IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ, КАК ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
Дугаева А.Е.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Введение.

Цель работы: Выявить возможность решения задач повышенной сложности с помощью метода математической индукции.

Проблема нашего исследования заключается в малом количестве знаний и информации о принципе решения задач с помощью метода математической индукции и отсутствие опыта по решению задач «со звёздочкой».

Задачи:

  1. Дать определение понятию «математическая индукция», изучить его принцип и составить схему решения задач с помощью данного метода.

  2. Изучить историю возникновения и развития метода математической индукции.

  3. Определить группу задач повышенной сложности, которые можно решить с помощью метода математической индукции.

  4. Привести примеры решения задач с помощью данного метода.

  5. Провести социологический опрос с целью выявления проблем, возникающих при решении задач повышенной сложности.

  6. Разработать пособие для учащихся старшей школы по решению задач повышенной сложности с помощью метода математической индукции.

Гипотеза проекта: Метод математической индукции – это наиболее эффективный и верный способ решения задач повышенной сложности.

В работе были использованы следующие методы исследований:

  • Определение понятий;

  • Анализ и синтез;

  • Классификация;

  • Моделирование;

  • Анкетирование;

  • Обобщение.

Основополагающий вопрос: правда ли то, что с помощью метода математической индукции можно решить задачи повышенной сложности, не затратив на это много времени и получив при этом верный результат?

Актуальность нашего исследования. Решая задачи олимпиад и различных конкурсов, я многократно сталкивалась с задачами, которые решались методом математической индукции, и у меня всегда возникала проблема при решении подобных задач. Я решила исследовать данную проблему, но передо мной встал вопрос: «Актуальна ли данная тема среди учеников старшей школы?». Для начала я провела социологический опрос, и выяснила, что, действительно, данная проблема имеет место быть, ведь на метод математической индукции уделяется мало часов, и на отработку заданий совсем нет времени, а подобные задачи встречаются в различных олимпиадах и конкурсах. Изучив тему и решив некоторое количество задач, я создам пособие в помощь старшеклассникам для подготовки к различным олимпиадам.

Поэтому объектом нашего исследования является метод математической индукции, предметомзадачи, которые можно решить с помощью данного метода.

По результатам исследования данные обработаны, даны комментарии, создано пособие для учащихся старших классов «Решение задач повышенной сложности с помощью метода математической индукции», сделаны выводы.

Практическая значимость: Благодаря данному исследованию, учащиеся могут более подробно ознакомится с историей возникновения метода математической индукции и его принципом. Результаты исследования, а именно пособие для учащихся старшей школы, можно использовать в качестве дополнительного материала при подготовке учеников к различным олимпиадам и конкурсам. Так же исследование можно использовать, как материал для самообразования учащихся школы

Глава I

Обзор литературы

«Понимание и умение правильно применять

принцип математической индукции,

является хорошим критерием логической зрелости,

которая совершенно необходима математику»

А.Н. Колмогоров.

  1.  
    1. Метод математической индукции и его принцип.

Метод математической индукции – универсальный способ доказательства утверждений, зависящих от натурального аргумента .[4 с]

В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции, который принимается как аксиома.

Утверждение зависящее от натурального числа n, справедливо при любом , если:

  1. Утверждение справедливо при ;

  2. Для всякого из справедливости следует справедливость [1л]

  1.  
    1. Доказательство и решение методом математической индукции.

 

Базис индукции

Индукционное предположение

Индукционный переход

 

Вывод

 

 

 

2 сайт

 

Доказательство и решение задач методом математической индукции проводится следующим образом:

  • Сначала доказываемое утверждение проверяется при . Эту часть называют базисом индукции; [1л]

  • Затем предполагаем, что утверждение верно для некоторого значения . Эта часть называется индукционным предположением; [2л]

  • Далее следует часть, называемая индукционным переходом или индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения при в предположении справедливости утверждения при .[1л]

  • Конечный этап – это вывод. Если такое доказательство или решение задачи удалось довести до конца, то, на основе принципа математической индукции можно утверждать, что утверждение верно для любого натурального числа .[2л]

  1.  
    1. История возникновения и развития метода математической индукции.

В XIX веке из-за чрезвычайного расширения предмета математики было привлечено большое внимание к вопросам ее «обоснования», т.е. пересмотра ее исходных положений (аксиом), критического рассмотрения логических примеров, употребляемых при доказательствах, а также само построения строгой системы определений и доказательств.

Стандарт требований к логической строгости, остающейся и в наше время главным в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий, сформировался только к концу XIX века. Современная математика дала на этот вопрос, свой ответ: никакая единая дедуктивная теория не может исчерпать разнообразия проблем теории чисел. Слово индукция в переводе на русский означает «наведение», а индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

В основе любого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. А индукция в свою очередь применяется при переходе от частных результатов к общим. Она является методом, противоположным дедуктивному.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Начиная с низшего, в результате нашей логики мы приходим к высшему. Сама природа предначертала ему размышлять индуктивно: человек всегда стремился к умению развивать свою мысль логически.

Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Именно они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. Так, если взять три закона движения Ньютона, то они являются результатом глубокой и тщательной обработки опытных данных. Тоже самое обстоит с законами движения планет Кеплера: все 3 закона были выведены путем обработки многолетних опытов датского астронома Тихо Браге. Также наблюдение и индукция оказываются полезными для уточнения сделанных предположений. Так, например, после опытов Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде оказалось необходимым уточнить законы физики, т.е. создать теорию относительности.

В математике основная роль индукции состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как долгие наблюдения и практика показали, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, необходимо было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство:

 

Понятие «следовать за». лежащее в основе арифметики, также появилось при наблюдениях за упорядоченными множествами (строем солдат или кораблей). Но этим роль индукции в математике не исчерпывается. Естественно, мы не должны экспериментально проверять теоремы, логически выведенные из аксиом: если при выводе, не было допущено логических ошибок, то они настолько верны, насколько истинны принятые нами аксиомы. Но ведь из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор тех утверждений, которые необходимо доказать, вновь подсказывается индукцией. Она позволяет отделить полезные теоремы от бесполезных, помогает наметить путь доказательства, указывает, какие теоремы могут оказаться верными. В математике уже давно используется индуктивный метод, который основывается на том, что любое общее утверждение делается на основании рассмотрения лишь нескольких частных случаев.

К середине XVII века в математике накопилось немало ошибочных выводов, из-за того, что многие ученные верили в непогрешимость индукции. Требовалось научное обоснование метода, который позволял бы делать общие выводы на основании рассмотрения нескольких частных случаев. И такой метод был разработан. Основная заслуга в этом принадлежит французским математикам Паскалю (1623 - 1662) и Декарту, а также швейцарскому математику Якобу Бернулли (1654-1705).

Глава II

Материалы и методы исследования

  1.  
    1. Метод математической индукции в решении задач.

  • На делимость

С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел.

Пример №1

Если , то число кратно 24.

РЕШЕНИЕ

  1. Проверим истинно ли наше утверждение при :

- число кратно 24.

  1. Пусть , тогда:

  1. Докажем, что данное выражение верно при :

; тогда 48*

Т.к. данное утверждение верно при и , следовательно, выражение кратно 24 при любом

Пример№2

Доказать, что кратно 27, где 10 п + 18 п – 28 кратно 27, где .

РЕШЕНИЕ

  1. Проверим истинно ли наше утверждение при :

  1. Пусть , тогда:

  1. Докажем, что данное выражение верно при :

(, где и , тогда ).

Т.к. данное утверждение верно при и , следовательно, кратно 27 при любом.

Пример №3

Доказать, что кратно 6, где.

РЕШЕНИЕ

  1.  
    1. Проверим истинно ли наше утверждение при :

, 12 кратно 6

  1.  
    1. Пусть , тогда:

3) Докажем, что данное выражение верно при :

, следовательно, кратно 6.

Т.к. данное утверждение верно при и , следовательно, кратно 6 при любом.

Пример №4

Доказать, что , где .

РЕШЕНИЕ

  1. Проверим истинно ли наше утверждение при :

  1. Пусть , тогда:

  1. Докажем, что данное выражение верно при :

Т.к. данное утверждение верно при и , следовательно, кратно 133 при любом.

  • Суммирование рядов

Пример №1

Доказать, что сумма первых чисел натурального ряда равна

РЕШЕНИЕ

  1. Мы обозначили искомую сумму как , т.е. .

  2. При наше утверждение принимает верное значение, то есть .

  3. Пусть . Тогда .

  4. Покажем, что при выражение является справедливым, и оно принимает следующий вид: . Следовательно, – верно.

Пример №2

Доказать, что сумма квадратов n первых чисел натурального ряда равна .

РЕШЕНИЕ

  1. Пусть .

  2. Тогда, доказав, что при , гипотеза верна (), мы предположили, что .

  3. Пусть, тогда .

  4. Следовательно, для, выражение будет верным, и оно принимает следующий вид: . И в результате мы получаем, что: – верно.

Пример №3

Доказать, что сумма кубов первых натуральных чисел равна .

РЕШЕНИЕ

  1. Мы обозначили искомую сумму как ().

  2. При обе части равенства обращаются в единицу.

  3. Предположим, что формула верна при , т.е..

  4. Прибавим к обеим частям этого равенства и преобразуем правую часть. Тогда получим – верно.

  • Доказательство тождеств

Пример №1

Доказать, что .

РЕШЕНИЕ

  1. При наше утверждение принимает верное значение, то есть .

  2. Пусть , тогда

  3. Следовательно, выражение справедливо при , и оно принимает следующий вид: – верно.

Пример №2

Доказать, что

РЕШЕНИЕ

  1. При обе части равенства обращаются в .

  2. Пусть , следовательно, .

  3. Тогда, для, выражение является верным, и оно принимает следующий вид: – верно.

Пример №3

Доказать, что

РЕШЕНИЕ

  1. При обе части тождества обращаются в -7. (;)

  2. Пусть равенство верно и при , следовательно,

  3. Тогда, для, выражение является верным, и оно принимает следующий вид:

  1. Доказательство: A)

Б)

В)

0=0 – верно.

Пример №4

Доказать, что

РЕШЕНИЕ

  1. При обе части тождества обращаются в 1, .

  2. Пусть равенство верно и при , следовательно,

  3. Тогда, для, выражение является верным, и оно принимает следующий вид:

или же

  1. Доказательство:

Заменим сумму кубов в левой части равенства правой частью равенства , следовательно, мы получим:

Т.к. данное утверждение верно при и , следовательно,равенство справедливо при любом.

Пример №5

Доказать, что для любого выполнятся равенство

РЕШЕНИЕ

  1. При обе части тождества верны:

  2. Пусть равенство верно и при , следовательно,

  3. Тогда, для, выражение является верным, и оно принимает следующий вид:

  4. Доказательство:

  5. Т.к. данное утверждение верно при и , следовательно,равенство справедливо при любом.

Пример №6

Доказать, что для любого выполнятся равенство .

РЕШЕНИЕ

  1. При обе части тождества верны: ;

  2. Пусть равенство верно и при , следовательно,;

  3. Тогда, для, выражение является верным, и оно принимает следующий вид:

По формуле из тригонометрии:

  1. Получаем следующее:

Верно.

  • На последовательность, арифметическую и геометрическую прогрессию.

Пример №1

Последовательность задана рекуррентно: , . Докажите, что .

РЕШЕНИЕ

  1. При – верно ().

  2. Тогда при , последовательность принимает следующий вид: , и она также будет верна.

  3. Следовательно, последовательность справедлива и при , тогда – верно.

Пример №2

Доказать, что сумма - членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: .

РЕШЕНИЕ

1) При – верно. ()

2) Допустим, что данное утверждение верно при :

3)Тогда, для , выражение справедливо, и оно принимает следующий вид:

  1. Доказательство:

Т.к. выполняются оба условия принципа математической индукции, из этого следует, что формула , верна для любого

Пример №3

Доказать формулу общего члена арифметической прогрессии

РЕШЕНИЕ

  1. При обе части формулы обращаются в , ,

  2. Пусть равенство верно и при , следовательно, ,

  3. Тогда, для, выражение является верным, и оно принимает следующий вид:

– верно.

  • Доказательство неравенств

Пример №1

Доказать неравенство , если .

РЕШЕНИЕ

  1. Для неравенство является верным ().

  2. Допустим, что , тогда .

  3. Следовательно, для неравенство справедливо, и оно принимает следующий вид: , где (по предположению индукции); для всех , то есть .

Пример №2

Доказать неравенство , если , .

РЕШЕНИЕ

  1. При неравенство является верным ().

  2. Если , то .

  3. Тогда, для , неравенство справедливо, и оно принимает следующий вид:

, при

Пример №3

Доказать, что , где , а , .

РЕШЕНИЕ

  1. При неравенство справедливо, т.к. .

  2. Тогда при неравенство принимает следующий вид: (неравенство №1).

  3. Следовательно, неравенство справедливо и при , то есть (неравенство №2). По условию , следовательно, справедливо неравенство . Преобразуем данное неравенство: . Отбросив в правой части положительно слагаемое , мы получим справедливое неравенство №2.

Пример №4

Доказать, что , .

РЕШЕНИЕ

  1. При неравенство справедливо, , ;

  2. Тогда при неравенство принимает следующий вид:

(неравенство №1);

  1. Следовательно, неравенство справедливо и при , то есть (неравенство №2).

  2. Сравнивая , имеем т.е. ;

  3. При любом правая часть равенства принимает положительные значения, следовательно, . , соответственно и .

Пример №5

Доказать, что это неотрицательные числа.

РЕШЕНИЕ

  1. При неравенство справедливо, ;

  2. Тогда при неравенство принимает следующий вид:

  1. Следовательно, неравенство справедливо и при , то есть

Пусть , тогда

  1. Имеем:

Обе части неравенства возведём в степень

Следовательно, на основании метода математической индукции, неравенство Коши верно. Данное доказательство является классическим доказательством неравенства Коши.

Пример №6

Доказать, что

РЕШЕНИЕ

  1. При неравенство справедливо, т.к. ;

  2. Обозначим левую часть неравенства , и предположим справедливость неравенства ;

  3. Докажем справедливость неравенства ;

  4. Найдём

Следовательно, неравенство — верно.

  • Геометрические задачи

Пример №1

Вычислить сторону правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса R.

РЕШЕНИЕ

При , правильный -угольник – это квадрат, и в этом случае .

Пусть и определим, что . Если , то ; . Тогда по теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника DEB: . В свою очередь , и . Следовательно, , и, таким образом, мы получили формулу перехода от к :

=.

  • В частных случаях:

Следовательно, возникает предположение, что

При , эта формула справедлива. Пусть данная формула выполняется при n = k. Тогда попробуем вычислить .

Согласно формуле перехода от к , следует, что:

Пример №2

На какое число частей могут разделить плоскость n прямых, пересекающихся попарно, и не более того.

РЕШЕНИЕ

Если размышлять, то можно прийти к следующим выводам:

Соответственно, число частей равно: и т.д. Исследуем найденные числа и замечаем, что . Если более детально изучать результаты, то можно увидеть, что -ая прямая пересекает каждую из остальных прямых в точках и делится ими на - часть. Каждая часть прямой добавляет к разбиению плоскости одну часть. Следовательно, возникает гипотеза, что число частей — это сумма арифметической прогрессии . Если , то –прямая, которая разбивает плоскость на две части. Предположим, что . Пусть , тогда . Пусть , тогда . В соответствии с принципом математической индукции, утверждение доказано.

Ответ: .

Пример №3

Доказать, что сумма внутренних углов выпуклого -угольника равна .

РЕШЕНИЕ

  1. При утверждение верно (Т.к. минимальное число углов у выпуклого -угольника равно 3; ).

  2. При , формула верна ()

  3. Тогда докажем, что формула верна и для любого выпуклого -угольника:

3.1 Разобьем -угольник диагональю таким образом, чтобы нам удалось получить -угольник и треугольник.

3.2 Т.к. формула для -угольника и треугольника верна, следовательно, мы получаем, что . Тот же результат мы получим, если в исходную формулу подставить ()

  1.  
    1. Выборочное анкетирование

Первоначально мной было проведено исследование методом социологического опроса с помощью анкетирования.

Основная цель: выяснить, возникают ли трудности при решении задач повышенной сложности.

Участники: ученики 10-х и 11-х классов нашей школы.

Задача № 1: выяснить, актуален ли среди учеников метод математической индукции при решении данных задач.

Задача № 2: узнать, достаточно ли у учеников знаний для того, чтобы решать задачи повышенной сложности с помощью метода математической индукции.

Ход работы:

Участникам исследования предлагалось анонимно ответить на вопросы анкеты

Анкета

  1. Сталкивались ли вы с трудностями, при решении задач более сложного уровня?

  2. Эти трудности были связаны с…?

  3. Знакомы ли вы с таким методом решения задач, как математическая индукция?

  4. Как вы думаете, достаточно ли часов в школьной программе уделяют на данную тему?

  5. Часто ли вы прибегаете к данному методу решения задач повышенной сложности?

  6. 6.1 Если на предыдущий вопрос ответили «да»: «Почему вы выбираете именно метод математической индукции?»

6.2 Если на предыдущий вопрос ответили «редко» и «нет»: «Почему вы отказываетесь от данного метода?»

Глава ІІІ.

Результаты исследования и обсуждения.

3.1. Обработка результатов социологического опроса

Участникам предлагалось заполнить анкеты. В анкетировании участвовало 100 человек.

Статистический анализ материалов анкеты.

Результаты анкетирования №1:

  1. Сталкивались ли вы с трудностями, при решении задач более сложного уровня?

Ответ «Да» - 91 участник (91%), «Иногда» - 4 участника (4%), «Нет» - 5 участников (5%).

  1. Эти трудности связаны с…?

Ответ «С недостатком знаний по той или иной теме» - 81 участника (81%), «с отсутствием понимая условия задачи» - 11 участников (11%) и ответ «с непониманием, с чего начать решение задачи» - 8 участников (8%)

  1. Знакомы ли вы с таким методом решения задач, как математическая индукция?

Ответ «Да» - 78 участников 78(%), «Что-то слышал(а)» - 13 участников (13%) и ответ «Нет» - 9 участников (9%)

  1. Как вы думаете, достаточно ли часов в школьной программе уделяют на данную тему?

Ответ «Да» - 43 участника (43%), «Мне всё равно» - 31 участник (31%) и ответ «Нет» - 26 участников (26%)

  1. Часто ли вы прибегаете к данному методу решения задач повышенной сложности?

Ответ «Да, часто» - 2 участника (2%), «Редко» - 48 участников (48%) и ответ «Не использую данный метод» - 50 участников (50%)

  1. 6.1. Почему вы выбираете именно метод математической индукции?

Ответ «Данный метод мне хорошо знаком» - 2 участника (100%).

  1.  
    1. Почему вы отказываетесь от данного метода?

Ответ «Я не знаю, как решать с помощью данного метода» - 47 участников (48%), «Мне не интересен этот метод, т.к. для меня он очень сложен» - 51 участника (52%).

Анализ результатов

В ходе анкетирования и наблюдений я выявила, что большинство учеников сталкиваются с трудностями при решении задач повышенной сложности. Так же мне удалось установить, что у них накоплено мало знаний, связанных с методом математической индукции, и поэтому они не знают, как решать задачи с помощью данного метода.

Выводы.

На основании проведенных теоретических исследований установлено:

  1. Для того чтобы решать задачи повышенной сложности с помощью метода математической индукции необходимо понимать принцип математической индукции, а также знать порядок доказательства и решения задач, с помощью данного метода.

  2. С помощью метода математической индукции можно решать задачи разного типа: начиная с задач на делимость, и заканчивая геометрическими задачами.

  3. Знания о данном методе решения задач повышенной сложности существенно упрощает их и сокращает время, которое ученики затрачивают на решение.

  4. Данные знания необходимы ученикам, но из-за нехватки часов в школьной программе этот материал остается плохо изученным.

Заключение.

Перед началом исследования я задала себе такой вопрос: правда ли то, что с помощью метода математической индукции можно решить задачи повышенной сложности, не затратив на это много времени и получив при этом верный результат? Оказывается, правда! Индукция — это один из приёмов ис­следования, благодаря которому, знания отдельных фактов приводят к общим положениям. Метод математической индукции – это метод, основанный на принципе математической индукции. В поисках единого общего закона он позволяет нам исследовать гипотезы: утверждать или отбрасывать.

Метод математической индукции при решении многих типов задач: на суммирование, доказательстве тождеств, доказательстве и решении неравенств, решении вопроса делимости, при изучении свойств числовых последовательностей, при решении геометрических задач и т. д.

В проведенной нами работе гипотеза о том что, метод математической индукции – это наиболее эффективный и верный способ решения задач повышенной сложности, нашла свое подтверждение.

Литература по данной теме:

1. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа: Метод. рекомендации и дидакт. материалы: Пособие для учителя /. – 3-е изд. дораб. – М. : Просвещение, 1997. – С.11-17.

2. Баданин А. С., Сизова М. Ю. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел // Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 84-86.

3. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре: учеб. пособие для 8 – 9 кл. с углубл. изучением математики/ – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2006. – С.183-185.

Сайты:

  1. http://school10.angarsk.info/mat_induction.html

  1. http://yun.moluch.ru/archive/2/128/

  1. http://www.studfiles.ru/preview/3220178/

  1. http://studopedia.ru/11_106366_metod-matematicheskoy-induktsii.html

  1. http://deoma-cmd.ru/files/sets/Algebra/Математическая%20индукция.pdf