IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАДИКАЛОВ
Терехов Т.Д.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


ВВЕДЕНИЕ

Известная работа К.Э. Циолковского «Механика подобно изменяемого организма» можно рассматривать как труд чисто биологический. Однако, от этой работы молодого ученого тянутся незримые нити к его грядущим занятиям экспериментальной аэродинамикой. Совершенно самостоятельно сформулировал боровский учитель важнейшие положения аэрогидродинамического подобия.

«...абсолютная скорость движения животного в жидкой среде, – писал Константин Эдуардович, – тем больше, чем больше его размеры.

Вообще она изменяется пропорционально кубичному корню из размеров животного ...»

В который раз убеждаемся в том, что «…природа говорит языком математики …» (Галилео Галилей). Только на этот раз буквы этого языка – корни третьей степени. Появилась гипотеза: умея вычислять корни третьей и второй степени, можно решать устно задачи не только по алгебре, но и по биологии, физике, аэрогидродинамики, кроме того, эти навыки понадобятся при оценивании иррациональных корней уравнений, что важно на экзаменах.

Цель исследований: выявить различные способы вычисления корней 2 и 3 степеней.

Задачи исследования:

  1. Научить находить значение корня 3 степени, не используя таблицу извлечения корня кубического.

  2. Научить находить значение корня 2 степени, не используя таблицу извлечения квадратного корня.

  3. Определить закономерности в нахождении значений корней 2 и 3 степеней.

  4. Выяснить, какой из рассмотренных способов вычисления корней является универсальным, и какой для корней второй и третьей степени является рациональным.

  5. Распространить опыт нахождения корней 2 и 3 степеней среди учащихся 8-11 классов.

ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Определение. Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-ая степень которого равна а.

Определение. Арифметическим корнем n-ой степени из числа а называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.

Существуют различные способы нахождения и вычисления корней:

  1. Отгадывание значений корня с учетом свойств делимости, кратности чисел, свойства сравнений.

  2. Вычисление значений корня на основе своеобразных закономерностей.

  3. Вычисление значения квадратного корня с помощью специального алгоритма деления «уголком».

  4. Извлечение кубического корня из любого числа, используя кубы чисел, кратных 10 и учитывая цифру единиц числа.

  5. Вычисление корней различных степеней разложением подкоренного числа на простые множители
  6. Поразрядное нахождение значения корня.

ГЛАВА II. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАДИКАЛОВ

Отгадывание кубического корня из данного числа, представляющего собой куб двузначного числа.

Отгадывание корня из куба двузначного числа. Сначала необходимо запомнить кубы чисел от 0 до 9 (См. Таблицу 1):

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

0

1

8

27

64

125

216

343

512

729

Таблица 1

Из таблицы видно, что если куб некоторого числа заканчивается цифрами 0, 1, 4, 5, 6, 9, то само число, т.е. кубический корень, заканчивается той же цифрой.

Если же число заканчивается одной из цифр 2,3,7,8, то кубический корень из него – дополнением этой цифры до числа 10. Поэтому цифра, стоящая в разряде единиц кубического корня, отгадывается сразу.

Чтобы найти следующую цифру корня, выделим в кубе класс тысяч:

Теперь рассмотрим кубы однозначных чисел пиз Таблицы 1.

Пример 1. Вычислить кубический корень из числа 571787.

Решение. Пусть известно, что 571787 – куб двузначного числа. Запишем данное число иначе:

и воспользуемся Таблицей 1. Мы видим, что

Значит, в искомом корне цифра в разряде десятков – 8; цифра в разряде единиц – 3, так как 10-7=3.

Остаётся записать

Ответ:

Пример 2. Вычислить кубический корень из числа 328509.

Решение. Пусть известно, что 328509 – куб двузначного числа. Запишем данное число иначе:

и воспользуемся Таблицей 1. Мы видим, что

Значит, в искомом корне цифра в разряде десятков – 6; цифра в разряде единиц – 9, так как число 328509 оканчивается на цифру 9.

Остаётся записать

Ответ:

Отгадывание корня из квадрата двузначного числа.

Сначала запишем таблицу квадратов цифр от 1 до 9 (См. Таблицу 2)

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

Таблица 2

Цифра корня, стоящая в разряде десятков, устанавливается с помощью Таблицы 2.

Пусть это будет цифра а. Из Таблицы 2 ясно, что цифра корня в разряде единиц не восстанавливается однозначно по последней цифре квадрата. Однако положение облегчается, если известно, что эта цифра больше или меньше 5. Узнать это возможно, сравнив данный квадрат ax2 с числом , a52.

При «угадывании» корня последнее число приходится вычислять, конечно, устно. Для этого следует пользоваться правилом устного возведения в квадрат таких чисел: число a52

получается приписыванием к числу a(a+1) слева 25.

Так,

Действительно, a52=(10a+5)2=100a(a+1)+25.

Пример 3. Вычислить квадратный корень из числа 3364.

Решение. Пусть известно, что 3364 – квадрат двузначного числа.

Воспользуемся Таблицей 1. Мы видим, что

т.е., искомое число содержит 5 десятков.

Далее

так что корень больше 55, а значит, цифра в разряде единиц больше 5. Из Таблицы 2 видно, что она равна 8.

Ответ:

Пример 4. Вычислить квадратный корень из числа 4096.

Решение. Пусть известно, что 4096 – квадрат двузначного числа.

Воспользуемся Таблицей 1. Мы видим, что

т.е., искомое число содержит 6 десятков.

Далее,

так что корень больше 55, а значит, цифра в разряде единиц меньше 5. Из Таблицы 2 видно, что она равна 4. Таким образом

Ответ:

Отгадывание корня третьей степени из куба трёхзначного числа.

Цифры сотен и единиц корня найти легко, аналогично тому, как это сделано при угадывании корня третьей степени из куба двузначного числа. Остаётся определить цифру десятков. Для этого воспользуемся признаком делимости на 11.

Пусть при делении числа т на 11 получился остаток r: m=11n+r, где n–целое число, а число rменяется от 0до 10.

Тогда

Отсюда видно, что m3 и r3 при делении на 11 дают один и тот же остаток. Из Рисунка 1 устанавливаем, что существует взаимно-однозначное соответствие между значениями rи R:

Рис. 1

Итак, если известен куб трёхзначного числа m3=(abc)3, то следует найти остаток Rот деления m3 на 11 и по нему определить r – остаток деления m на 11.

Теперь надо подобрать среднюю цифру b так, чтобы трёхзначное число abc при делении на 11 дало нужный остаток r.

Отметим, что число возможных остатков, т.е. значений r, равно 11, а число цифр – 10.Тем не менее цифру b, при которой трехзначное число m дает остаток r, возможно определить однозначно, воспользовавшись свойством сравнений. Для угадывания цифры bможно воспользоваться делимостью на 11:для того, чтобы число делилось на 11, надо чтобы разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах делилась на11. Пусть А=аnan-1….a2a1a0 иS=a0-a1-+a3-a4+….(-1)nan. Теперь критерий делимости чисел А на 11 можно записать в терминах сравнений: А≡S (mod11). Заметим, что мы нумеруем цифры справа налево, начиная с нулевой, а не с первой. В противном случае пришлось бы очевидным образом изменить формулировку критерия делимости на 11. Сумму Sудобно вычислить, складывая и вычитая поочередно слева направо, т.е. начиная с an. Если n четно, то an берем со знаком «+», а если n нечетно, то an берем со знаком «-». Пример 5. Пусть известно, чтоА=7645373 – куб некоторого числа. Обозначим его корень через abc. Выделив класс миллионов, находим 1³≤7