая два результата и сокращения на , получаем требуемое равенствоР - Г = В – 2.[16]

2 Этап. Практическая часть

«…Понимание и умение правильно применять

принцип математической индукции является

хорошим критерием логической зрелости,

которая совершенно необходима математику».

А.Н. Колмагоров

Итак, мы рассмотрели достаточно известные приемы, которые в разное время были использованы знаменитыми учеными для доказательства Теоремы Эйлера. Считаю, будет справедливым вспомнить еще об одном способе доказательства гипотез. Индукция (от лат. inductio — наведение, по­буждение) — одна из форм умозаключения, приём ис­следования, применяя который от знания отдельных фактов приходят к общим положениям. Он позволяет в поисках общего закона испытывать гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать истинные.

Метод математической индукции является одной из теоретических основ при решении задач на суммирование, доказательстве тождеств, доказательстве и решении неравенств, решении вопроса делимости, при изучении свойств числовых последовательностей. Доказательство методом математической индукции может быть с пользой применено и в геометрии. Докажем теорему Эйлера о многогранниках, применяя метод математической индукции.

2.1. Теорема: В любом выпуклом многограннике имеет место соотношение:

В+ Г- Р = 2, (*), где В-число вершин многогранника, Г- число его граней, Р- число ребер.

Доказательство:

1.Принимаем условие теоремы за гипотезу и проверяем ее справедливость для четырехгранника и пятигранника ( рис.1(а), рис.1(б)).

рис.1(а)

1.1 n=4 граней=4; вершин=4; ребер=6 | => 4+4-6=2 |=>верно

рис.1(б)

1.2 n=5 граней=5;вершин=5; ребер=8 | => 5+5-8=2|=>верно

Гипотеза верна.

2.Пусть соотношение (*) выполняется для многогранника с n гранями. Докажем его справедливость для многогранника с  гранью. Для того чтобы получить из многогранника с n гранями многогранник с  гранью, срежем часть первого многогранника плоскостью около какой-либо из вершин так, чтобы эта плоскость пересекла все ребра, выходящие из этой вершины (рис.2) . Тогда к числу Г граней прибавится одна новая грань ABCDEF. Пусть в вершине M сходятся k ребер; в новой грани ABCDEF мы получим k новых вершин и потеряем одну из вершин (вершину М).

MABCDEF

рис.2

Значит, число вершин в новом многограннике будет: . Число ребер увеличится на kи их будет: . Составим разность между суммой числа вершин и граней нового многогранника с (n+1) гранями и числом его ребер:

Таким образом, соотношение между числом вершин, граней и ребер, справедливое для многогранника с n гранями, остается справедливым и для многогранника с  гранями.

3.На основании принципа математической индукции можно утверждать, что соотношение

 справедливо для любого выпуклого многогранника.

2.2. Практическое использование теоремы.

Из курса геометрии известно, что существует только 5 видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями могут быть только правильные треугольники, квадраты или правильные пятиугольниками. Теорема Эйлера позволяет определить число граней правильного выпуклого многогранника в зависимости от формы его граней. Докажем это.

а) Пусть в вершине многогранника сходятся треугольники, образуя k-гранный угол, k- может быть равно 3,4 или 5. Найдем число граней многогранника.

Допустим, что граней n, то есть Г=n. Тогда число вершин В=; и число ребер Р=.

Подставляя в формулу Эйлера значения Г, В, и Р, получим уравнение, решая которое относительно n, получим:

Следовательно:

Если ; многогранник имеет четыре грани.

Если ; многогранник имеет восемь граней.

Если ; многогранник имеет двадцать граней.

б) Пусть в вершине многогранника сходятся четырехугольники. Их может быть только 3. Найдем число граней этого многогранника. Допустим, что их будет n, тогда

Г = n; В = ; Р = . По теореме Эйлера получаем:

Таким образом, правильный многогранник с гранями в виде квадрата будет иметь шесть граней; его называют гексаэдром или кубом.

в) Пусть в вершине многогранника сходятся пятиугольники. Их тоже может быть только три. Найдем число граней этого многогранника. И снова предположим, что их будет n. Т.е.

Г = n; тогда: В =; Р = . По теореме Эйлера получаем:

Итак, правильный многогранник с гранями в виде правильных пятиугольников будет двенадцатигранником (додекаэдр).

Выводы:

  1. Научные гипотезы, опирающиеся на свойства правильных многогранников, встречаются в географии и астрономии, в химии и физике и других науках. Совершенство, красота, гармония – это то, что привлекло к ним внимание многих известных творческих людей. Сама природа не может существовать без них.

  2. В области математики существует много разных методов исследования. Очень часто именно выбор метода решает успех всего исследования.

  3. Достоинством метода математической индукции является его универсальность, так как с помощью этого метода можно решить многие задачи.

  4. В результате проделанной работы мне удалось показать эффективность использования метода математической индукции в геометрии, применив его для доказательства теоремы Эйлера о многогранниках.

  5. Результаты, полученные в работе, носят актуальный характер, как для учащихся, так и для преподавателей. Они могут быть успешно использованы на уроках геометрии, элективных курсах и факультативных занятиях.

Заключение.

Теорема Эйлера о многогранниках заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Соотношение Эйлера В – Р + Г = 2 для выпуклых многогранников является топологическим свойством. Многогранник можно как угодно деформировать, при этом ребра и грани могут даже искривляться, однако их число, а следовательно, и соотношение Эйлера не меняются. Вследствие деформации много­гранник даже может стать невыпуклым, тем не менее для него будет выполняться соотношение Эйлера. Однако есть невыпуклые многогранники, для которых соот­ношение Эйлера не выполняется. Пример такого мно­гогранника приведен на рисунке 3. Он получается, если в кубе вырезать дыру в форме параллелепипеда.

Также для многогранников, имеющих в себе сквозные дыры и более походящих на рамку, нежели на сферу, эйлеровская характеристика будет равна нулю ( рис.4).

Наш мир исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны представления о красоте. Наверное, этим объясняется не проходящий интерес человека к многогранникам – удивительным символам симметрии, привлекшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида, до Эйлера и Коши.

Затронутое выше - это лишь крохотная часть всего творческого наследия Леонарда Эйлера. Изучение его работ будет всегда лучшим средством для познания математики.

Список литературы

  1. Александров А.Д. Выпуклые многогранники: Справочное пособие.- М: Издательство технической теоретической литературы, 1950.- 428с.

  2. Асанов М.О., Баранский В.А., Расин В.В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы.- Ижевск: НИЦ "РХД", 2011.- 288с.

  3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., С.Б. Кардомцев и др. Геометрия: учебник для 10-11 кл. общеобр. учр.- М.: Просвещение, 2012.- с.78-79,62-63

  4. Бекламов Б.В. Применение теоремы Эйлера к некоторым задачам. – М: Квант, 1974,- № 10.- С. 29-36

  5. Березина Л.Ю. Графы и их применение». - М.: Просвещение, 1979.- 145с.

  6. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. - М.: Наука, 1982.- 149с.

  7. Гиндикин С.Г. Леонард Эйлер//Квант, 1983, № 10, 11.- С. 17-26

  8. Грек А.С. Правильные многогранники на замкнутой поверхности с эйлеровой характеристикой, равной-3//Известия высших учебных заведений, 1966.- C.50-53.

  9. Долбилин Н.П. Жемчужины теории многогранников. – М.: МЦНМО, 2000, с.27-31.

  10. Емеличев В. А., Ковалёв М. М., Кравцов М. К. Многогранники. Графы. Оптимизация. - М.: Наука, 1981. - 344 с.

  11. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - 3-e изд., испр. и доп. - М.: МЦНМО, 2001. - 568 с

  12. Лакатос Имре Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. / Пер. с англ. И. Н. Веселовского. - М., Наука, 1967. - 152 с.

  13. Оре О. Графы и их применение. - М.: Мир, 1965.- 165 с.

  14. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть II. Геометрия в пространстве. – М: Гостехиздат, 1949.- 225с.

  15. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995. – 185с.

  16. Современные проблемы математики / Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). – М.: МИАН, 2008. Вып. 11: Конференция “Леонард Эйлер и современная математика” (МИАН, 17 мая 2007 года). Сборник докладов – 9 с.

  17. Тимофеенко А. В. О выпуклых многогранниках с равноугольными и паркетными гранями. // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, №2. - С. 118–126.

  18. Шашкин Ю.А. Эйлерова характеристика. - М.: Наука, 1984.- 96с.

  19. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Часть 3. Геометрия (Стереометрия). – М.; 1954.- 307с.

  20. Циглер Г. М. Теория многогранников. - М., МЦНМО, 2014, - 568 с.

  21. Энциклопедия элементарной математики. Книга IV. Геометрия. - М.; 1963. – 560с.

  22. Яковлев А.Я. Леонард Эйлер. - М.: Просвещение, 1983.- 255с.

  23. http://uchilok.net/matematika/834-metod-matematicheskoj-indukcii.htm- Метод математической индукции.

  24. https://infourok.ru/urok-po-teme-teorema-eylera-444731.html - Уроки геометрии

  25. http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/polyhedra.shtml