IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ФИГУРЫ C ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА
Прохоров Н.И.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


ВВЕДЕНИЕ

Площадь – это величина, характеризующая размер геометрической фигуры. Объект исследования – интегральное исчисление, предмет исследования – площади фигур, заданных графиками функций.

В математическом анализе изучаются свойства функций, а затем они применяются при решении уравнений или неравенств, как например, четность. Появилась гипотеза: можно ли, например, это свойство применять при интегрировании. Цель исследования: овладеть практическими навыками, техническими приёмами, которые потребуются для вычисления площадей фигур, заданных пересечением графиков функций с помощью определенного интеграла. Задачи исследования:1. Ознакомить с различными формулами вычисления площадей геометрических фигур.2.Ознакомить с понятием определённого интеграла, свойствами интеграла, а также свойствами функций, упрощающими вычисления площадей фигур, задаваемых графиками различных функций.

3. Убедить в том, что свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.4.Составить банк задач на предмет исследования, вычислить площади фигур, задаваемых на системе координат, различными способами. Выявить слабые и сильные стороны этих способов.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е..

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. так как,.

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

При определении первообразных следует обратить внимание на свойства функции, первообразная которой ищется. Так, если функция непрерывна на числовом промежутке, то и её первообразная непрерывна. При этом задача Коши решается однозначно. Если функция терпит разрыв в некоторой точке, то и её первообразная определяется на каждом промежутке непрерывности, и для решения задачи Коши требуется задать условия на каждом из интервалов непрерывности. При решении задач, связанных с определенным интегралом и нахождением площадей, стоит обратить внимание на различные приёмы вычисления определённого интеграла:

1). С применением свойств чётной и нечётной функций:, если функция нечётная: , если функция чётная.

2). Используя геометрические соображения, исходя из того, что если и на , то есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

3). Если в указанном случае интеграл известен и функция имеет обратную на , то содержащий обратную функцию соответствующий интеграл также может быть найден из геометрических соображений. Так, например, чтобы найти , нужно, рассмотрев соответствующий рисунок, вычислить

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задача №1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Решение. 1 способ.1. Построим графики функций (Рис. 1)

Рис. 1

2. Учитывая чётность заданных функций, а также раскрывая знак модуля при , вычислим площадь фигуры:

2 способ. Используя данные рис. 2, вычислим площадь фигуры, применяя формулу площади прямоугольного треугольника:

Рис. 2

Ответ:

Задача №2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Решение.1 способ. 1.Построим графики функций(Рис. 3)

Рис. 3

Так как , то

2 способ. 1. Для простоты вычисления выполним построения графиков функций и (Рис. 4)

Рис. 4

  1. Нетрудно заметить, что , поэтому

3 способ.

Ответ:

Задача №3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой, проходящей через точки .

Решение. 1 способ. 1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки .

  1. Найдём координаты точек пересечения графиков данных функций:

Итак, графики пересеклись в точках .

  1. Построим графики функций , . (Рис. 5)

  2. Заметим, что , если(Рис. 6):

Рис. 6

  1. Вычислим площадь заштрихованной фигуры:

Рис. 5

2 способ. Используем рис. 7 для вычисления площади заштрихованной фигуры:

Рис. 7

Ответ:

Задача №4. Найти площадь заштрихованной фигуры, по заданному рисунку 6, если прямая проходит через точки .

Решение.1 способ.1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки .

  1. Найдём координаты точек пересечения графиков данных функций:

Рис. 6

  1. Заметим, что , если, поэтому .

  2. Вычислим площадь заштрихованной фигуры:

2 способ. Воспользуемся данными рисунка 7 для вычисления площади фигуры:

Рис. 7

Ответ:

Задача №5.Найти площадь заштрихованной фигуры, изображённой на Рис. 8:

Рис. 8

Решение. 1 способ. 1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки .

  1. Вычислим площадь заданной фигуры:

2 способ. Используя дополнительные построения (Рис. 9), вычислим площадь искомой фигуры:

Рис. 9

Ответ:

Задача №6. Найти площадь заштрихованной фигуры, изображённой на Рис. 10:

Рис. 9

Решение. 1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки

  1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки

  1. Вычислим площадь заданной фигуры:

2 способ. Вычислим площадь фигуры, используя площади трапеции и треугольника, учитывая данные рис. 10:

Рис. 10

Ответ:

Задача №7. Найти площадь заштрихованной фигуры, изображённой на Рис.11:

Решение.1 способ. 1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки

Рис. 11

2.Найдём точки пересечения графиков заданных функций:

3.Определим знаки выражения на координатной прямой (Рис. 12):

Рис. 12

Значит, на отрезке

4.Вычислим площадь заданной фигуры:

2 способ. Используем данные рис. 13

Рис. 13

Ответ:

Задача №8. Найти площадь заштрихованной фигуры, изображённой на Рис.14:

Рис. 14

Решение. 1 способ.1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки

2.Вычислим площадь заданной фигуры:

2 способ. Для удобства вычисления построим графики функций и(Рис. 15):

Рис. 15

Ответ:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе применялись общенаучные методы исследования, а также метод эмпирического уровня: наблюдение, сравнение, анализ (анализ подынтегральных функций). В ходе исследовательской работы был проведен эмпирический метод и при вычислениях площадей фигур, и при проведении эксперимента. Эксперимент в 11 классе (25 респондентов, возраст 16-17 лет): респондентам предложили по заданным рисункам вычислить площади заштрихованных фигур. В среднем время, затраченное на его решение, составило 25 минут, при этом с ним справились 80% респондентов, остальные допустили вычислительные ошибки (12%) или неверно применили формулу для интегрирования (8%). После объяснения решения подобного типа задания с помощью свойства четной функции респондентам снова предложили вернуться к первому заданию. В этот раз время решения составило 15 минут, справились с работой 95%, остальные допустили вычислительные ошибки.

Таблица 1 указывает на то, какие способы, свойства и приёмы использовались при решении задач нахождения площадей фигур.

Способы решения, свойства

№ задачи

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

№8

Чётность заданных функций

+/Р

             

Использование формулы площади геометрической фигуры

+/Р

 

+/Р

+/Р

+/Р

+/Р

+/Р

 

Использование свойства площадей равных фигур

+/Р

+/Р

 

+/Р

       

Использование свойства площадей равных фигур и функций, противоположных по знаку

 

+/Р

         

+/Р

Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций

 

+/Р

+/Р

     

+/Р

 

Использование понятия модуля для вычисления площадей фигур

   

+/Н

+/Н

+/Р

+/Н

+/Н

+/Н

Разбиение фигуры на части и нахождение площадей полученных частей

+/Р

 

+/Р

+/Р

+/Р

+/Р

+/Р

 

Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям

         

+/Р

+/Р

 

Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла

             

+/Р

Таблица 1

Наиболее часто используемые приём и свойства, применяемые при нахождении площади фигуры, - это разбиение фигуры на части и нахождение площадей полученных частей; использование формулы площади геометрической фигуры. Они являются рациональными для большинства задач.

Использование понятия модуля для вычисления площадей фигур можно считать универсальным, однако, возникают трудности при раскрытии знака модуля.

К задаче №7 было применено наибольшее число свойств и приёмов, при этом вводился параметр как значение абсциссы, который использовался в свойстве: если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям.

Практика показала, что чем больше задач решено по выбранной теме исследований, тем проще ориентироваться при выборе тех или иных способов решения.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Постановка задачи Коши. - Режим доступа: http://lektsii.org›13-73617.html/ (дата обращения 26.06.2017)

  2. Математика в школе №4, 1992. С. 25-27

  3. Свойства определённого интеграла - Режим доступа:StudFiles.ru›preview/6014081/page:6/(дата обращения 7.07.2017)