IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Ткаченко Г.Р.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


ВВЕДЕНИЕ

В школьном курсе алгебры решаются уравнения второго порядка, а также биквадратные уравнения. Некоторые уравнения решаются способом замены переменной или целого выражения, входящего в уравнение. Однако существуют уравнения высших порядков, к которым эти способы не применимы. Появилась гипотеза: существует способырешения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям, которые расширят множество способов, изучаемых в школьной программе.

Объект исследования - алгебра, предмет исследования – методы решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям.

Цель: убедиться в том, что существуют способы решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям, основанные на законах алгебры.

Задачи:

  1. Применять метод выделения квадрата двучлена при решении уравнения.

  2. Убедить в том, чтознание формул сокращенного умножения позволяет решить уравнения, приведением их к виду квадратных уравнений.

  3. При возможности решить уравнение несколькими способами и сравнить эти способы.

  4. Распространить приобретенный опыт в решении уравнений с помощью формул сокращённого умножения среди учащихся среднего и старшего звена лицея.

ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Некоторые уравнения удаётся решить, используя метод введения новой переменной. Уравнение вида называют биквадратными. Биквадратное уравнение можно решить, используя подстановку . Подсказкой для такой подстановки является само уравнение.

В некоторых других случаях уравнения также удаётся решить с помощью введения новой переменной, но найти подстановку бывает сложнее.

Решим уравнение

Если записать его в стандартном виде, то получится уравнение: для которого трудно найти какой-либо способ решения.

Поступим иначе. Заменим многочленом произведение первого и четвертого множителей, а также второго и третьего. Получим:

В левой части дважды встречается выражение , причём переменная ни в какое другое выражение не входит. Введём новую переменную . Тогда уравнение сводится к уравнению с переменной :

Упростив его, получим:

Решив это уравнение, найдём

Подставив найденные значения в равенство :

или

Уравнение не имеет корней, а уравнение имеет два корня: -3,5 и 1,5.

Ответ: -3,5; 1,5.

ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ

СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Рассмотрим уравнения, которые решаются с помощью «достраивания» до квадрата двучлена.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

1 способ.2 способ.

Пусть

Тогда получаем уравнение:

Возвращаясь к подстановке, решая уравнения

Получаем решения исходного уравнения:

Ответ:

Первый способ решения является рациональным.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

Решение.

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение.

1 способ.

2 способ.

Пусть

Тогда

Значит,

Ответ:

Последнее уравнение можно было привести к квадратному уравнению относительно второго множителя. Стоит отметить, что второй способ, рассматриваемый в школьном учебнике более рационален.

Пример 6. Решить уравнение

Решение.

Ответ:

Рассмотрим уравнения, которые решаются путём деления обеих частей уравнения на степень, при этом учитывается ОДЗ:

Пример 7. Решить уравнение

Решение.

После умножения крайних скобок и внутренних скобок, поделим обе части уравнения на одночлен

Ответ:

Пример 8. Решить уравнение

Решение.

Поделим обе части уравнения на одночлен

Ответ:

Пример 9. Решить уравнение

Решение.

Поделим обе части уравнения на одночлен

Ответ:

Пример 10. Решить уравнение

Решение.

Поделим обе части уравнения на одночлен

Ответ:

Пример 11. Решить уравнение

Решение.

Поделим обе части уравнения на одночлен

Ответ:

Рассмотрим уравнения, решаемые с помощью формулы сокращенного умножения разность/сумма кубов и разложения на множители.

Пример 12. Решить уравнение

Решение.

Ответ:

Пример 13. Решить уравнение

Решение.

Ответ:

Далее уравнения будут решены с помощью формулы разность квадратов двух выражений.

Пример 14. Решить уравнение

Решение.

Ответ: .

Пример 15. Решить уравнение

Решение.

Ответ:

Пример 16. Решить уравнение

Решение.

Ответ:

Уравнения будут решены с помощью приведения к сумме квадратов выражений.

Пример 17. Решить уравнение

Решение.

Ответ:

Пример 18. Решить уравнение

Решение.

Ответ:

Пример 19. Решить уравнение

Решение.

Ответ:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Алгоритм решения квадратных уравнений прост и понятен и используется практически во многих примерах и задачах. Однако, трудно об этом говорить, имея уравнения третьей, четвертой и более высоких степеней. В тех из них, где можно привести к виду квадратного уравнения следует тщательно потрудиться. Во многих случаях это приводит к нахождению решения уравнения.

Уравнения были решены с помощью формул сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы/разности двух выражений, сумма/разность кубов двух выражений, а также в отдельных случаях применялась сумма квадратов и деление обеих частей уравнения на одночлен

Из рассмотренных в работе уравнений только два удалось решить двумя способами, причем в одном случае рациональным оказался способ с применением формулы сокращенного умножения, а во втором - традиционный способ замены переменной. Еще раз убеждаемся в том, что знание формул сокращенного умножения позволяет решать многие разнообразные по виду уравнения, содержащие и радикалы, и знак модуля и степени переменной выше второй.

В ходе учебного занятия кружка 8 класса «Решение уравнений» после представления наработанного материала были предложены для решения следующие уравнения:

1 уравнение выбрали и решили вышеуказанным способом 26% респондентов (33 учащихся, возраст 14-17 лет), 2 – выбрали 30%, но пришли к верному ответу 12%, последнее уравнение решили правильно 34% оставшихся учащихся. Стоит отметить, что учащиеся 10 класса (12 учащихся) решали третье уравнение D-методом, который изучали на элективном курсе.

Занятие показало актуальность выбранной темы исследования, так как уравнения решаются не только на уроках математики, но и на уроках других предметов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1.Алгебра, 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк., К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов – Москва: Мнемозина, 2010. – 384 с.