III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА В ПЛАНИМЕТРИИ
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Данная работа посвящена геометрическим неравенствам в планиметрии.
Задачи на геометрические неравенства, т.е. геометрические задачи, в которых требуется сравнить какие-либо величины или доказать неравенство, достаточно редки, но как правило решение их вызывает большой интерес. Такие задачи встречаются в олимпиадных заданиях.
В работе подобраны также задачи на доказательства, где нужно сравнивать какие-либо величины и для построения правильного чертежа.
Выводы, полученные при решении многих из разобранных задач, являются «ключиком» к решению других более сложных геометрических задач.
Основная часть
Неравенство треугольника
В каждом треугольнике любая сторона меньше суммы двух других сторон.
Это простое утверждение называется неравенством треугольника.
Оно даёт ответ на такой вопрос «Всегда ли можно построить треугольник, сторонами которого являются заданные отрезки a, b и c?»
Такой треугольник нельзя построить, если хотя бы один из этих отрезков больше или равен сумме двух других. Чтобы треугольник с заданными длинами сторон существовал, необходимо, чтобы было выполнено три неравенства a < b+c , b < a+c , c < a+b , но необязательно проверять справедливость всех трёх неравенств. Достаточно проверить только одно, остальные будут выполнены автоматически.
Задача №1.
В треугольнике ABC со сторонами AC=a, BC=b высота CN делит сторону AB на части AN=x и BN=y.
Доказать, что если a>b, то a – x < b – y.
Рис.1
Доказательство: Отложим от точки N отрезок KN равный отрезку NB.
По условию a>b (AC>BC), то точка K лежит между AN.
Значит, ∆ CKN= ∆ CBN, CK=CB.
В ∆ ACK, AC=a, CK=CB=b, AK=x – y, согласно неравенству треугольника должно быть выполнено AC∠BDC, BD>BC
Итак, AD>BD, BD>BC, AD>BC, DC>BC, AC=2BC , так как AC=AD+DC
Что и требовалось доказать.
Задача №3. (Олимп. 9 кл.)
Отрезки AB и CD длиной, равной 1, пересекаются в точке O, ∠AOC=60°. Докажите, что AC+BD ≥ 1.
Рис.3
Доказательство: Рассмотрим геометрическое решение.
Пусть ACB1B-параллелограмм.
AC=BB1, AB=CB1, AB║CB1 и ∠AOC=∠DCB1=60° (накрест лежащие углы при секущей OC)
∆ DCB1- равнобедренный, CD = CB1, так как AB=CD=B1C=1
∆ DCB1- равносторонний, то есть DC=B1C=B1D=1,
в ∆ DBB1, BB1+ BD ≥ B1D, но BB1=AC (противоположные стороны параллелограмма) или AC+BD ≥ 1
Что и требовалось доказать.
Задача №4.
Докажите, что сумма медиан треугольника больше полупериметра, но меньше периметра.
Рис.4
Доказательство: Обозначим стороны AB=c, BC=a, AC=b,AL=Ma,
BM=Mb, CK=Mc
Докажем: Ma+Mb+Mc = a+b+c
D принадлежит медиане BM, BM=MD, ABCD – параллелограмм,
(так как DB и AC диагонали), AD║BC, AD=BC=a, AB=CD=c
В ∆ ABC, BC+AB>AC, т.е a+c=2Mb
В ∆ ABC, AC+BC>AB,т.е. a+b=2Mc
В ∆ ABC, AC+AB>BC,т.е. b+c=2Ma
a+c+a+b+b+c>2Mb+2Mc+2Ma, a+b+c>Mb+Mc+Ma
В ∆ ABM, AM+BM>AB, то есть Mb+b:2>с,
В ∆ ALC ma+a:2>b.
В ∆ BKC mc+c:2>a
ma+mb+mc+(a+b+c):2> a+b+c, ma+mb+mc> (a+b+c):2
Что и требовалось доказать.
Задача №5
Пусть точки B и C принадлежат отрезку AD.
Докажите, что, если AB = CD, то для любой произвольной точки P верно неравенство PA+PD ≥ PB+PC.
Рис.6
Доказательство: Если точка P лежит на AD, то неравенство очевидно.
Рассмотрим, если P не принадлежит AD, O-середина AD и BC.
C и B принадлежат отрезку AD. Точка Q симметрична точке P.
CQ ║ PB , а четырёхугольник CPBQ-параллелограмм.
Аналогично в четырёхугольнике APDQ, APDQ-параллелограмм.
Параллелограмм CPBQ находится внутри параллелограмма APDQ
Papdq>Pcpbq, PA+PD ≥ PC+PB.
Что и требовалось доказать.
Соотношение между элементами треугольника
При доказательстве геометрических неравенств часто применяются также теоремы о соотношениях между сторонами и углами в произвольном треугольнике.
«В любом треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона и, наоборот – напротив большей стороны лежит больший угол».
Задача№6.
В ∆ ABC серединный перпендикуляр к стороне BC пересекает
Сторону AB в точке D и продолжение стороны AC в точке E.
Докажите, что AD∠AED+∠EAD
Следовательно, ∠ADE >∠AED, так как напротив большего угла лежит
большая сторона, то AE>AD
Что и требовалось доказать.
Задача №7.
На сторонах угла A взяты точки B и C. Через середину отрезка BC проведена прямая, пересекающая стороны угла AB и AC в точках D и E соответственно.
Докажите, что площадь треугольника ADE больше площади треугольника ABC
Рис.7
Доказательство: Рассмотрим отрезки DK и KE.
D лежит между точками A и B.
DKAC+CB.
4.В произвольном выпуклом четырехугольнике найдите точку, сумма расстояний от которого до вершины минимальна.
5.Может ли внутри данного треугольника лежать треугольник с большим периметром, чем данный?
15