Исследование одного иррационального уравнения

XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Исследование одного иррационального уравнения

Русских П.Р. 1
1МБОУ «Балезинская СОШ № 1», 11 класс
Проценко Д.Р. 1
1МБОУ «Балезинская СОШ № 1», 11 класс
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Принимая участие в конференции старшеклассников в городе Глазов, меня заинтересовало выступление доцента кафедры математики и информатики ФГБОУ ВО «Глазовский педагогический институт им. В.Г.Короленко», кандидата педагогических наук Чупраковой О.Н., в котором она продемонстрировала несколько способов решения иррационального уравнения . Мой руководитель поставил передо мной следующую цель: выявить закономерности в структуре уравнения в зависимости от количества слагаемых, входящих в уравнении, и от целого числа присутствующего в правой части уравнения.

Основными задачами поставленной цели стали:

  1. Пользуясь дополнительной литературой по математике, найти и изучить способы и методы решения иррациональных уравнений.

  2. Исследовать данное иррациональное уравнение, решив его разными способами.

  3. Выявить и применить при решении более сложных иррациональных уравнений наиболее рациональные способы и методы их решения.

  4. Составить и решить иррациональные уравнения нетрадиционного метода решения.

1.Основная часть

Первая часть

В своей работе я придерживаюсь следующего определения иррационального уравнения: уравнение с одной переменной называют, иррациональны, если хотя бы одно из функций содержит переменную под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных исходя из условий, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

Прежде чем решить указанное уравнение несколькими способами с целью дальнейшего исследования, составим несколько уравнений, по структуре похожих на исходное уравнение:

Решив данные уравнения, я убедилась, что все они имеют единственный ответ x=0.

Методы решения иррациональных уравнений.

1. Метод возведения обеих частей в одну и ту же степень.

2. Метод с использованием классических числовых неравенств (неравенство между средним квадратным и средним арифметическим).

Проведем замену переменных следующим образом:

Очевидно, что

Составим среднее арифметическое этих двух неотрицательных величин:

Таким образом, эти средние величины равны между собой. Известна теория о том, что две известные средние неотрицательные величины (в данном случае a и b) равны между собой только в том случае, когда сами эти величины равны между собой.

3. Метод использования свойств функции.

Введем функцию f(x):

Выясним, как ведет себя функция на найденной области определения D(f).

Для этого найдем её первую производную:

 

y

, функция убывает.

 

y = f(x)

 

y = 2

 

2

 

0

x

4. Метод с использованием классического неравенства (неравенства Бернулли)

Неравенство Бернулли в общем виде:

С учетом этого, для каждого слагаемого левой части неравенства составим неравенство Бернулли, предварительно расписав каждое подкоренное выражение левой части уравнения в виде степени с дробным показателем.

Почленно прибавим каждое неравенство, входящее в данную систему:

+

Т.к. в исходном уравнении сумма двух корней равняется двум,

Это значит, что такой результат, являющийся следствием двух неравенств Бернулли, возможен только в том случае, когда два подкоренных выражения, входящих в заданное уравнение, раны между собой. Т.е. выполняется равенство:

Вторая часть

Иррациональные уравнения нетрадиционного метода решения.

В процессе исследования мне удалось составить и решить 6 следующих уравнений, которые по праву можно отнести к олимпиадным, для решения которых я использовала нетрадиционные методы решения.

Решение 6 уравнений.

Прежде чем оформить решение этих задач, я выяснила, что уравнение такого вида не решаются многочисленными способами, как уравнения из первой части. Но такой способ нашелся, основанный на классическом неравенстве, связывающим среднее арифметическое и среднее квадратных чисел. При этом необходимо иметь в виду, что знак равенства в этом неравенстве лишь в том случае, если числа равны между собой.

Прежде чем решить уравнение этим методом, запишем их в общем виде и обозначим среднее арифметическое за А, а среднее квадратное за К.

1 уравнение:

2 уравнение:

3 уравнение:

4 уравнение:

5 уравнение:

6 уравнение:

Заключение

Таким образом, исходя из вышесказанного, можно сказать, что мы добились поставленных целей и задач:

  1. Исследовали иррациональные уравнения с двумя радикалами, решили их 5-ю разными способам.

  2. Усложнили данное уравнение, увеличивая его левые части количество радикалов (квадратных корней).

  3. Из этих новых уравнений 6 решила способом, основанном на классическом неравенстве, связывающем среднее арифметическое и среднее квадратное.

  4. Выяснила, какие из этих 5-и способов решения уравнений наиболее рациональные и эффективные.

  5. Составила ещё несколько иррациональных уравнений, которые успешно решаются лишь данным эффективным способом.

  6. Решила эти уравнения данным эффективным способом.

Список используемой литературы

  1. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала анализа 2013г.

  2. Егоров, А.И. Иррациональные неравенства 2012г.

  3. Егоров, А.А. Иррациональные уравнения 2012г.

  4. Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике 2013г.

Просмотров работы: 46