Вокруг треугольника Паскаля

V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Вокруг треугольника Паскаля

Аршин  А.Д. 1
1МБОУ «Усть-Нерская гимназия»
Аршина  А.Г. 1
1МБОУ «Усть-Нерская гимназия»
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

В математике существуют различные интересные модели числовых множеств. Одной из таких моделей является треугольник Паскаля. В любой математической энциклопедии мы можем увидеть его внешний вид и прочитать какими свойствами он обладает. Но из чего эти свойства возникают? Как устроен треугольник Паскаля? Как возникла идея создания треугольника? На эти вопросы я ответа не нашел. Это и определило проблему темы исследования «Вокруг треугольника Паскаля». Исходя из проблемы была поставлена цель исследования:

Цель: экспериментальным путем построить модель треугольника Паскаля.

Задачи:

    •  

исследовать задачу о расположение одинаковых шаров в ячейках ящика;

    •  

составить таблицу решений исследуемой задачи;

    •  

выявить закономерности, по которым заполняются ячейки таблицы;

    •  

проверить найденные значения с помощью формулы сочетаний;

    •  

рассмотреть применение треугольника Паскаля при решении задач.

Предмет исследования: модель треугольника Паскаля

Объект исследования: числа треугольника Паскаля

Гипотеза: каждое число треугольника Паскаля равно сумме двух расположенных над ним чисел.

Практическая значимость: с помощью треугольника Паскаля можно решать определенный класс задач

Новизна работы: надеемся, что прием построения треугольника таким способом встречается впервые

Основная часть

«Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике»

Мартин Гарднер

Треугольник Паскаля является, пожалуй, одной из наиболее известных и изящных числовых схем во всей математике. Блез Паскаль, французский математик и философ, посвятил ей специальный «Трактат об арифметической треугольнике». Впрочем, эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года – даты выхода в свет трактата. Так, в 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного астрономом Петром Апианом. Изображен треугольник и на иллюстрации книги «Яшмовое зеркало четырех элементов» китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника в 1110 году, в свою очередь заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Треугольник Паскаля – это просто бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. В литературе есть способ построения треугольника Паскаля предложенный Гуго Штейнгаузом. Предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смайликом, а тремя, соответственно, розовым. Заменяя количество вариантов прохода числами, получается треугольник Паскаля.

I этап. Расположение одинаковых шаров в ячейках ящика

Задача. В 5 ячеек, занумерованных числами от 1 до 5, требуется расположить три одинаковых шара так, чтобы каждая ячейка содержала не более одного шара. Сколько существует таких расположений?

Задача решена тремя способами: расположение в ячейках, кодировка, дерево возможностей

Варианты

  

Номер ячейки
 

1

2

3

4

5

1

⃝

⃝

⃝

    

2

⃝

⃝

  

⃝

  

3

⃝

⃝

    

⃝

4

⃝

  

⃝

⃝

  

5

⃝

    

⃝

⃝

6

⃝

  

⃝

  

⃝

7

  

⃝

⃝

⃝

  

8

  

⃝

  

⃝

⃝

9

  

⃝

⃝

  

⃝

10

    

⃝

⃝

⃝

Кодировка:

Ш Ш Ш П П

Ш Ш П Ш П

Ш Ш П П Ш

Ш П Ш Ш П

Ш П П Ш Ш

Ш П Ш П Ш

П Ш Ш Ш П

П Ш П Ш Ш

П Ш Ш П Ш

П П Ш Ш Ш

Дерево возможностей

Вывод: на основании исследований приходим к выводу, что существует 10 способов расположения 3 шаров в 5 ячейках.

Стало интересно изменится ли результат если размещать 2 шара в 5 ячейках или 4 шара в 5 ячейках. Были осуществлены все возможные размещения. Результаты сведены в таблицу.

Число шаров

0

1

2

3

4

5

Число расположений

1

5

10

10

5

1

II этап. Уменьшаем количество ячеек

Продолжая эксперимент наблюдаем, что произойдет, если мы уберем одну ячейку. Посмотрим на дерево возможностей.

Дерево разобьется на две ветви: первое соответствует расположению 2 шаров в 4 ячейках – их 6 вариантов, а второе – расположению 3 шаров в 4 ячейках – их 4 расположения. Так, уменьшая количество ячеек, мы перебрали различные варианты.

III этап. Вводим обозначения.

Если раскладывается k шаров в nячейках, то количество расположений будем обозначать

k = 1, 2, 3, . . .n

Такие множества называют сочетанием

Например:

Используя веденные обозначения составим таблицу сочетаний размещения шаров в ячейках

   

Число шаров

Число ячеек

  

0

1

2

3

4

5

6

1

              

2

              

3

              

4

              

5

              

6

              

Имея результаты расположения шаров в ячейках заменим сочетания числами. То, что получилось и есть треугольник Паскаля. Но в литературе мы видим его в виде треугольника.

   

Число шаров

Число ячеек

  

0

1

2

3

4

5

6

1

1

1

          

2

1

2

1

        

3

1

3

3

1

      

4

1

4

6

4

1

    

5

1

5

10

10

5

1

  

6

1

6

15

20

15

6

1

7

              

Таким образом: путем проведения исследования была создана модель треугольника Паскаля. Видим, что его можно продолжить. Как же это сделать? Мы заметили, что каждое число треугольника равно сумме двух расположенных над ним чисел. Используя это, была заполнена 6 строка таблицы.

Но проверить себя мы решили используя математические расчеты. Для этого воспользовались формулой для подсчета числа возможных сочетаний из n элементов по k.

Например исследуем расположение 2 шаров в 6 ячейках.

Аналогично были просчитаны все сочетания. Они совпали с нашим предположением о том, что каждое число треугольника равно сумме двух расположенных над ним чисел. Таким образом, гипотеза исследования подтвердилась.

Применение треугольника Паскаля при решении задач.

Задача №1. Сколькими различными способами можно составить букет из трех различных цветов, если есть 8 наименований цветов?

Решение: Переформулируем задачу: сколько существует вариантов расположения трех шаров в 8 ячейках?

Ответ: 56 букетов

   

Число шаров

Число ячеек

  

0

1

2

3

4

5

6

  

1

1

1

            

2

1

2

1

          

3

1

3

3

1

        

4

1

4

6

4

1

      

5

1

5

10

10

5

1

    

6

1

6

15

20

15

6

1

  

7

1

7

21

35

35

21

7

1

8

1

8

28

56

70

56

28

8

Задача №2. В город А можно попасть по единственному входу. На каждом перекрестке дорога расходится на две. В город вошли 16 человек. На каждом перекрестке они делятся пополам. Сколько человек окажется на каждом перекрестке, когда они уже не смогут разделиться?

Решение: Найдем строчку в треугольнике Паскаля, где число шаров равно16. Это 4 строка. Число шаров и будет решением задачи.

Ответ:1, 4, 6, 4, 1.

   

Число шаров

Число ячеек

  

0

1

2

3

4

5

6

  

1

1

1

            

2

1

2

1

          

3

1

3

3

1

        

4

1

4

6

4

1

      

5

1

5

10

10

5

1

    

6

1

6

15

20

15

6

1

  

7

1

7

21

35

35

21

7

1

8

1

8

28

56

70

56

28

8

Задача №3. (от Мартина Гарднера) Некий шейх, следуя законам гостеприимства, решает отдать вам трех из семи своих жен. Сколько различных выборов вы можете сделать среди прекрасных обитательниц гарема?

Решение: Переформулируем задачу: сколькими способами можно расположить 3 шара в 7 ячеек?

Ответ: 35 вариантов выбора

   

Число шаров

Число ячеек

  

0

1

2

3

4

5

6

  

1

1

1

            

2

1

2

1

          

3

1

3

3

1

        

4

1

4

6

4

1

      

5

1

5

10

10

5

1

    

6

1

6

15

20

15

6

1

  

7

1

7

21

35

35

21

7

1

8

1

8

28

56

70

56

28

8

Заключение

В ходе исследования, экспериментальным путем, была построена модель треугольника Паскаля. Прием построения треугольника таким способом встречается впервые.

Выявлена закономерность, что каждое число треугольника Паскаля равно сумме двух расположенных над ним чисел.

Все найденные значения были проверены с помощью формулы сочетаний.

Показано, что при решении комбинаторных задач проще находить число сочетаний в строках треугольника Паскаля, чем запоминать формулу числа сочетаний.

Перспективы работы

При «наблюдении» за треугольником Паскаля было замечено ряд особенностей, которые можно будет в дальнейшем сформулировать в виде свойств и попытаться их доказать.

Например:

 

Треугольник Паскаля бесконечен;

 

Симметричен относительно центрального столбца;

 

Первая диагональ треугольника – это натуральные числа, идущие по порядку;

 

Вторая диагональ – это треугольные числа.

В следующей работе я попытаюсь для себя открыть «Свойства треугольника Паскаля»

Литература и интернет-источники.

 

Энциклопедия для детей. Математика ,сост. Аксенова М.Д. – М.: Аванта, 2002.

 

Энциклопедический словарь юного математика, сост. Савин А.П. – Педагогика, 1989.

 

http://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник Паскаля

 

http://biostudlife.hiblogger.net

 

http://www.arbuz.uz/u treg.html

 

http://image.websib.ru/07/text articl.htm?342

12

Просмотров работы: 2528