IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ И ИХ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Добрыгин О.П.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

Линейное программирование – это раздел математики, ориентированный на нахождение экстремума в задачах, которые описываются линейными уравнениями. Причем линейными уравнениями описывается как целевая функция, так и входные параметры условия ограничений на входные параметры.

Необходимым условием задач линейного программирования является обязательное наличие ограничений на ресурсы (сырье, материалы, финансы, спрос производственной продукции и т.д.). Другим важным условием решения задачи является выбор критерия останова алгоритма, т.е. целевая функция должна быть оптимальна в некотором смысле. Оптимальность должна быть выражена количественно.

Первое упоминание (1938 г.) о математических методах в эффективном управлении производством принадлежит советскому математику Л.В. Канторовичу. Год спустя, в 1939 г. Л.В. Канторович опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства» и практически применил полученные результаты. Термин «линейное программирование» ввели американские математики Дж. Данциг и Т. Купманс в конце 40-х годов. Дж. Данциг разработал математический аппарат симплексного метода решения задач линейного программирования (1951 г.). Симплексный метод находит применение для решения широкого круга задач линейного программирования и до настоящего времени является одним из основных методов.

Практическая часть

Для изготовления изделий A и B фабрика расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, имеющиеся в ограниченном количестве. Указанные изделия производят с помощью токарных и фрезерных станков.

Цель: Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.

Исходные данные приведены ниже:

Вид ресурса

Объем ресурса

Нормы расхода на одно изделие

Изделие A

Изделие B

Сталь, кг

570

10

70

Цветные металлы, кг

420

20

50

Токарные станки, станко-час

5600

300

400

Фрезерные станки, станко-час

3400

200

100

Прибыль, ден. ед.

3

8

Составим математическую модель данной задачи. Для этого необходимо выбрать переменные задачи, задать целевую функцию и составить систему ограничений.

Пусть х1 – количество изделий А и х2 – количество изделий В.

Целевая функция будет иметь вид:

Разберемся что здесь к чему:

- Целевая функция, которая образует нашу прибыль - Прибыль компании от x1 количества выпущенной продукции A- Прибыль компании от x2 количества выпущенной продукции A

- Функция стремится к максимальному значению, т.к. мы ищем максимальную прибыль нашей компании при искомых значениях аргументов Xn.

Составим ограничения нашей функции, в зависимости условия задачи:

х1 ≥ 0 и х2 ≥ 0 - условие неотрицательности

Ограничение по запасам стали

Ограничение по запасам цветным металлам

Ограничение по времени работы на токарных станках

Ограничение по времени работы на фрезерных станках

Что и откуда?Давайте разбираться:

Как вы уже могли заметить,10 – это норма расхода Стали на изделие A(x1),что видно из нашей таблицы, а 70 – это нормы расхода Стали на изделие B(x2).

570 –это количество ограничения Стали на самой фабрике, что мы и показываем, поставив неравенство (меньше или равно).

Такую операцию мы проделываем с каждым фактором, и получаем исходные ограничения.

Используем графический способ решения задач Линейного программирования.

Для этого, строим прямые линии в системе координат, исходя из ограничений, составленных ранее. Выделяем область допустимых значений, которая удовлетворяет системе ограничений и условиям неотрицательности.

(построение выполнено в программе «Математический конструктор»)

10х1 + 70х2 = 570 (1)

20х1 + 50х2 = 420 (2)

Х1

0

57

Х1

0

21

Х2

8,1

0

Х2

8,4

0

300х1 + 400х2 = 5600 (3)

200х1 +100х2 = 3400 (4)

Х1

0

18,6

Х1

0

17

Х2

14

0

Х2

34

0

Мы нашли область допустимых значений нашей целевой функции (заштрихованная зона). Теперь построим вектор , который будет являться нормальным вектором линии уровня, проведем линию уровня и будем перемещать ее по направлению вектора  (для задач на максимум) до тех пор, пока она не будет иметь с областью ограничений только одну общую точку. Проведем через нее опорную прямую. Определим координаты полученной точки максимума. В точке максимума пересекаются прямые (1) и (2). Решим систему из уравнений этих прямых.

Решение:

Теперь находим решение для нашей Целевой функции. В результате мы найдем Максимальную прибыль при данных аргументах (количествах выпускаемой продукции A и B).

Просто подставляем найденные значения в Целевую функцию Z:

Ответ найден: максимальная прибыль компании - 67 ден. ед. который обеспечен выпуском 9 единиц продукции типа A и 6 единиц продукции типа B.

Экономический анализ задачи

Проведем экономический анализ рассмотренной ранее задачи, для этого определим, как влияет на оптимальное решение увеличение или уменьшение запасов исходных продуктов.

Для анализа задачи примем, что неравенства системы ограничений могут быть активными или пассивными. Если прямая проходит через точку, в которой находится оптимальное решение, то будем считать, что она представляет активное ограничение. В противном случае прямая относится к пассивному ограничению.

Если ограничение активное, то будем считать, что соответствующий ресурс является дефицитным, так как он используется полностью. Если ограничение пассивное, то ресурс недефицитный и имеется в фирме в избытке.

Рассмотрим увеличение ресурса правой части ограничения (2) по цветным металлам. При перемещении параллельно самой себе прямой (2) вверх до пересечения с прямыми (1) и (3).

;

Т.к. мы выпускаем целую продукцию, то округляем с недостатком.

Подставляя значения в неравенство (2), получим предельно допустимый суточный запас цветных металлов:

при этом величина дохода составит:

 ден.ед.

Вывод: в результате увеличения использования запаса цветных металлов с 420 кг до 480 кг, прибыль компании увеличилась с 67 до 75 ден.ед. (на 8 д.е.)

Заключение

Как показывает практика, линейное программирование очень полезный математический инструмент для изучения прибыли и поиска оптимальных стратегий в экономике и предпринимательстве. Данный инструмент был открыт не так давно (в 1938 г.) и используется по сегодня.

Для того чтобы продемонстрировать действие этого инструмента мы использовали задачу с реальным условием. Таких условий может быть больше, а изделий (или любых других товаров) в задаче может быть бесконечное множество, но мы рассмотрели самый простой пример, для того чтобы показать основу его действия.

При экономическом анализе задачи, мы выявили, что запас цветных металлов на складе недефицитный, поэтому мы увеличили его и получили увеличение прибыли до возможного максимума.

Список литературы
  1. В.П. Агальцов, И.В. Волдайская «Математические методы в программировании» 2014г. ISBN 5-8199-0267-X (ИД «Форум») ISBN 5-16-002652-5 (ИНФРА-М)

  2. Под ред. В.И. Ермакова «Сборник задач по высшей математики для экономистов» 2014г. ISBN 5-16-002-395-X

  3. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов «Математика для экономистов» 2015г.

ISBN 5-94723-672-9