IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

D-МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Алексанова З.Р.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


ВВЕДЕНИЕ

Часто задачи экзаменов базируются на понятиях и результатах, не входящих в программу по математике. Конечно, задачи формулируются так, чтобы формально они соответствовали программе. Решения, которые публикуются после экзаменов в «официальных» сборниках, также не выходят за рамки этой программы. Однако эти решения часто выглядят искусственно, в то время как введение относительно несложных понятий и методов позволяет дать очень естественное решение, показать взаимосвязь различныхуравнений, повысить математическую культуру. Решая примеры из сборника задач 9 класса, такие как №12.34-12.37 учебного издания Мордковича А.Г. и др., задаёшься вопросом, какова взаимосвязь между указанными функциями. Появилась гипотеза: существуют «нестандартные» уравнения и «нестандартные» методы решения задач.

Цель исследования: выявить уравнения, решаемые с помощью D-метода. Задачи исследования:1).на примере формулы сокращенного умножения (квадрат суммы или разности двух выражений) убедиться, что выделение полного квадрата может являться методом решения некоторых нестандартных задач;2). применять выделение полных квадратов в выражении относительно какой-либо из функций как основу дискриминантного метода;

3).отобрать из тестов, предназначенных для подготовки к ЕГЭ, уравнения, решаемые с помощью D-метода;

4).составить банк уравнений, решить их с помощью D-метода;

5).по возможности решить составленные уравнения альтернативным способом; сопоставить решения;

5).распространить приобретенный опыт и навыки среди учащихся 9-11 классов.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

D- метод (дискриминантный метод)

Если уравнение можно привести к виду , причём при всех допустимых значениях переменной, то данное уравнение равносильно системе

Пример 1. (Химический факультет МГУ, 1994 г.)

Решить систему уравнений

Решение.Применим схему D- метода к первому уравнению системы: ,

Поэтому первое уравнение равносильно системе:

Тогда первоначальная система равносильна совокупности двух систем:

Ответ:

Указания к применению D- метода: если D - метод не удаётся применить сразу, то стоит попробовать тождественными преобразованиями добиться, чтобы уравнение или неравенство приобрело вид квадратного трёхчлена относительно какой-либо функции.

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Анализируя №13 (С1) тестов Мальцевых Д.А., А.А. Л.И., а также Ященко И.В., не обнаружены уравнения, решаемые с помощью исследуемого метода. В тестах Ларина А.А. 2017 года, выявлено три уравнения: тест № 10, №114 и тест № 162.

Пример 2. (Тест 10, С1 2017 А.А. Ларина) Решить уравнение

Комментарии к решению. Воспользоваться тригонометрическими формулами:

Или решение с помощью D-метода:

Ответ:

Пример 3. (Тест 162, С1 2017 А.А. Ларина) Решить уравнение

Решение. 1 способ. Применим способ введения вспомогательной переменной:Ответ: (Решение самостоятельное).

2 способ. D-метод.

Первое уравнение не имеет корней, так как

Данное уравнение можно было решать как квадратное относительно .

Ответ: (Решение самостоятельное).

Пример 4. (Тест 114, №15 2017 А.А. Ларина) Решить уравнение

Решение.

Применим D-метод. Решим уравнение как квадратное уравнение относительно:

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Решим уравнение D-метод относительно :

Можно было решить данное уравнение как квадратное уравнение относительно .

Ответ:

Пример 6. Решить уравнение

Решение.Решим уравнение D-метод относительно:

Первое однородное уравнение 1 степени совокупности решали с помощью универсальной подстановки, второе - используя формулы двойных углов.

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

.

Введем вспомогательную переменную Тогда получим уравнение

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Решим полученное квадратное уравнение относительно переменной

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ:

Пример 8. Решить уравнение .

Решение. 1 способ. Приведем данное уравнение к виду:

Учли при решении, что

Ответ: нет корней.

2 способ. Применим D-метод:

Решим уравнение как квадратное относительно :

Для того, чтобы уравнение имело корни

Второе уравнение совокупности не имеет решений, так как правая часть неположительная, а левая положительная.

Решим первое уравнение совокупности графическим способом. Построим, применяя производную, графики функций:и (Рис. 2).

С помощью Рис.1 определим монотонность функции

Рис. 1

Из Рисунка 2 видим, что графики функций не пересеклись, значит, уравнение

не имеет решений.

Ответ: нет корней.

Рис. 2

Разумеется, D-метод оказался более трудоемким и времяёмким. Пришлось решать иррациональные уравнения, решать уравнение графически, применяя производную.

Пример 9. Решим уравнение .

Решение. 1 способ. D-метод:

Решим последнее уравнение как квадратное относительно «5»:

Ответ:.

2 способ. Решим уравнение графически, построив графики функций и .(Рис. 3).

Рис. 3

Как видно, назвать точно решение невозможно, в отличие от решения 1 способом, графический способ в данном случае неэффективен.

Примеры, решаемые с помощью Д-метода:

Примеры, сходственные Примеру 5:

Примеры, сходственные Примеру 6:

Примеры, сходственные Примеру 7:

Примеры, сходственные Примеру 8:

Примеры, сходственные Примеру 9:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таблица 1 содержит информацию о решённых уравнениях, рациональности, единственном способе решения уравнения:

Пример

Способы, методы, Р – рациональный

D-метод

Введение вспомогательной переменной

Приведение уравнения к квадратному и введение вспомогательной переменной

Приведение уравнения к специальному виду и сравнение слагаемых с нулём

Графический способ

Пример 1

+

       

Пример 2

+

       

Пример 3

+

Р

+

Р

     

Пример 4

+

Р

 

+

   

Пример 5

+

       

Пример 6

+

       

Пример 7

+

       

Пример 8

+

   

+

Р

+

Пример 9

+

Р

     

+

Замечаем, что не все указанные выше уравнения можно решить альтернативным способом D-методу. Из 9 уравнений лишь 44,44% решаются двумя способами, что даёт возможность проверить верность найденного решения.

D-метод интересен тем, что им решаются уравнения различных видов: уравнение-многочлен, иррациональное, тригонометрическое.

В ходе занятия элективного курса в 10 классе был распространен опыт отбора по виду, составления и решения уравнений, решаемых с помощью D-метода. На предложение составить свое уравнение подобного типа откликнулись 80% (24 респондента, возраст 15-17 лет). Эти уравнения пополнили банк уравнений, составленных автором работы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Нараленков М.И. Вступительный экзамен по математике. Алгебра. Как решать задачи: учебно-практическое пособие- М.: Экзамен, 2003. 306-307 с.

  2. ЕГЭ и ГИА 2017 Математика Материалы для подготовки к экзаменам - Режим доступа:http://alexlarin.net/ege17/html(дата обращения 25.07.2017)