IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ
Власов Н.Д.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение

Я считаю, что данная тема является актуальной, потому что данный раздел либо не включен в образовательную программу средней школы, либо ему уделяется очень мало внимания. Однако задачи с параметром встречаются почти во всех вариантах ЕГЭ, а именно во второй части, в задании 18. И лишь 2-3% учащихся решают их верно, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметром, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Я выбрал данную тему для исследования, так как задачи с параметром играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, и именно эти задачи представляют для учащихся и абитуриентов наибольшую сложность.

Цель работы:

Систематизировать знания по данной теме, поэтапно разобрать каждый метод решения задач с параметром и выбрать самый рациональный.

Задачи работы:

1. Проанализировать литературу и обобщить знания по данной теме.

2. Рассмотреть теорию, связанную с решением задач с параметрами.

3. Освоить методы решения заданий с параметром и выявить наиболее рациональный и удобный.

4. Сформулировать выводы и умозаключения по проделанной работе.

Объект исследования: Уравнения и неравенства с параметром.

Основная часть исследования

Понятие параметра:

Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим.

Решить уравнение или неравенство с параметром – значит для всех допустимых значений параметра найти множество всех решений этого уравнения или неравенства. Причем, существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем задачам, в которых возможны разные варианты ответов в зависимости от значений параметра.

Основной принцип решения уравнений (неравенств) с параметром состоит в следующем: нужно разбить область допустимых значений параметра на такие участки, в каждом из которых уравнение (неравенство) решается одним и тем же способом. Отдельно для каждого такого участка находятся решения, зависящие от значений параметра. Ответ к уравнению (неравенству) состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого из них всех решений этого уравнения (неравенства).

В отношении уравнений (неравенств) с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи.

1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения (неравенства).

2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения (неравенства) удовлетворяют заданным требованиям.

Например, при каком значении параметра уравнение(неравенство): не имеет корней(решений), имеет 2 различных корня, имеет более 3-х корней(решений), имеет единственный(-ое) корень(решение) и так далее.

Алгебраический метод

Первый метод алгебраический. Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1: Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

2cos(2x)-4аcos(x)+ а2+2=0 не имеет решений.

Решение: Проведем простейшие преобразования:

2cos(2x)-4аcos(x)+а2+2=0,

2(2cos2(х)-1)-4аcos(x)+а2+2=0,

4cos2(x) - 4acos(x)+а2 =0,

(2cos(x)-a )2=0,

сos(x)=a/2

Данное уравнение не имеет решений, если |a/2 |>1, т.к |сos (x)| ≤ 1

a>2, a0 имеет хотя бы одно решение?

Приведем данное неравенство к положительному коэффициенту при x2:

−x2+(a+2)x−8a−1>0⇔x2−(a+2)x+8a+10. Квадратный трехчлен a2−28a имеет два корня: a1=0, a2=28. Поэтому неравенству a2−28a>0 удовлетворяют промежутки a∈(−∞;0)∪(28;+∞).

Ответ: a∈(−∞;0)∪(28;+∞).

Графический метод

Графический способ удобно использовать, когда в уравнении или неравенстве требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.

При­мер 1: Найти число кор­ней урав­не­ния в за­ви­си­мо­сти от па­ра­мет­ра а:

Пер­вым дей­стви­ем необ­хо­ди­мо по­стро­ить гра­фик функ­ции сто­я­щей в левой части. По­сколь­ку при­сут­ству­ет мо­дуль, сна­ча­ла стро­им гра­фик под­мо­дуль­ной функ­ции: . Это па­ра­бо­ла, ветви на­прав­ле­ны вверх, корни равны: , от­сю­да можно найти ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны: . После того, как гра­фик дан­ной функ­ции по­стро­ен, легко по­стро­ить гра­фик функ­ции с мо­ду­лем: , для этого все от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния функ­ции зер­каль­но отоб­ра­жа­ют­ся от­но­си­тель­но оси х. Далее необ­хо­ди­мо рас­сечь гра­фик се­мей­ством пря­мых , найти точки пе­ре­се­че­ния и вы­пи­сать ответ.

Глядя на гра­фик, вы­пи­сы­ва­ем Ответ: при ре­ше­ний нет; при два ре­ше­ния; при че­ты­ре ре­ше­ния; при три ре­ше­ния.

Пример 2: При каких значениях параметра а уравнение

3x4+4x3-12x2 = a имеет не менее трех корней?

Решение: Построим график данной функции f(x)= 3x4+4x3-12x2 и f(x)=0;

Возьмем производную из нашей функции:

f’(x)=12x3+12x2-24x=12x(x+2)(x1)

Решая неравенства 12x(x+2)(x-1) > 0 и 12x(x+2)(x-1) < 0,получаем, что

при xmin=-2 (точка min), xmax=0 (точка max), xmin=1(точка min)

f(-2)=-32

f(0)=0

f(1)=-5

Построим схематически график функции, учитывая точки экстремума:

График позволяет нам ответить на вопрос, поставленный в задаче:

Уравнение 3x4+4x3-12x2 = a имеет не менее трех корней, если

-5 ≤ a ≤ 0, а є [-5;0]

Ответ: а є [-5;0]

Решение с помощью производной

Чтобы найти все значения параметра t, при которых уравнение f(x)=g(t) разрешимо (имеет хотя бы одно решение), надо:

1) найти множество значений функции f(x), когда х пробегает область определения функции.

2) потребовать, чтобы значения функции g(t) менялись на этом множестве.

Например, если множество значений f(x) промежуток [A;B], то уравнение

f(x) = g(t) разрешимо для значений параметра t, удовлетворяющих неравенствам: A