IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

МАЛОИЗВЕСТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПЛАНИМЕТРИИ
Хворов И.И.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


1.Гипотеза, актуальность, цель, задачи проекта, объект и предмет исследований, результаты

Цель: Выявить, доказать малоизвестные теоремы, свойства геометрии.

Задачи исследования:

1. Изучить учебную и справочную литературу.

2.Собрать малоизвестный теоретический материал, необходимый для решения планиметрических задач.

3.Разобраться в доказательствах малоизвестных теорем и свойств.

4. Найти и решить задачи КИМов ЕГЭ, на применение этих малоизвестных теорем и свойств.

Актуальность: В ЕГЭ в заданиях по математике, часто встречаются задачи по геометрии, решение, которых вызывают некоторые затруднения, и заставляют тратить много времени. Умение решать такие задачи является неотъемлемым условием успешной сдачи ЕГЭ профильного уровня по математике. Но есть решение этой проблемы, некоторые из данных задач можно с лёгкостью решить, используя теоремы, свойства, которые являются малоизвестными, и им не уделяется внимание в школьном курсе математики. На мой взгляд, этим можно объяснить мой интерес к теме исследования и её актуальность.

Объект исследования: геометрические задачи КИМов ЕГЭ.

Предмет исследования: малоизвестные теоремы и свойства планиметрии.

Гипотеза: Существуют малоизвестные теоремы и свойства геометрии, знание которых облегчит решение некоторых планиметрических задач КИМов ЕГЭ.

Методы исследования:

1)Теоретический анализ и поиск информации о малоизвестных теоремах и свойствах;

2)Доказательство теорем и свойств

3)Поиск и решение задач с применением данных теорем и свойств

2.Введение

В математике, а в целом в геометрии присутствует огромное количество различных теорем, свойств. Известно много теорем и свойств для решения планиметрических задач, которые актуальны и по сей день, но являются малоизвестными, и очень полезными для решения задач. При изучение данного предмета усваиваются лишь основные, всеми известные теоремы и способы решения геометрических задач. Но помимо этого существует довольно большое количество различных свойств и теорем, которые упрощают решение той, или иной задачи, но мало кто про них знает вообще. В КИМах ЕГЭ решать задачи по геометрии можно в разы проще, зная эти малоизвестные свойства и теоремы. В КИМах задачи по геометрии встречаются в номерах в 8, 13,15 и 16. Малоизвестные теоремы и свойсва, описанные в моей работе, упрощают в разы решение планиметрических задач.

3. Теорема о биссектрисе углов треугольника.

Теорема: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник АВС и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке М продолжением стороны АВ. Так как ВК – биссектриса угла АВС, то ∠АВК=∠КВС. Далее, ∠АВК=∠ВМС, как соответственные углы при параллельных прямых, и ∠КВС=∠ВСМ, как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда ∠ВСМ=∠ВМС, и поэтому треугольник ВМС – равнобедренный, откуда ВС=ВМ. По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем АК: КС=АВ: ВМ=АВ: ВС, что и требовалось доказать.

Рассмотрим задачи, при решении которых используется свойство биссектрис треугольника.

Задача №1.В треугольнике ABC биссектриса AH делит сторону BC на отрезки, длины которых равны 28 и 12. Найдите периметр треугольника ABC, если AB – AC =18.

Дано:

AВС-треугольник

АH- биссектриса

BH=28

HC=12

Найти: P

Решение:

Пусть AC=X тогда AB= X+18

По свойству биссектрисы угла альфа,AB·HC=BH·AC;

28·X=12·(х+18)х=13,5,значит AC=13,5, откудаAB=13,5 +18=31,5BC=28+12=40, тогдаP=AB+BC+AC=85

Ответ: 8

4.Теорема о медианах треугольника.

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство. В треугольнике A BC проведем медианы AA1 и CC1 и их точку пересечения обозначим M.

Через точку C1 проведем прямую, параллельную AA1 и ее точку пересечения с BC обозначим D.

Тогда D – середина BA1, следовательно, CA1:A1D = 2:1.

По теореме Фалеса, CM:MC1 = 2:1. Таким образом, медиана AA1 пересекает медиану CC1 в точке M, делящей медиану CC1 в отношении 2:1.

Аналогично, медиана BB1 пересекает медиану CC1 в точке, делящей медиану CC1 в отношении 2:1, т.е. точке M.

Рассмотрим примеры решения задач.

Задача №1.Докажите, что медиана треугольника лежит ближе к большей стороне, т.е. если в треугольнике ABC,AC>BC, то для медианы CC1 выполняется неравенство ACC1< BCC1.

Решение.

Продолжим медиану CC1и отложим отрезок C1B, равный AC1. Треугольник AC1D равен треугольнику BC1C по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AD = BC, ADC1= BCC1. В треугольнике ACD AC> AD. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то ADC1>ACD. Следовательно, выполняется неравенство ACC1