IV Международный конкурс
научно-исследовательских и творческих работ учащихся
«СТАРТ В НАУКЕ»
 
     

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ ПРИ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Кудачкин Д.В.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


Цели работы:

- решить некоторые типы тригонометрических задач нетрадиционным геометрическим способом;

В работе были поставлены следующие задачи:

- расширение математического кругозора;

- развитие творческих способностей;

- приобретение навыков работы с научной литературой;

- осознание разнообразия окружающего нас мира;

- выработка умения ставить перед собой творческие задачи и искать пути их решения.

При изучении наук примеры

столь же поучительны,

сколь и правила.

Исаак Ньютон

Введение

Тригонометрия - один из важнейших разделов математики. В работе представлен оригинальный нетрадиционный подход к решению некоторых тригонометрических задач. Мне удалось показать интересные решения некоторых тригонометрических задач и проявить при этом смекалку и эрудицию. Работа носит творческий и исследовательский характер, открывает возможности решения известных задач новыми нешкольными методами. Большое место в работе занимает экскурс в историю тригонометрии, знакомство со становлением и развитием этой науки. Но главное внимание уделено собственному решению тригонометрических задач и осмыслению тесной связи между разными разделами математики.

Даже при первоначальном знакомстве с тригонометрией обращает на себя внимание тот факт, что этот предмет тесно связан с геометрией. Однако в школьной программе нет разделов, иллюстрирующих возможность решения задач тригонометрии геометрическими способами. Тем не менее, в некоторых случаях применение геометрического способа решения оказывается эффективным, а иногда и предпочтительным. Данная работа является иллюстрацией возможности решать тригонометрические задачи с использованием геометрии и имеет большую практическую значимость, так как ее результаты используются на уроках математики, занятиях математического кружка и элективных курсах, а так же при подготовке к ЕГЭ. Работа состоит из 2-х разделов. Первый раздел содержит краткий обзор развития тригонометрии. Во втором приведены решения некоторых тригонометрических задач с использованием геометрии.

1. Краткий исторический обзор развития тригонометрии

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю). В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников. История тригонометрии неразрывно связана с астрономией, ведь именно для решения задач этой науки древние ученые стали исследовать соотношения различных величин в треугольнике. Сам термин, давший название этому разделу математики, впервые был обнаружен в заголовке книги под авторством немецкого ученого-математика Питискуса в 1505 году. Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

История тригонометрии началась более двух тысячелетий назад. Первоначально ее возникновение было связано с необходимостью выяснения соотношений углов и сторон треугольника. В процессе исследований выяснилось, что математическое выражение данных соотношений требует введения особых тригонометрических функций, которые первоначально оформлялись как числовые таблицы.

Для многих смежных с математикой наук толчком к развитию стала именно история тригонометрии. Происхождение единиц измерения углов (градусов), связанное с исследованиями ученых Древнего Вавилона, опирается на шестидесятиричную систему исчисления, которая дала начала современной десятиричной, применяемой во многих прикладных науках. Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10 минут с точностью до . Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус , например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной , или как хорда удвоенной дуги.

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Половину хорды, стягивающей центральный угол 2, он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cos = sin( 90° - )). Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абуль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. Название «тангенс», происходит от латинского tanger (касаться). Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности). Термины «тангенс» (от лат. Tangens - касающийся) и «секанс» (лат. Secans - секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770. Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. факты, которые сейчас сформулированы в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики в древности удачно справлялись с поставленными задачами.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783), членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях. Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

Тригонометрия является одним из важнейших разделов математики и изучается в школе, начиная с восьмого класса.

2. Решение некоторых типов тригонометрических задач геометрическим способом

Известно, что основные тригонометрические тождества и формулы приведения выведены с использованием теорем геометрии: теоремы Пифагора, признаков равенства треугольников, признаков подобия треугольников и других теорем.

В основе идеи применения геометрии при решении тригонометрических задач лежит то обстоятельство, что тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x определяются при непосредственном участии геометрии.

Ниже приводятся примеры, иллюстрирующие возможность решать тригонометрические задачи с использованием геометрии.

2.1. Простейшие примеры

Вычисление значений тригонометрических функций по заданному значению одной из них геометрическим способом без применения формул основных тригонометрических тождеств. Такие вычисления можно выполнять для углов любой четверти.

2.1.1. Дано: , 0°≤ α ≤ 90°

Найти cos α, tg α.

Тригонометрическое решение:

Т. к. α принадлежит I четверти, то cos α > 0.

.

.

Ответ: , .

Геометрическое решение:

Т. к. , то пусть противолежащий углу α катет равен 3а, где а – отрезок единичной длины, тогда гипотенуза равна 4а. По теореме Пифагора найдём второй катет:

.

Значит, ,

.

Ответ: , .

2.1.2. Дано: , 180° < α < 270°.

Найти sin α, tg α, ctg α.

Тригонометрическое решение:

Т. к. α принадлежит III четверти, то , , .

.

.

Ответ: ; ; .

Геометрическое решение:

Вычислим значение , , и для случая, когда угол α – острый, а знак выражения , , и определим в соответствии с четвертью, которой угол α принадлежит.

Т. к. , то пусть прилежащий к углу α катет будет равен 3а, где а – отрезок единичной длины, тогда гипотенуза равна 5а. По теореме Пифагора найдём второй катет

.

Тогда ,

.

С учётом того, что α принадлежит третьей четверти, имеем , , .

Ответ: sin , , .

2.1.3. Вычислить .

Тригонометрическое решение:

Геометрическое решение:

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, причем АВ=СВ, .

Проведём в ΔАВС высоты АD и BE.

В ΔАСD ,

Если , то и ,

тогда ,

.

Ответ:

2.2. Более сложные примеры

2.2.1. Решить уравнение .

Тригонометрическое решение:

Разделим левую и правую часть уравнения на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при и , т. е. на

.

Заметим, что, т. е. ;

, где n принадлежит Ζ,

,

, k принадлежит Ζ.

 + 2πm, m принадлежит Ζ,

, l принадлежит Ζ.

Геометрическое решение:

,

.

Следовательно, . Но в треугольнике АВС каждая сторона больше разности двух других сторон, т. е. , т. к. . Но по условию задачи требуется, чтобы . Это возможно только, если треугольник АВС превратится в отрезок, т.е. надо рассмотреть два случая:

  1. если , а , т.е. , , где k принадлежит Ζ

  2. если , а , т.е. , где lпринадлежит Ζ

Ответ: ; , где k, l принадлежат Ζ.

2.2.2. Решить уравнение:

Тригонометрическое решение:

Разделим обе части уравнения на :

, где n принадлежит Ζ.

Геометрическое решение:

Треугольник ОАВ равнобедренный.

или

Т.е. , где n принадлежит Ζ.

Ответ: , где n принадлежит Ζ.

2.2.3. Решить уравнение: .

Тригонометрическое решение:

Воспользуемся формулой .

,

,

, , где n принадлежит Ζ

, , где n принадлежит Ζ.

Геометрическое решение:

.

Из треугольника АВС:

,

.

Для любого значения угла xот до 90° в треугольнике АВС . Равенство возможно только для  и . Следовательно, , , где n принадлежит Ζ.

Ответ: ; , где n принадлежит Ζ.

2.2.4. Решить уравнение: , где

Тригонометрическое решение:

Воспользуемся формулой:

Тогда

Геометрическое решение:

(1)

Из треугольника АВС:

,

.

Пусть , значит . Но из уравнения (1) , значит

По теореме Пифагора из треугольника АВС:

,

,

,

,

,

Так как угол х принадлежит I четверти, то , то есть z>0, поэтому подходит только один корень .

,

.

Покажем, что ответы тригонометрического и геометрического решения совпадают:

,

,

,

, ч.т.д.

Ответ:

Заключение

Выполненная работа носит характер иллюстрации и и не претендует на выработку каких - либо рекомендаций, т. к. не содержит необходимого для этого количественного ученического опыта.

В работе представлен оригинальный нетрадиционный подход к решению некоторых тригонометрических задач, что, безусловно, вызывает интерес. На мой взгляд, мне удалось привести красивые решения некоторых тригонометрических задач и проявить при этом смекалку и эрудицию.

Работа носит творческий и исследовательский характер, открывает возможности решения известных задач новыми нешкольными методами. Большое место в работе занимает экскурс в историю тригонометрии, знакомство со становлением и развитием этой науки. Но главное внимание уделено собственному решению тригонометрических задач и осмыслению тесной связи между разными разделами математики.

Как известно, решение задачи различными способами (а в данном случае геометрический способ – принципиально другой способ решения) является эффективным методом развития творческих способностей. Это и есть главная цель данной работы.

Литература

1. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. Б. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов. Москва, «Просвещение», 2009.

2. Д. Пойа. Как решать задачу. Москва, «Просвещение», 2006.

3. Р. Курант, Г. Раббинс. Что такое математика? Москва, «Просвещение», 2008.

4. А. Ф. Бермант, Л. А. Люстерник. Тригонометрия. Москва, 1957.

5. Г. Н. Глейзер. История математики в школе. 9 – 10 классы, Москва, «Просвещение», 1983.

6. Г. Н. Глейзер. История математики в школе. 7 – 8 классы, Москва, «Просвещение», 1983.

7. П. С. Моденов. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. Москва, «Высшая школа», 1960.