III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
КООРДИНАТНО-ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОГО УРОВНЯ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В ходе подготовки к ЕГЭ по математике мне приходилось решать стереометрические задачи. Среди них были задачи на нахождение углов между скрещивающимися прямыми в кубе, призмах, пирамидах. При этом я использовал вычислительный метод. Однако возникали трудности, связанные с дополнительными построениями и необходимыми обоснованиями, сопровождающими эти построения. Мне показалась интересной тема « Координатно-векторный метод решения стереометрических задач повышенного уровня при подготовке к ЕГЭ». Данная тема актуальна, так как этот метод позволяет избежать такого рода трудностей. Решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи. Координатно-векторный метод решения задач на сегодняшний день самый мощный и при правильном подходе позволяет решить фактически все виды математических, физических, астрономических, и технических задач. Кроме того, координатно-векторный метод в рамках школьной программы используется достаточно ограниченно и неполно. Поэтому в своей исследовательской работе я решил стереометрические задачи повышенного уровня с помощью координатно-векторного метода.
Цель: изучить координатно-векторный метод решения стереометрических задач
Задачи исследования: 1. Рассказать об истории появления этого метода решения задач.
2.Раскрыть содержание метода, показать основные формулы и теоремы.
3.Решить сложные стереометрические задачи с использованием векторно-координатного метода, сравнить и показать его преимущества.
Объектом данного исследования является координатно-векторный метод решения стереометрических задач.
Предметом исследования является использование данного метода при решении стереометрических задач повышенного уровня.
Методы исследования:
-
Теоретический (работа с научной литературой, материалами электронных ресурсов)
-
Эмпирический (анализ и сравнения полученных результатов)
-
Математический
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что оно является вкладом в дальнейшее развитие вопроса о подготовке к ЕГЭ по геометрии, позволяет выбирать метод решения задачи в соответствии со своими математическими предпочтениями.
Прикладная значимость результатов исследования определяется вкладом в развитие логического математического мышления учеников, развитие умения самостоятельного решения типовых задач. Результаты исследования могут быть использованы при подготовке к ЕГЭ по математике, а также на факультативных и элективных курсах по математике.
Глава 1.Введение системы координат
Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.
История открытия системы координат
Рене Декарт является одним из создателей аналитической геометрии (которую он разрабатывал одновременно с Пьером Ферма), позволявшей алгебраизировать эту науку с помощью метода координат. Предложенная им система координат получила его имя. В XVIII-XIX веках на основе метода координат Декарта возникли многомерная, а затем и бесконечная геометрия. Сегодня без метода координат невозможно представить себе ни математику, ни физику.
Декартова система координат в пространстве
Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Общее начало координат обозначается буквой О, а координатные прямые обозначаются Ox, Oy,Oz
и называются соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.
Угол между скрещивающимися прямыми
a
Определение: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.
Алгоритм векторно-координатного метода:
1). Введём прямоугольную систему координат и единицу измерения
2). Найдём координаты нужных точек
3).Найдём координаты направляющих векторов скрещивающихся прямых
4). Найдём угол между векторами.
Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x1; y1; z1) и
b = (x2; y2; z2):
Глава 2 .Применение метода координат при решении геометрических задач повышенного уровня
Наобразовательном портале для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ» из январьских вариантов 2017 года я выбрал 14 задание . Точка — середина ребра куба Найдите угол между прямыми и
Сначала я решил вычислительным методом.
Решение. Примем ребро куба за Тогда Проведём через точку прямую, параллельную Она пересекает продолжение ребра в точке причём Искомый угол равен углу (или смежному с ним).
В прямоугольном треугольнике с прямым углом
В прямоугольном треугольнике с прямым углом
В треугольнике по теореме косинусов
откуда а тогда
Ответ: .
Далее я решил координатно-векторным методом.
Решение: Введем прямоугольную систему координат.
B (1; 1; 0), Е (0; 1; 0,5), В1 (1; 1; 1), D (0; 0; 0).
Найдем направляющие векторы прямых BE и B1D:
BE{-1;0;0,5} и B1D{-1;-1;-1}
Ответ: arccos
Сравнивая решения, можно сделать вывод о целесообразности использования координатно-векторного метода в данной задаче, так как дополнительных построений в первом методе намного больше, вычислений и обоснований тоже больше.
А теперь решил задачу № 2 координатно-векторным методом.
№2 В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми AС1 и СB1.
Решение: Введем прямоугольную систему координат.
Найдем направляющие векторы прямых AС1 и СB1:
Ответ: Также я решил задачу № 3 координатно-векторным методом.
№3 № 4. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВF1 .
Решение: Введем прямоугольную систему координат.
F1 (- 1; 0;1)
, - направляющие векторы прямых
Ответ:
Выводы
Метод координат — это, конечно, хороший метод. Для его использования достаточно усвоить несколько формул и чётко знать алгоритм. Далее сделать правильные вычисления.
Однако у него есть недостаток. Иногда приходится много считать. И чем сложнее многогранник — тем больше объем вычислений. Это становится особенно заметно, когда в дело вступают иррациональные координаты. И к большому сожалению, в школе этой теме уделяется недостаточно внимания.
Заключение
Проанализировав решения стереометрических задач повышенного уровня, я пришел к заключению, что координатно-векторный метод является наиболее удобным для решения отдельных задач. Это позволяет экономить время при решении подобных задач и получить заветные баллы на ЕГЭ. Однако в некоторых случаях приходится делать громоздкие вычисления и могут возникнуть проблемы с оформлением. Результат проведенного исследования –это то, что ученик может рационализировать решение стереометрических задач повышенного уровня, используя координатно-векторный метод.
Список использованной литературы
1. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2007. – 256 с.
2. ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 10 вариантов/ под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Национальное образование
3.А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев .Лекция 6 «Использование координатного и векторного методов для решения задач С2». Педагогический университет «первое сентября»,2012.-100с.
4.Математика.11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений: (базовый уровень)/ А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова (и др.) 6-е изд.,стер.- М.: Мнемозина,2011.- 416с.
5.Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ» https://ru.reshuege.ru
6.ВикипедиЯ. Свободная энциклопедия. https://ru.wikipedia.org/wiki