МАТЕМАТИКА + МУЗЫКА = УСПЕХ

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

МАТЕМАТИКА + МУЗЫКА = УСПЕХ

Пересецкая В.И. 1
1МОУ ИТЛ №24 им. Е.А. Варшавского
Лаптева Т.П. 1
1МОУ ИТЛ №24 им. Е.А. Варшавского
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Я учусь в 5 «А» классе лицея №24. Мне нравятся многие школьные предметы, но одним из самых интересных, хоть многим и нелегко дающихся, является математика – царица всех наук. Как же здорово иногда поломать голову над задачками и головоломками! Математические знания для меня нужны и важны, так как я собираюсь продолжить обучение в нашем лицее.

А ещё я учусь в музыкальной школе, и музыка – это моё самое любимое увлечение. Порой мне кажется, что она каким - то образом помогает мне в изучении математики, и наоборот, математика помогает мне быстрее и успешнее развиваться в музыке.

Какая связь может быть между математикой, мудрой царицей всех наук, и музыкой? И сегодня в моей работе, я предлагаю вам найти ответы на эти вопросы.

Если вспомнить слова знакомой всем песенки:

Дважды два – четыре,

Дважды два – четыре,

А не три, а не пять,

Это надо знать! ….

(сл. М. Пляцковского),

то с помощью её можно легко запомнить некоторую часть таблицы умножения. Может занятия музыкой помогают изучению математики?

Так возникла тема моего исследования: «Математика + музыка = успех».

Целью моей работы является доказательства того, что математика и музыка тесно связаны, в них есть очень много общего. И если «математика ум в порядок приводит», то музыка воспитывает уважение к числу, формирует нравственные качества человека, помогает более тонко чувствовать окружающий мир.

Задачи, которые я поставила перед собой, это:

  • найти общие понятия для музыки и математики;

  • проанализировать запись музыкального произведения;

  • провести исследование по установлению связи между музыкой и математикой, рассмотрев музыкальное произведение, как математическую модель.

Я выдвинула гипотезу, что любое музыкальное произведение можно представить в виде математической модели.

В ходе работы использовала следующие методы исследования: поисковый, сравнение, анализ, обобщение.

Актуальность темы. На сегодняшний день музыка и математика – родные сёстры, они созданы и помогают друг другу. Приучают к дисциплине, развивают эрудицию, творческие способности, внимание.

  1. Основная часть

  1.  

    1. История связи музыки и математики

Музыка существует на земле тысячи лет. Изобретение музыки нельзя приписать никому так же, как нельзя приписать кому-либо изобретение человеческой речи. Еще в древности было сложено множество интересных легенд о том, как возникла музыка. Древние греки считали её великим даром богов. Бог Аполлон был у них покровителем искусства, и особенно музыки. Его обычно изображали с музыкальным инструментом в руках.

При первобытном строе, музыка играла очень важную роль. Матери, напевая, укачивали детей, воины устрашали врагов воинственными песнями – кличами, пастухи протяжными зовами собирали стада. Если из племени кто-то умирал, то его провожали песней-плачем.

В своих трудах учёные неоднократно делали попытки представить музыку, как некую математическую модель.

Одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор(2).

Он создал свою школу мудрости, положив в её основу два предмета - музыку и математику.

Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба

этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Он придумал гамму из восьми звуков – это самая древняя музыкальная гамма. Взятая за основу Пифагорова гамма, в дальнейшем усовершенствовалась появился темперированный строй, состоящий из 12 нот, включая диезы и бемоли.

Нужно отметить, что ученики Пифагора проводили занятия математикой под музыку, так как заметили, что она благотворно влияет на ум.

Позже в своих трудах учёные неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Примером этого служит цитата из работы Леонарда Эйлера "Диссертация о звуке", написанная в 1727 году. "Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований всё, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков".

Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: "Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать". На что Гольдбах ему отвечает: "Музыка - это проявление скрытой математики".

  1.  

    1. Средневековое понимание цифр в музыке

При знакомстве с музыкальной эстетикой средневековья необходимо иметь в виду, что в то время музыка понималась не как искусство, a как наука.

Известно, что музыка входила в состав семи "свободных искусств", делившихся на "trivium" (грамматика, риторика, логика) и "quadrivium" (арифметика, геометрия, астрономия, музыка). Характерно, что музыка относилась именно к сфере математических знаний. Тем самым она признавалась одной из математических дисциплин, одной из отраслей математики. И как таковая она понималась, прежде всего, как наука о числах.

В IV-V веках в странах Западной Европы появляется обширная литература на латинском языке, посвященная теоретическим вопросам музыки. В это же время появляется трактат Августина(5) "О музыке", состоящий из шести книг, а в 430 году — книга Марциана Капеллы "О музыке". В период с 500 по 510 год пишет свои пять книг о музыке Боэций.

  1.  

    1. Общие элементы в математике и музыке

На первых уроках сольфеджио – это уроки музыкальной грамоты, ученики музыкальных школ сразу же сталкиваются с математикой.

В музыке всёсчитать надо, как и в математике:

  • 7 нот,

  • 5 линеек нотного стана,

  • интервалы, аккорды.

Символы в математике и в музыке неотделимы. В математике мы используем цифры, знаки действий и т.д., а в музыке ноты, с помощью которых создаётся музыка.

  1.  
    1.  

      1. Ритм

Окружающий нас мир полон ритмов. О чём говорит это слово?

Оглянитесь вокруг. Прислушайтесь. Ритмично звучат шаги: раз-два, левой – правой, ритмично наше дыхание, ритмично тиканье часов или стук колес проходящего поезда. Поэтому с ритмами мы встречаемся на каждом шагу в повседневной жизни: день сменяется ночью, зима – весной и т.д.

А в музыке ритм – это чередование долгих и коротких, одинаковых и разных по длительности звуков:

Ритм(1) – основа всего музыкального движения, порядок сочетания во времени всех элементов музыкальной речи: мелодии, гармонии и т.д.

В музыкальном произведении ритм обозначается цифрами, которые называются размером. Рассмотрим размер 3/4 и 2/4.

От правильно подобранного ритма зависит звучание мелодии.

Математика также заимствовала данное слово. Ритмы можно обнаружить и среди чисел. Вспомним ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5,… Ощущаете ритм? Его основа – каждое последующее число получается из предыдущего, если к нему прибавить единицу. В математике такая последовательность чисел называется арифметической прогрессией.

  1.  
    1.  

      1. Длительность

При записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность(1)).

Здесь и происходит сопоставление целого числа и целой длительности, дробного числа и длительности коротких нот, записываемых при помощи дроби.

Принцип построения длительностей соответствует принципу построения бесконечной убывающей геометрической прогрессии. И если записать длительности от «целой» ноты, (которая принята в музыке за единицу) по степени убывания, то получим: Каждый член прогрессии уменьшается в два раза.

Каждый ряд этой «нотной пирамиды» равен четырём долям. Это как пирог делится на 8 частей, так и целая нота делится на восемь восьмых.

Самая “длинная” нота – целая, если нажать клавишу пианино и начать про себя считать, то эта нота будет тянуться: раз – и – два – и – три – и – четыре – и.

С точки зрения математики целую ноту можно принять за единицу (1).

Нота вдвое короче называется половинной, она тянется: раз – и – два – и. Половинной ноте соответствует дробь .

В два раза короче половинной ноты – четвертная нота. Она тянется: раз – и. Ей соответствует дробь .

Восьмая нота тянется на раз или и - .

Шестнадцатая нота: на раз или и звучат две ноты - .

На основе этого можно построить математическую модель:

1 = = = =

Как мы видим, звуки тянутся неодинаково: есть звуки, которые длятся очень коротко, как будто строчит пулемёт, а есть звуки, которые, наоборот, тянутся очень долго – это часто бывает в конце песен. Вот для того, чтобы музыкант знал, сколько должна тянуться каждая нота, и решили по-разному обозначать длительности нот.

Иногда в процессе обучения музыке возникают небольшие трудности, и одной из них является счёт, то есть пока разучиваю новую, незнакомую пьесу, я должна вслух или про себя считать, чтобы понять мелодию.

Всякое музыкальное произведение состоит из тактов, разделённых вертикальными линиями.

Представьте себе лестницу в подъезде. Каждый пролёт её считаем тактом, каждую ступеньку – нотой или аккордом. Собственно размером, принято считать количество ступенек в каждом пролёте. Довольно просто, не так ли? Будучи основой музыкального ритма, размер содержит одинаковое количество нот-ступенек определенной длительности в каждом такте-пролете. Музыкальный размер указывается в начале произведения.

Размер 4/4 (четыре четверти) является самым простым и, одновременно, самым популярным во всех направлениях музыки. Две четверки означают, что длительность каждого такта равна длительности звучания четырёх четвертных нот. Как отсчитывать ритм, спросите вы? Ровными ударами в темпе конкретного музыкального произведения. В данном случае по четыре удара, например ногой по полу, на каждый такт.

  1.  
    1.  

      1. Параллели

В музыке, как и в математике, тоже есть понятие параллельности.

Прежде всего – это пять параллельных прямых, которые образуют нотный стан, на котором размещаются ноты, выше или ниже по отношению друг к другу. Этим они отличаются по звучанию. Измерить высоту нот как раз и помогают параллельные линейки.

В жизни мы часто наблюдаем параллельность – это рельсы, строки в книгах, капли дождя, брусья в гимнастике.

В музыке параллельные линии можно увидеть не только в нотах, но и во внешней форме некоторых музыкальных инструментов: струны арф или органные трубы.

Параллели можно обнаружить в самом звучании музыки. Сравните, что получится, если одна и та же мелодия будет исполнена различными голосами, то есть одновременно, в унисон будут петь 2 голоса. Например, женский голос будет звучать в верхнем регистре, а мужской – в нижнем.

Параллельно могут звучать голос и фортепианное сопровождение или какой-нибудь музыкальный инструмент (скрипка, флейта, виолончель) с фортепианным сопровождением.

Параллельно будут звучать голоса туристов при исполнении песен у костра, а может, и в хоре при условии исполнения произведений в унисон.

  1.  
    1.  

      1. Противоположности

Весь мир состоит из противоположностей.

В математике существуют множество противоположностей:

  • плюс – минус;

  • прямая – кривая;

  • чётное число – нечётное число;

  • больше – меньше;

  • сложение – вычитание

  • тупой и острый.

  • В музыке противоположности:

  • быстро – медленно;

  • громко – тихо;

  • короткое – длинное;

  • одноголосие – многоголосие;

  • вокальная музыка – инструментальная музыка.

  • Пара медленно – быстро играет весьма важную роль в музыке. Характер песни во многом определяется её темпом. И искажая темп, можно исказить и всё произведение.

  • Высокое – низкое. Это в большей степени относится к музыкальным инструментам. Высоким звучанием отличаются, например, флейта – пикколо, скрипка; низким – контрафагот, туба, контрабас.

  1.  
    1.  

      1. Симметрия в музыке

  • В музыке часто используется симметрия(6). Ряд музыкальных форм строятся симметрично. В этом отношении особенно характерно рондо (от французского - круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности, а эпизоды – в других тональностях. Это напоминает зеркальную симметрию, основная тема служит плоскостью, от которой как бы отражаются эпизоды. Но тот эпизод, который раньше прозвучал в высокой тональности, повторяется в низкой, и наоборот.

  • Простейшее – симметрия нотного стана.

  • Виды симметрии:

  • ракоходное отражение – зеркальный вид симметрии в геометрии. Отражённые ноты кажутся такими, какими они действительно выглядели бы в зеркале.

  • Примером этого является правописание нот в скрипичном и басовом ключах.

  • обращение интервала – это самый редкий встречающийся вид симметрии.

  • Обращение исходит из звуковой последовательности, которая испытывает

  • зеркальное отражение в плоскости.

  • ракоходное обращение – это когда в зеркальной части снова меняется направленность звукового ряда по высоте.

  • трансляционный вид – это самый распространённый вид симметрии в музыке. В этом случае музыкальная фраза повторяется, оставаясь неизменной. Но в

  • некоторых случаях возможна асимметрия, то есть отступление от оригинала, для красоты звучания.

  • секвенция – разновидность трансляции.

  • Многократное повторение небольшого мотива из разных ступеней лада, как в восходящем, так и в нисходящем направлении.

  • ракоходное обращение с зеркальным отражением – поворотно-зеркальный вид в геометрии. Нотный лист можно повернуть на 180°, но мелодия останется неизменной.

  1.  
    1.  

      1. Интервалы

  • Музыкальный интервал(5) — это расстояние по высоте между двумя звуками. Данное слово происходит от латинского intervallum – промежуток, расстояние.

  • Название интервалов в переводе на русский язык означает число.

  • Прима – один

  • Секунда – два

  • Терция – три

  • Кварта – четыре

  • Квинта – пять

  • Секста – шесть

  • Септима – семь

  • Октава – восемь

  • Нона – девять

  • Децима – десять

  • Ундецима – одиннадцать

  • Терцдецима – двенадцать

  • Квартдецима – четырнадцать

  • Квинтдецима – пятнадцать

  • Расстояние между звуками в музыке измеряется полутонами.Полутон – то ближайшее расстояние между двумя звуками, то есть два соседних звука.

  • Размеры интервалов до октавы:

  • Прима (ч1) = 0 тонов

  • Малая секунда (м2) = пол тона

  • Большая секунда (б2) = 1 тон

  • Малая терция (мЗ) = 1,5 тона

  • Большая терция (б3) = 2 тона

  • Кварта (ч4) = 2,5 тона

  • Тритон (ув4 или ум5) = 3 т

  • Квинта (ч5) = 3,5 тона

  • Малая секста (м6) = 4 тона

  • Большая секста (б6) = 4,5 тона

  • Малая септима (м7) = 5 тонов

  • Большая септима (б7) = 5,5

  • Октава (ч8) = 6 тонов

  • Интервалы бывают большие(б), малые(м), чистые(ч), увеличенные(ув), уменьшённые(ум).

  • Все интервалы взаимообратимы. Например, если написать секунду и перевернуть её на 180 градусов, получится септима. И так будет с каждым интервалом: прима-октава – секунда-септима, терция-секста – кварта-квинта.

  1.  
    1.  

      1. Вариации

  • Что такое вариации? Форма музыкального произведения, состоящего из нескольких частей, каждая из которой звучит с изменениями. Существуют 3 типа вариаций: мелодические, ритмические, гармонические. Композитор, разрабатывая избранную им тему, может варьировать её мелодический рисунок, видоизменять ритм и гармонию, т.е. созвучия. Разумеется, он может варьировать одновременно 2 или даже 3 элемента, с каждой вариацией все, более уходя от начальной темы.

  • Число можно определить и описать многими способами. Числа тоже можно задавать словами, иногда это даже удобнее, чем обычная цифровая запись и наоборот. 15 = 10 + 5 = 25 – 10 = = и т.д.

  1. Практическая часть

  • Провести исследование связи между музыкой и математикой я решила на примере украинской народной песни «Два весёлых гуся».

  • Проанализировав запись этого музыкального произведения, я заметила, что первая музыкальная фраза, состоящая из одного такта, повторяется два раза подряд. В третьем такте присутствует один из видов симметрии – секвенция – разновидность трансляционного вида симметрии, а также и сам трансляционный вид. Третий и четвёртый такты, как припев песни, повторяется также два раза. Размер произведения – .

  • ДВА ВЕСЁЛЫХ ГУСЯ

  • Украинская народная песня

  • Для записи песни «Два весёлых гуся» на математическом языке под каждой нотой песни я подписала дробь, значение которой соответствует длительности ноты. Складывая дроби, проверила, что их сумма в каждом такте равна заданному ритму – .

  • Запись песни с помощью дробей можно рассматривать как математическую модель музыкального произведения.

  • + + + + + + + + + +

  • + +

  • + +

  • + + + + + + + + + + + +

  • +

  • +

  1. Заключение

  • Выполняя работу, я убедилась, что музыка и математика тесно связаны друг с другом, в них есть много общего. Общие понятия - параллели, противоположности, симметрия построения. Существуют общие черты в использовании специальных символов для записи числа – цифры, а в музыке – ноты, целого числа и целой длительности, дробного числа и длительности коротких нот, записываемых при помощи дроби. Можно уверенно сделать вывод о том, что, не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея сравнивать их, невозможно было бы сыграть музыкальный фрагмент.

  • Анализ музыкального произведения подтвердил предположение об их симметричном построении.

  • Музыкальные и математические операции родственны и содержательно и психологически. Занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности.

  • В практической части своей работы я составила математическую модель музыкального произведения, записав его на языке дробей.

  • Я считаю, что цель моей работы достигнута, задачи выполнены, гипотеза доказана. Изучение данной темы, на мой взгляд, может быть продолжено, так как литературы о связи музыки и математики очень мало.

  • Сравнивая музыку и математику, я сделала вывод, что математика, как наука может развиваться без музыки, а музыкальное искусство подчиняется многим законам математики и не может существовать без неё. «Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая».

  1. Литература

  1. Вахромеев В. /Элементарная теория музыки/. – М.: Наука, 1970 год.

  2. Жмудь Л.Я. /Пифагор и его школа/. – М.: Наука, 1990 год.

  3. Шарапкина Е.П. /Гармония математики и музыки/. – Университетские чтения, 2006 год.

  4. http://www.px-pict.com/7/3/2/1/5.html

  • Средневековая музыка как наука о числах.

  1. http://musicfancy.net/ru/music-theory/theory/97

  • Интервалы в музыке.

  1. http://uchitelya.com/music/17939-prezentaciya-simmetriya-v-muzyke-7-klass.html

  • Симметрия в музыке.

13

Просмотров работы: 7315