IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ
Зайков С.А.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


ВВЕДЕНИЕ

Метод замены множителей – эффективный способ решения целого класса неравенств, позволяющий преобразовывать их в дробно-рациональные неравенства.

Например,

Гипотеза: существует способ замены неравенства на равносильное ему рациональное неравенство, имеющее упрощенную форму.

Объект исследования - алгебра, предмет исследования – методы решения неравенств.

Цель: убедиться в рациональности метода замены множителей при решении неравенств.

Задачи:

  1. Применять метод замены множителей при решении неравенств.

  2. Сопоставить методу замены множителей альтернативные методы решения неравенств и определить, какие из них являются рациональными.

  3. Составить неравенства и решить их различными способами.

  4. Составить методические рекомендации для решения неравенств.

  5. Распространить приобретенный опыт в решении неравенств среди учащихся старшего звена лицея.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Любое неравенство приводимо к виду где символ «» означает один из четырёх знаков неравенства: . Решая неравенство, определяют знак каждого множителя числителя или знаменателя, а не абсолютное значение дроби. Возможна замена определенного множителя на другой, знакосовпадающий с ним в области определения неравенства (и имеющий в этой области те же корни). Этот факт определяет идею метода замены множителей. Метод применим, если с нулём сравнивается произведение множителей или дробь, числитель и знаменатель которой – произведение множителей.

Монотонность функций.

Основная часть замена обусловлена следующими равносильными утверждениями.

Утверждение 1. Функция есть строго возрастающая тогда и только тогда, когда для любых двух значений и из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью , т.е. . Знак «» означает знакосовпадение.

Утверждение 2. Функция есть строго убывающая тогда и только тогда, когда для любых двух значений и из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью , т.е. .

Обоснование этих утверждений следует из определения строго монотонной функции. Равносильность утверждений 1 и 2 следует из того факта, что если монотонно возрастающая функция, то есть монотонно убывающая.

Практически только замена знакопостоянных множителей не вытекает из утверждений 1 и 2, поэтому если не меняем знак неравенства, положительные множители убираем, а всюду отрицательные меняем на «-1». Популярный знакопостоянный множитель – квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом удобно заменять на старший коэффициент (или на свободный член), т.е. при .

Функция и определяемые ею замены.

Поскольку функция является строго возрастающей на множестве неотрицательных чисел, а при нечетном натуральном - на всей числовой оси, то, в силу утверждения 1, равносильны следующие замены:

при (1),

при (2).

Функции и , определенные на множестве неотрицательных чисел, являются взаимнообратными и строго возрастающими, значит,

Поэтому

(3).

, где (4).

Т.к. и , то из утверждения (1) следует

(5).

Пример 1.

Решение.

Данное неравенство имеет вид . Всем множители представлены как , , поэтому согласно утверждению (3) заменяем множителя числителя и знаменателя на знакосовпадающие с ними множители .

Исходное неравенство равносильно следующему:

Так как и , то с учётом неотрицательности подкоренного выражения получаем:

Знакопостоянные квадратные трёхчлены и согласно утверждению (2) заменяем соответственно на «-1» и «1».

Ответ: или.

Удобно пользоваться двумя заменами:

(6),

(7).

Пример 2.

Решение.

Ответ: .

Пример 3.

.

Решение.

Разобъём область допустимых значений на два промежутка: .

Только на втором промежутке каждый множитель есть разность двух неотрицательных чисел, а следовательно, можно воспользоваться методом замены множителей. Итак, имеем:

При решении третьей снизу системы учли, что при .

Ответ: .

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Решим указанные выше неравенства другими способами.

Пример 1.

Решение.

Используем метод интервалов.

1). Введем функцию . Она непрерывна на .

2).

3).

4). Нуль функции разбивает на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет знак (Рис. 1):

Рис. 1

Ответ:

Метод замены множителей является более эффективным при решении примера 1, нежели метод интервалов, в котором много времени уходит при определении знака функции на полученных промежутках, долго искать .

Пример 2.

Решение.

1 способ. Применим метод интервалов.

1). функция непрерывная на .

2). , так как .

3).

4). Нули функции разбивают на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет знак (Рис. 2):

Рис. 2

Ответ: .

2 способ. Так как произведение двух множителей неотрицательно, а второй множитель является неотрицательным по определению, то первый множитель должен быть также неотрицательным на области определения первого множителя. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: .

Второй пример решается рациональнее вторым способом, а метод интервалов и метод замены множителей являются по трудоемкости и времяёмкости равными.

Пример 3.

.

Решение.

1 способ. Решим неравенство методом интервалов:

1). непрерывна на .

2). , так как

3).

4). Нули функции разбивают на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет знак (Рис. 3):

Рис. 3

Ответ:

2 способ. Используем свойства иррациональных неравенств:

и

Решим первую систему неравенств на ОДЗ.

Первое неравенство:

Второе неравенство

Первая система не имеет решений.

Решим вторую систему неравенств на ОДЗ.

Первое неравенство

Второе неравенство

Решением второй системы является множество , пересекая его с допустимыми значениями переменной , получаем ответ.

Ответ:

В первом решении примера 3 методом интервалов потребовалось много времени для определения знаков функции в полученных промежутках, а во втором способе решения, с использованием свойств иррациональных неравенств, потребовалось много времени на решение полученных системы и совокупности неравенств. Рациональным способом решения примера 3 является метод замены множителей.

Самостоятельно составленные и решенные неравенства

Пример 4.

Решение. 1 способ. Применим метод замены множителей.

ОДЗ: так как

Ответ:

2 способ. Применим метод интервалов.

  1. непрерывна на .

  2. , так как

Уравнение корней не имеет.

4). Исследуем знак функции на (Рис. 4):

Рис. 4

Ответ:

Метод интервалов оказался рациональнее, чем метод замены множителей.

Пример 5.

Решение. 1 способ. Применим метод замены множителей.

ОДЗ: так как

Ответ:

2 способ. Применим метод интервалов.

Применим метод интервалов.

1)непрерывна на .

2), так как

3)

4). Исследуем знак функции на (Рис. 5):

Рис. 5

Ответ:

Методы интервалов оказался рациональнее метода замены множителя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представимполученные результаты сравнения способов и методов решения иррациональных неравенств (рациональный «Р», нерациональный «Н») в виде таблицы (Таблица 1):

Способы и методы решения неравенств

Примеры

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Метод замены множителей

Р

Н

Р

Н

Н

Метод интервалов

Н

Н

Н

Р

Р

Свойства иррациональных неравенств

   

Н

   

Представление неравенства в виде совокупности систем

 

Р

     

Таблица 1

Как видно из таблицы 1, метод замены множителей не всегда является рациональным при решении неравенств. Очевидно, что им необходимо пользоваться в тех случаях, когда множители неравенства являются разностью различных сложных функций.

Выбор того или иного подхода к решению неравенств зависит от предпочтения и приобретенных навыков применения способов и методов решения, что и показало внеурочное элективное занятие по математике в 10 классе (в работе принимали участие 24 учащихся). Если выбор стоял между методом интервалов или методом замены множителей, то традиционно предпочитался метод интервалов, как универсальный способ (70% учащихся). Однако решения неравенств, к которым мог быть применим метод замены множителей, были выполнены быстрее, чем альтернативным способом или методом (15 мин/30 мин).

В ходе исследования были составлены методические рекомендации для решения неравенств:

  1. Убедиться, что неравенство представимо в виде произведения/частного множителей, каждый из которых является разностью функций, сравниваемого с нулём.

  2. Найти ОДЗ переменной неравенства.

  3. Заменить любой множитель в числителе или знаменателе на знакосовпадающий с ним и имеющий одни и те же корни, при этом неравенство должно иметь вид где символ «» означает один из четырёх знаков неравенства: .

  4. Использовать наиболее часто встречающиеся замены:

,

,

при ,

при ,

,

.

Методические рекомендации были опробованы на примерах решения неравенств, включающих различные сложные функции указанного выше вида.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Голубев В.И., Тарасов В.А. Эффективные пути решения неравенств. – Львов, Квантор, 1992.

  2. В. И. Голубев. Школа решения нестандартных задач в журнале МАТЕМАТИКА. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете "Первое сентября", № 6, 2005.

  3. Ю.Н. Макарычев Алгебра: 9 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов – М.: Мнемозина, 2011, 274-275 с.