IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ПИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Михеева Е.А.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


    Введение

При изучении школьного курса геометрии мы встретились с темой «Площади многоугольников». Рассмотрев различные многоугольники и изучив разнообразные формулы для нахождения их площадей, учитель предложил нам выполнить задания, с которыми нам предстоит встретиться при подготовке к единому государственному экзамену в форме ОГЭ. Безусловно, знание формул, является, чуть ли не основным способом решения геометрических задач на нахождение площадей геометрических фигур. Но что делать, если их по какой – то причине забыл? И мне пришла идея о том, что эти задачи, возможно, решаются каким – либо другим способом. Я стала перелистывать журналы, которые сохранились с тем времен, когда учились в школе мои родители. И, в руки мне попался очень интересный журнал «Квант», в котором я познакомилась с формулой Пика, предназначенной для решения задач на нахождение площадей многоугольников на клетчатой решетке. Меня очень заинтересовал этот метод решения задач, и я решила, изучив его, написать исследовательскую работу.

Исследовательский проект «Применение формулы Пика для решения геометрических задач» предназначен для учащихся средней школы, может быть использован в качестве дополнительного материала при изучении некоторых разделов математики, таких, как: многоугольники, площади многоугольников, выпуклые фигуры на клетчатой решетке.

Основополагающим вопросом данного проекта является вопрос о том, можно ли применить формулу Пика для нахождения площадей геометрических фигур? Перед учеником стоят проблемные вопросы: Какие существуют способы нахождения площадей геометрических фигур в школьном курсе математики? Можно ли применить формулу Пика для решения задач?

Объектом исследования являются задачи, которые решаются с помощью формулы Пика.

Предмет исследования – формула Пика.

Цель исследования: изучить формулу Пика, научиться ее применять для решения геометрических задач.

Задачи исследования:

  • Подобрать и изучить соответствующую литературу;

  • рассмотреть вывод формулы Пика;

  • подобрать класс задач, которые можно решить с помощью формулы Пика и решить их;

  • проверить целесообразность и эффективность применения формулы Пика;

  • расширение кругозора;

  • сделать сравнительный анализ: какой из способов наиболее эффективный (традиционный или с помощью формулы?);

  • углубленное изучение школьного курса геометрии.

Актуальность: Ознакомление с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ОГЭ. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге. Маленькая формула Пика заменит целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика будет работать «одна за всех…»!

Гипотеза: Вычисление площади фигуры по формуле Пика обеспечит правильное и быстрое решение задачи по сравнению с вычислением площади фигуры по формулам планиметрии.


    1. . Историческая справка.

  1. Основная часть

Георг Александр Пик (10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Мать — Йозефа Шляйзингер. Отец — Адольф Йозеф Пик. Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет мальчик окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны: матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

2.2. Исследование и доказательство формулы Пика.

Свою исследовательскую работу я начала с выяснения вопроса: площади каких фигур я смогу найти? Применить известные формулы для вычисления площадей различных треугольников и четырехугольников я смогла. А как найти площади многоугольников, у которых количество сторон больше 4?

Теорема Пика справедлива для многоугольников с вершинами в узлах целочисленной решетки. На плоскости образуется решетка двумя системами параллельных равностоящих прямых. Эти прямые называются основными целочисленными прямыми, а точки их пересечения называются узлами решетки. Прямая, соединяющая два узла решетки, называется целочисленной прямой. Основные целочисленные прямые являются целочисленными линиями, но есть также много других целочисленных линий. Многоугольник, ребра которого лежат на целочисленных прямых, называется целочисленным многоугольником.

Теорема Пика утверждает, что площадь целочисленного многоугольника равна L + B/2 - 1 , где L — число узлов решетки внутри многоугольника, а B — число узлов решетки на границе многоугольника. Этот результат оставался незамеченным в течение некоторого времени после того, как Пик его опубликовал. Однако, в 1969 году, польский учёный Штейнгауз, один из основоположников Львовской математической школы, включил его в свой знаменитый “Математический калейдоскоп”. С этого времени теорема Пика привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью. Особенностью данной формулы является тот факт, что её можно применять только для многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге.

Чтобы оценить площадь многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы примем за единицу).

Если S- площадь многоугольника, N1- число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и N2- число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку, то N1 ≤ S ≤ N2.

Мы будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги - в точках, где пересекаются линии сетки. Оказывается, что для таких многоугольников можно указать простую формулу: S= r : 2 + i - 1, где S- площадь, r- число узлов, которые лежат на границе многоугольника (то есть на сторонах и в вершинах), i- число узлов, которые лежат строго внутри многоугольника. Мы рассматриваем треугольники с вершинами в узлах клетчатой бумаги. Лист мы считаем бесконечным во всех направлениях, клетки - квадратами со стороной 1. Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника.

Любой такой многоугольник легко разбить на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах. Можно показать, что площади всех этих треугольников одинаковы и равны ½, а следовательно, площадь многоугольника равна половине их числа Т. Чтобы найти это число, обозначим через nчисло сторон многоугольника, через В – число узлов внутри него, через Г- число узлов на сторонах, включая вершины. Общая сумма углов всех треугольников равна 180°• Т. Теперь найдем сумму другим способом. Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 2•180°, т.е. общая сумма углов равна 360°·В; общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна (Г- n)∙180°, а сумма углов при вершинах многоугольника будет равна (Г- 2)180°. Таким образом, Т=2∙180°·В +(Г-n)·180°+(n-2)∙180°. Выполнив раскрытие скобок и разделив на 360°,

получаем формулу для площади S многоугольника, известную как Формула Пика.

  1. Практическая часть

Используя задачи с сайтов для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ, я начала их решать несколькими способами, чтобы сделать соответствующий анализ и вывод: какой из способов проще, доступнее, эффективнее?

  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см изображена трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

         
         
         
         

Рис. 1

Решение.

1 способ. a=2; b=3; h=4. Используем формулу, для нахождения площади трапеции: S = ((а+b):2) · h. Имеем: S= ((2+3):2) ∙ 4= 10. Ответ:10

2 способ. Разобьем фигуру на более мелкие фигуры: 2 треугольника и прямоугольник и найдем их площади. Площадь 1 треугольника S = (2·4): 2 = 4. Площадь второго треугольника S = (1∙4) : 2 = 2

Площадь прямоугольника равна: S = 1∙4 = 4. Сложим полученные площади фигур. Имеем: 2 + 4 + 4 = 10. Ответ:10

3 способ. Используем формулу Пика. r = 8, i = 7. S = 8: 2 + 7 – 1 = 10 Ответ: 10

  1. Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

         
         
         
         
         
         

Рис. 2

Решение.

1 способ. Разобьем данную фигуру на части: прямоугольник, 2 маленьких прямоугольных треугольника и 1 большой прямоугольный треугольник. Найдем площади получившихся фигур. Площадь прямоугольника равна 2∙4 = 8,

сумма площадей 2х маленьких треугольников равна 1. Площадь большого треугольника равна (4·4) : 2 = 8. Итак, площадь всей фигуры равна: 8 + 1 + 8 = 17. Ответ: 17

2 способ. Воспользуемся формулой Пика. r = 16, i = 10. S = 16: 2 +10 -1 =17

Ответ: 17

  1. Учитывая, что площадь маленького квадрата равна 1, на рисунке площадь четырехугольника будет равна……

                   
                   
                   
                   
                   
                   

Рис. 3

Решение.

1 способ. Разобьем фигуру на несколько фигур, как показано на рисунке и найдем их площади. Площадь прямоугольника равна 2∙4 = 8. = (2∙2): 2 = 2;

= (5·1):2 = 2,5; = (6∙1):2 = 3; = (2·3):2 = 3; = (1∙1):2 = 0,5; Итак, площадь всей фигуры равна: 8+2+2,5+3+3+0,5 =19. Ответ:19

2 способ. По формуле Пика имеем: r = 6, i = 17, S = 6:2 +17 -1 = 19 Ответ: 19

  1. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке, считая, что площадь одной клетки равна 1.

       
       
       

Рис. 4

       
       
       

Рис. 5

Решение.

1 способ. Достроим изображенную фигуру до квадрата со стороной 3 и найдем его площадь. S = 9. Найдем площади прямоугольных треугольников.

= (3∙2):2 = 3; = (3∙2):2 =3; = (1∙1):2 = 0,5. Сложив полученные площади треугольников, и вычитая полученное число из площади квадрата, имеем:

S = 9 – (3+3+ 0,5) = 2,5. Теперь рассмотрим квадрат со стороной равной 2. Его площадь равна 4. Найдем площади прямоугольных треугольников: = 1,

=1, = 0,5. Вычитая из площади квадрата сумму площадей этих треугольников, имеем: S = 4 – 2,5 = 1,5. Итак, площадь фигуры, изображенной на рисунке равна 2,5 – 1,5 = 1. Ответ: 1

2 способ. По формуле Пика имеем: r = 4, i =0. S = 4: 2 + 0 – 1 = 1 Ответ: 1

5. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1x1 изоб­ра­же­на фигура. Най­ди­те её площадь.

Рис. 6

Решение.

1 способ. Разобьем фигуру на прямоугольники, как показано на рисунке и найдем их площади по формуле: S = а·b, где а и b – смежные стороны прямоугольника. Имеем: = 2∙4 = 8, = 1∙1 =1, = 2∙1 = 2. Итого: S = 2+1+8 = 11 Ответ: 11

2 способ. Применим формулу Пика. r =18, i = 3, S =18: 2 + 3 -1 = 11 Ответ:11

  1. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке (площадь одной клетки равна 1).

Рис. 7

Решение.

1 способ. Разбиваем данную фигуру на части: 3 прямоугольника и квадрат и находим их площади. = 1∙5 = 5, = 2∙ 1 = 2, = 1∙2 = 2, = 1·1 = 1. Площадь всей фигуры равна: S = 5 +2 + 2 +1 = 10 Ответ: 10

2 способ. По формуле Пика имеем: r = 22, i =0, S = 22:2 + 0 – 1 = 10 Ответ:10

4. Заключение

Решив задачи несколькими способами и получив одинаковые ответы, я пришла к выводу, что удобнее применять формулу Пика, так как процесс разбиения фигур на части требует большего количества времени, а на экзамене оно ограничено. Кроме того, формула Пика позволяет решать более сложные задачи. По моему мнению, формулу Пика может освоить любой ученик, достаточно уметь выполнять несложные математические вычисления.

Однако, наряду с достоинством формулы, есть и недостатки: формулу можно применить лишь для задач, фигуры в которых расположены на клетчатой решетке, вершины которых лежат в узлах решетки.

Формула Пика — это настоящее спасение для тех учеников, которые так и не смогли выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, чтобы подобраться к вычислению её площади «через знакомых». С другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, формула Пика послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу ещё и этим способом (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы).

Моя гипотеза о том, что вычисление площади фигуры по формуле Пика обеспечит правильное и быстрое решение задачи по сравнению с вычислением площади фигуры по формулам планиметрии, подтверждена.

5. Список использованной литературы и других источников

1.Н.Б. Васильев. Вокруг формулы Пика. //Квант.- 1974. -№2. –с.39-43

2.И.В. Ященко. ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов - М.: Издательство «Национальное образование», 2017. - 240 с. – (ОГЭ. ФИПИ- школе)

3.«Решу ОГЭ»: математика. Обучающая система Дмитрия Гущина. ОГЭ-2017: задания, ответы, решения [Электронный ресурс]. https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966