III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В ФУТБОЛЕ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Кочнев Д.О. 1

---

1МБОУ "Никифоровская СОШ №2"

Козлова Е.В. 1

---

1МБОУ"Никифоровская СОШ №2"

Работа в формате PDF

540.1 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

Математические и физические методы все шире используются в спорте. Остается актуальной проблема выстраивания правильной тактики в футболе при ведении мяча. На движение мяча в среде влияют эффект Магнуса, сопротивление среды, скорость, сила ветра, способная изменить направление движения мяча.

История отечественного футбола имеет богатые традиции. Однако, на протяжении всей истории футбола, российские спортсмены всего лишь трижды добивались высоких результатов, в отличие от других стран. Это и удивляет, ведь наша страна полна талантов. В последние годы футболу в России стали больше уделять внимания, но улучшения положения нет.

Проблема исследования заключается в том, что многие вопросы подготовки футболистов и тактики игры к настоящему времени так до конца и не изучены. Снижение показателей в данном виде спорта свидетельствует о необходимости поиска эффективных методик и нахождения точек взаимодействия с наукой. Эти и другие причины послужили источником выбора данной темы.

Актуальность исследования в востребованности изучения и решении данной проблемы в обществе, недостаточном использовании тренерским составом математических и физических исследований.

Объект исследования: футбол.

Предмет исследования: связь футбола, математики и физики.

Цель: выяснить как взаимосвязаны математика, физика и футбол. Найти их точки соприкосновения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: изучить литературу по данному вопросу; систематизировать и обобщить знания о взаимосвязи математики и футбола; привести примеры применения математики и физики в футболе; показать значимость и актуальность этой взаимосвязи на данном этапе развития нашего общества. Для решения проблемы гипотезой исследования стало следующее предположение: результативность игры в футбол будет выше у той команды, игроки которой отобраны в соответствии с научно-обоснованными критериями.

В работе использовались следующие методы исследования: изучение литературы; наблюдение; анализ и синтез; тестирование; обобщение собранного материала; защита исследовательской работы.

В данной работе рассмотрена краткая история футбола, теоретические вопросы физики и биофизики в технике футбольного игрока и вратаря, вопросы применения и математических знаний: от модели мяча до расстановки игроков на поле, экспериментальная часть. Практическая значимость исследования в том, что исследования могут быть взяты за основу элективного курса в школе, а также как методические рекомендации для тренера.

1.МАТЕМАТИКА И ФУТБОЛ

1.1. Математика в футболе

Футбол – самая популярная спортивная игра в мире. Математика имеет самое непосредственное отношение к этому виду спорта. Взять даже самые азы математики – счет. Не умей считать, человек не смог бы подсчитать голы команд, а без этого футбола быть не может.

Математика присутствует в самых различных компонентах этой интереснейшей игры – начиная от конструкции футбольного мяча, и заканчивая спортивными рейтингами [3]. Ширина ворот (находящихся посередине лицевой линии) равна 7,32 м., а высота – 2,44 м (отношение 3/1). Сетка ворот различается формой ячеек, они могут быть в форме квадрата, шестигранника и ромба. Ширина линии ворот равна диаметру стоек и перекладины. Ворота условно делятся на девять квадратов: три ряда по три квадрата. Каждому квадрату присваивается номер от 1 до 9. Счёт начинается с нижнего ряда, так что над первым квадратом располагается четвёртый, над четвёртым—седьмой, и т. д.

Поле делится на две абсолютно симметричные части. Центральный круг имеет радиус 9,15 м. Такой же радиус имеет полукруг штрафной площади с центром в 11-метровой точке. Ширину штрафной площади можно разделить на три равные 5,5 м отрезка, концами которых будут линия вратарской, конец вратарской площади, 11-метровая точка и конец штрафной площади.

При подготовке команд и их тренеров к серьезной схватке с соперниками все математические методы работают как никогда, например, определение оптимального состава на игру в футбольном матче, оптимальной расстановки игроков на футбольной поле. На более низком уровне подготовки (региональные, районные сборные) к сожалению, математические методы в подготовке спортсменов применяются не в полной мере.

1.2.Футбольный мяч – геометрическое тело

Без мяча футбол не возможен. Оказывается, обычные мячи, которые появились на соревнованиях за кубок FIFA ещё в 1970 году, можно достаточно долго и увлекательно модифицировать. Футбольный мяч соответствует требованиям, опирающимся на теорию графов: его поверхность состоит исключительно из правильных пятиугольников и шестиугольников; пятиугольники своими сторонами касаются только шестиугольников; стороны шестиугольников могут касаться сторон как пяти, так и шестиугольников. Согласно довольно строгим правилам, покрышка обыкновенного спортивного мяча состоит из 32 кусочков в форме правильных выпуклых фигур: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, расположенных рядом друг с другом так, что они образовывают закрытую пространственную фигуру, которая напоминает сферу. Геометрическая фигура футбольного мяча получила имя - усечённый икосаэдр.

Для футбольного мяча можно использовать и другие фигуры кроме 5-угольников и 6-угольников. Официальный футбольный мяч Кубка мира-2006 сделан всего из 14 изогнутых кусочков.

1.3. Применение математических знаний и навыков при занятии спортом

Чтобы показать, как математические умения применяются при занятии футболом, рассмотрим следующие примеры. На диаграмме показано изменение моего пульса на одном из уроков физической культуры. Незначительные изменения в результатах измерения во время покоя и физической нагрузки характерны для здорового человека, а также являются результатом регулярных тренировок.

1.Измерение пульса. Есть два способа измерения пульса: клинастотический (измерение стоя) и ортостатический (измерение лежа) [13]. Ортостатическая проба: в положении лежа подсчитывается пульс за 10 с и умножается на 6. Затем нужно спокойно встать и подсчитать пульс в положении стоя. В норме превышение его не составляет 10-14 уд./мин. Учащение до 20 ударов расценивается как удовлетворительная реакция, свыше 20 – неудовлетворительная. Диаграмма свидетельствует о хорошей тренированности членов футбольной команды «Прорыв» МБОУ «Никифоровская СОШ №2». Клиностатическая проба выполняется в обратном порядке. В норме пульс уменьшается на 4-10 уд./мин. Знание резервных возможностей своего сердца позволяет сделать безопасными и эффективными используемые нагрузки.

2. Измерение дыхания. В результате эксперимента я наблюдал, как изменяется частота дыхания у учащегося, активно занимающегося спортом и пассивного учащегося. Показания ортостатического теста у меня (Кочнев Д.) в норме, что свидетельствует о хорошей тренированности. У нетренированного учащегося (Иноземцев А.), восстановление ды­хания до нормы происходит медленнее. Эти данные говорят о плохой тренированности организма, Иноземцеву А. следует больше времени уделять физическим упражнениям и здоровому питанию.

Не проводя математического моделирования той или иной тренировки, нельзя давать нагрузку спортсмену[1].

1.4. Расстановка игроков на поле и формулы комбинаторики

Игроки делятся на 4 амплуа: вратарь – защитник – полузащитник – нападающий. Расстановки во время игры выбирает тренер команды. Стандартная расстановка 4 – 4 – 4 – 2. Существуют и другие расстановки:4 – 2 – 2 – 2; 4 – 1 – 2 – 1 – 2; 4 – 3 – 3; 4 – 5 – 1; 5 – 3 – 2. Состав нашей команды в последнем матче против Уэльса был следующим: 1вратарь, 5 защитников, 5 полузащитников, 3 нападающих; схема игры: 4 – 3 – 3. Количество способов выбрать основной состав команды огромно.

Сначала мы поставили и решили следующую задачу: из пяти защитников для игры надо выбрать четверых. Сколькими способами это можно сделать (с учетом и без учета фланга)?Эту задачу мы решили, используя формулы комбинаторики:

1.Без учета флангов: ( - число размещений) Размещения – соединения, содержащие по k предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их.

(k–множителей);(способов)

Полузащитников нужно выбрать троих из пяти. Имеем упорядоченные тройки элементов из пяти: (способов)

2. С учетом флангов:(-число сочетаний).

В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных nэлементов. Имеем неупорядоченные тройки элементов из пяти. Найдем количество их сочетаний:

(способов)

Вратарей-1, нужен -1. Нападающих -3, нужно-3. Трех полузащитников из пяти можно выбрать 10 способами:(способов).

Итак, всего способов выбрать: вратаря – 1, нападающих – 1, защитников – 120, полузащитников – 60. Всего 182 способа без учета флангов. Для игры можно выбрать игроков 1 + 1 + 5 + 10 = 17 способов (с учетом флангов). Тренеру необходимо из такого многообразия в основной состав отобрать наиболее перспективных. Выбор не из легких!

2.ФИЗИКА И ФУТБОЛ

2.1. Расчет оптимального угла удара по мячу

Рассмотрим как рассчитать оптимальный угол для удара по футбольному мячу для того, чтобы мяч пролетел наибольшее расстояние[8]. Пусть v₀ - начальная скорость мяча; L – расстояние от точки удара до цели; Средняя скорость классного футболиста – 108 км/ч=30 м/с; V_у – максимальная высота подъёма мяча; g –ускорение свободного падения.

Решение. L= v_{0 *} t_полёта; L= v_{0 *} cos α _* t_полёта , тогда t_полёта =_,

t_полёта =2 t_{подъёма ;} v_{у =} - v_{0 *} sin α +g*t_{подъёма} (в момент удара о землю v_у =0);

t_{подъёма}= v_{0 *} sin α/ g; _=_; 2v₀ ²_* cos α* sin α=Lg; L=_ (1)

Подставив в формулу (1) значения α равные 20°, 30°, 40° и 50° и произведя необходимые вычисления, мы получили следующую таблицу:

Таким образом, мы замечаем, что мяч пролетит наибольшее расстояние, если 40° < α < 50° , α ≈ 45°. Задача решена без учета сопротивления воздуха, а на практике, чтобы футбольный мяч пролетел большее расстояние и с более высокой скоростью, футболист должен его направлять под углом 25-30 градусов от поверхности земли.

Иногда имеет значение не дальность удара, а время полета мяча. Например, когда нужно быстрым пасом застать противника врасплох, в этом случае траектория должна быть на несколько градусов ниже. Это почти не изменит дальность, но может изменить время полета, а сэкономленные десятые доли секунды порой приобретают решающие значение в ходе матча.

2.2. Биофизика в технике вратаря и эффект Магнуса

Оценить быстроту реакции вратаря можно, зная, что для людей верхним пределом быстроты реагирования служит время, необходимое нервной клетке для приема информации, которое составляет 0,01 с. Когда объект зафиксирован глазом, мозг распознает его за 0,05 с. Вратарь должен знать о том, что мигать при пробивании ему пенальти нельзя и быть во всеоружии, когда назначаются штрафные и угловые удары, в которых футболисту иногда удается пустить мяч по закрученной траектории. «Сухой лист» - так называют задание мячу вращения. Основным признаком удара «сухой лист» является траектория полёта мяча. Изначально мяч летит по сложной дуге и на последнем участке траектории падает резко вниз.

Мяч будем считать объектом массой m, радиусом r, центр масс которого является постоянным[12] . Учтем, что движение происходит в поле сил тяжести с постоянным ускорением свободного падения g. Учтём также силу сопротивления воздуха и эффект Магнуса[11].

Найдём ускорения мяча (массой 450г, радиусом 11 см, двигающегося с линейной скоростью 35 м/с и с угловой скоростью 10 об/с в воздушной среде, вязкость которой при нормальных условиях составляет 17.20 *10^-6 Па* с сначала без учёта силы сопротивления и эффекта Магнуса, а потом с учётом их влияния[10]. Ускорение тела в первом случае равно ускорению свободного падения, то есть a=g=9.8 м/ с². Ускорение тела во втором случае (при учёте силы сопротивления и эффекта Магнуса) равно 9,98м/с².

a = _= 9,98м/с².

Следовательно, ускорение тела зависит от эффекта Магнуса и силы сопротивления воздуха[2]. Таким образом, для результативной игры, тренерам и игрокам в футбол необходимо учитывать биофизические возможности организма человека, физические процессы, которые могут сопровождать игру.

2.3.Полет мяча

Рассмотрим простейший случай, когда мяч отвесно падает с некоторой высоты. Допустим сначала, что это происходит не в воздушной среде, а в пустоте и что начальная скорость мяча равна нулю. Все тела падают в пустоте с постоянным ускорением g=9,8 м/сек. Мяч, как и любое тело, падая в безвоздушном пространстве, движется равномерно ускоренно. На падающий мяч помимо веса (Р) действует и сила сопротивления воздуха (R), противоположная направлению скорости. Поэтому скорость падения мяча в воздухе всегда меньше скорости падения в пустоте[8]. Расчет показывает, что скорость падения мяча можно принять равной 14 м/сек. Она мало отличается от скорости падения в пустоте. Должен ли вратарь выйти из ворот на игру в тот момент, когда мяч начинает падать с пятиметровой высоты на нападающего, который находится в положении, выгодном для удара по воротам? Условимся, что мяч находится в 10 метрах от ворот, а вратарь может пробежать десятиметровое расстояние за 1,4 секунды. Нетрудно установить, что мяч пролетит пятиметровое расстояние до поля за 1 секунду, а до головы нападающего — еще скорее. Вратарь в этом случае наверняка опоздает. Решая подобные задачи за столом, и выполняя простейшие расчеты, игроки научатся быстрее и более сознательно находить правильные решения и в игровых ситуациях.

Как добиться точности ударов по воротам — их прицельности по высоте? Представим себе, что мяч, находившийся на поверхности поля, приобрел в результате удара некоторую начальную скорость. Разумеется, во время полета скорость будет непрерывно меняться. Если бы мяч двигался в пустоте, на него действовала бы только сила тяжести (Р), направленная вертикально вниз. Под действием этой силы мяч перемещался бы по кривой линии — параболе. Траектория полета мяча в воздухе будет также криволинейной, но более крутой. При полете в воздухе мяч, помимо силы тяжести (Р), испытывает воздействие и силы сопротивления воздуха (R), направленной противоположно скорости. Начальная скорость и угол вылета оказывают решающее влияние на дальность полета и максимальную высоту мяча. Каким должен быть угол вылета мяча, чтобы максимальная высота полета мяча не превышала высоты ворот — 2,44 метра? Кривая полета мяча в воздухе показывает, что начальная скорость 40 м/сек. уже не удовлетворит условиям прицельности — мяч пройдет выше ворот. А разница в углах вылета составляет всего один градус! Итак, футболист должен твердо знать, что при ударе практически с любого расстояния угол вылета, не превышающий 11°, гарантирует прицельность — мяч выше перекладины не поднимется. А теперь угол вылета свяжем с техникой выполнения удара. Бьющая нога в момент удара должна быть выпрямлена в коленном суставе до отказа. Расчет показывает, а практика футбола подтверждает одно важное положение - для прицельного удара по высоте опорную ногу следует ставить около самой линии, на которой находится мяч. В этом случае траектория мяча будет отлогой и мяч не пройдет выше ворот. Футболисту, изучив технику ударов по воротам, правильно ставив опорную ногу и, доведя выполнение приема до автоматизма не придется переживать неудачу.

Понимание механики полета мяча поможет игроку более сознательно совершенствоваться в технике ударов и быстрее овладеть спортивным мастерством. Таким образом, мы лишь на нескольких примерах показали, как можно использовать законы полета мяча в практике футболиста. Понимание механики полета мяча поможет игроку более сознательно совершенствоваться в технике ударов и быстрее овладеть спортивным мастерством.

3.МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ПРИ ИГРЕ В ФУТБОЛ

3.1. Определение быстроты реакции футболиста на движущийся объект

Приборы и материалы: линейка, секундомер.

Ход работы. Берется деревянная линейка 50 см в длину, на ней ставиться засечка (посередине). На стене делается отметка. Ассистент прижимает вертикально расположенную линейку к стене так, чтобы засечка на ней совпадала с отметкой на стене. Затем, отвлекая внимание участника эксперимента, отпускает линейку в свободное падение. Участник должен остановить падение линейки, так быстро, как сможет. Ассистент отмечает новое положение засечки линейки и производит замер её полета (h), т.е. расстояние между отметками на стене[4].

Чтобы вычислить эту величину в секундах, надо воспользоваться известной формулой для времени свободного падения тела, t= , где h- расстояние, которое пролетела линейка, g- ускорение свободного падения.

Команда «Прорыв» МБОУ «Никифоровская СОШ №2»

Команда «Фортуна» учащихся МБОУ «Никифоровская СОШ №2»

Вывод: Из анализа результатов практической работы, следует, что лучшая быстрота реакции у Дубовицкого Владимира (0,113с), вратаря команды «Прорыв» МБОУ «Никифоровская СОШ №2», а в команде «Фортуна» у Попова Романа, что близко к идеальной быстроте реакции вратаря. Следовательно, двигательные реакции данных игроков позволяют быстро реагировать на коротко-временные ситуации в футболе, т.е. данные учащиеся могут быть рекомендованы к выполнению роли вратарей. Дубовицкий Владимир верно назначен вратарем команды «Прорыв», а в команде «Фортуна» имеет смысл обратить внимание и на Мажорова Дмитрия.

3.2. Определение времени реакции футболиста на движущийся объект

Методика исследования: Испытуемый включает электронный секундомер, наблюдая за движением стрелки, должен остановить ее на заданной экспериментатором цифре. Степень точности реакции на движущийся объект (РДО) определяется по величине опережения или запаздывания реакции[10].

Из анализа результатов таблиц следует, что лучшее время реакции испытуемых на движущийся объект зафиксировано у Никитина Д., Дубовицкого В., Богатых А., что обеспечивает их более точное программирование двигательных действий при игре. У Дубовицкого В., по результатам предыдущей работы, отмечена и лучшая быстрота двигательной реакции.

МБОУ «Никифоровская СОШ №2», команда «Прорыв»

МБОУ «Никифоровская СОШ №2», команда «Фортуна»

Вывод: Из анализа результатов таблиц следует, что лучшее время реакции испытуемых на движущийся объект зафиксировано у Никитина Даниила и Дубовицкого Владимира, Мажорова Д., Кобозева А., что обеспечивает их более точное программирование двигательных действий при игре. Все эти данные должны учитываться тренером при выработке стратегии игры, а также при корректировке индивидуальных программ дополнительных тренировок футболистов.

3.3. Тестирование футболистов по определению мощности

Максимальная мощность спортсмена определяют несколькими тестами: лестничный тест Маргария и 30-секундный Вингейт-тест на велотренажере. В лестничном тесте Маргария спортсмены разбегаются около 6 м и затем забегают вверх по ступенькам лестницы. Фиксируется время подъема спортсмена на определенную высоту. В этом случае по формуле можно определить мощность, которую развил спортсмен: N = (h * m * g) / t.

Рассчитывая мощность футболистов средней группы по данной методике,можно выделить Кочнева Д., Никитина Д., Дубовицкого В., Богатых А., Попова Д., имеющих высокий уровень мощности.

МБОУ «Никифоровская СОШ №2», команда «Прорыв»

МБОУ «Никифоровская СОШ №2», команда «Фортуна»

При занятии на велотренажере с высоким темпом значительная часть энергии расходуется на переме­щение ног, поэтому следует рассчитывать не только внешнюю мощность, ко­торую преодолевает спортсмен, но и внутреннюю. В соответствии с исследо­ваниями В.Н. Селуянова, внутреннюю мощность, требуемую на перемещение ног, можно рассчитать по следующей формуле: N_{внутренняя}= к * m* темп ³, где к=0,3 коэффициент, m - масса тела спортсмена,

темп (ν) - максимальный темп, равный отношению числа оборотов на время вращения ν=n/t (об/с). N_{внутренняя}=k*m* ν³

Рассчитаем внутреннюю мощность футболистов средней группы по данной методике:

МБОУ «Никифоровская СОШ №2», команда «Прорыв»

МБОУ «Никифоровская СОШ №2», команда «Фортуна»

По результатам тестов можно выделить ребят, обладающих высокими скоростно-силовыми качествами. Таковыми являются: Кочнев Дмитрий, Никитин Даниил, Дубовицкий Владимир, Попов Дмитрий, Кобозев Александр.

3.4.Определение скоростиреакции и индивидуальные особенности игроков

Сравнитьскоростьреакции двух человек можно простым способом: первый партнер становится напротив и располагает открытую ладонь так, чтобы второму было удобно по ней бить своей ладонью. Второй партнер бьет по ладони первого в произвольные моменты времени. Задача первого - убрать ладонь (один балл), задача второго – попасть (один балл), в случае неудачи того или другого – 0 баллов. Ведется счёт (наибольшее число очков – лучшая скорость реакции). Затем партнеры меняются. Таким образом, по результатам опыта Владимир и Дмитрий обладают максимальной скоростью реакции. Большинство из респондентов обладают хорошей скоростью реакции, но она зависит от особенностей источника сигнала, а значит не во всех случаях от этих участников можно ожидать должной скорости реакции. Например, отреагируют мгновенно на летящий мяч, и на бегущего навстречу футболиста или, отреагировав мгновенно на летящий мяч, могут не сразу отреагировать на приближающегося противника.

Сравнение скорости реакции двух человек

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовательская работа «Математика и физика в футболе» проводилась в течение четырех месяцев. Связь между математикой, физикой и футболом установлена. На основе проведения опроса общественного мнения найдены точки соприкосновения математики, физики и футбола.

При выполнении работы мы убедились, что футбол требует не только тренировки, техники движения, но и знаний физики (основных разделов механики школьной программы), которые позволяют учитывать их при выполнении техничных ударов по воротам и моделирование различных ситуаций на футбольном поле, т.е. футбол - игра интеллектуальная.

В ходе работы подтвердилась и гипотеза о том, что результативность игры в футбол выше у той команды, игроки которой отобраны в соответствии с научно обоснованными критериями. По результатам работы сделаны выводы о целесообразности распределения ролей игроков при игре в футбол на примере команд учащихся «Прорыв» и «Фортуна» МБОУ «Никифоровская СОШ №2». Время реакции на движущийся предмет в сравнении со временем движения мяча лучше у Дубовицкого В. (команда «Прорыв»), поэтому он является вратарем школьной команды по футболу.

Практическая ценность работы состоит в том, что физические методы, предлагаемые нами, позволяют оценить некоторые показатели начинающего спортсмена в динамике за определенный промежуток времени, которые оцениваются не на глазок («лучше», «хуже»), а математически. Числовая характеристика спортивных достижений неоспорима, более объективна, чем качественная и помогает легче убедиться в росте спортивного мастерства футболиста.

Материалы данной работы могут использоваться во внеурочной деятельности по предметам «математика», «физика» и «физическая культура», а также могут служить основой для создания элективного курса «Математика и физика для футболиста», что приведет к повышению интереса не только к футболу, но и к математике, и к физике.

Так в результате нашей работы мы убедились в следующем: в футболе, математике и физике можно определить множество точек соприкосновения: скорость, время, расстояние и др.; спорт - это интеллектуальный род занятий, практическая математика и знание физических законов помогут добиться более высоких спортивных результатов. Следовательно, если правильно применять знания математики и физики, то можно достичь высоких результатов в футболе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Васильева В.В., Коссовская Э.Б., Попова Г.М., Трунин В.В.. Динамика некоторых показателей дыхания и кровообращения при тренировке на выносливость.-, ж/л "Теория и практика физической культуры".: № 5, 1984, с. 18-20.

2.Иванов А.К. Футбол глазами физика.- ж/л «Физика в школе»№ 5, 1994, с.40

3.Казаков П.Н. Футбол, М., «Физкультура и спорт», 2001г

4.Любомирский Л.Е. Управление движениями у детей и подростков, М. «Педагогика», 1998,с. 224

5.Осташев П.В. Прогнозирование способностей футболиста.- М., «Физкультура и спорт», 1992,с.96

6.Степанова Г.Н. Механика.- С-Пб, «СТП ШКОЛА», 2003, 182

7.Филин В.П. Основы юношеского спорта.- М., «Физкультура и спорт», 1994,с.254

8.Шилов В.Ф. Как определить скорость мяча.- ж/л «Физическая культура в школе»№ 6, 2004, с.52

9.http://sib-analitic.narod.ru/

10.http://genius.pstu.ru/file.php/1/pupils_works_2013/Ilenko_Djakov.pdf

11.http://www.shtangagol.ru/istoriya-igry/futbol-i-fizika

12.http://masterok.livejournal.com/2450875.html

13.http://www.dokaball.com/trenirovki1/programma-podgotovki/544-udary-po-myachu

14.http://www.dokaball.com/trenirovki1/programma-podgotovki/544-udary-po-myachu