VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Круговые перестановки
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В школьном курсе понятие «круговые перестановки» встречается в 7 классе в учебнике по алгебре в разделе «Для тех, кому интересно» [3].
В комбинаторных задачах часто ставится вопрос о том, сколькими способами можно расположить в ряд, или, как говорят математики, упорядочить, все элементы некоторого множества.
Каждое расположение элементов множества в определенном порядке называют перестановкой. Получаемые при этом упорядоченные множества, которые отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов, называют перестановками без повторений из п элементовили «круговыми перестановками».
Из истории комбинаторики
Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют “сочетания”. В ХII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из п слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в ХVII в. В книге “Теория и практика арифметики” (1656 г.) французский автор Андре Таке также посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу.
Б. Паскаль в “Трактате об арифметическом треугольнике” и в “Трактате о числовых порядках” (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин “комбинаторика” стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы “Рассуждение о комбинаторном искусстве”, в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги “Агs сопjесtапdi” (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в ХIХ в [4].
Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств — правило суммы и правило произведения. При решении задач на перестановки используется правило умножения.
Перестановки
Каждое расположение элементов множества в определенном порядке называют перестановкой. Рассмотрим задачу: В турнире четверо участников. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?
Будем рассуждать в соответствии с правилом умножения. Первое место может занять любой из четырех участников. При этом второе место может занять любой из трех оставшихся, третье любой из двух оставшихся, а на четвертом месте останется последний участник. Значит, места между участниками могут быть распределены 4۰3۰2۰1 = 24 способами. Решив задачу, мы фактически подсчитали число перестановок для множества из четырех элементов. Рассуждая точно так же, можно показать, что для множества из пяти элементов число перестановок равно 5۰4۰3۰2۰1, а для множества из десяти элементов это число равно 10۰9۰8۰7۰б۰5۰4۰3۰2۰1.
Вообще если множество содержит п элементов, то число перестановок равно произведению п(п – 1)(п – 2)۰…۰2۰1. Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке: 1۰2۰...۰(п – 2)(п – 1)п.
Такие произведения бывают очень длинными и часто выражаются огромными числами. Однако в математике есть специальный символ для их обозначения. Произведение всех натуральных чисел от 1 до п обозначают п! (читают: «п факториал»). Значение выражения п! можно найти для любого натурального числа п (при этом считают, что 1! = 1).
Факториалы растут удивительно быстро. Можно понаблюдать за их изменением, рассмотрев таблицу, в которой приведены факториалы чисел от 1 до 10:
|
п |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
п! |
1 |
2 |
6 |
24 |
120 |
720 |
5040 |
40320 |
362880 |
3628800 |
А значение выражения 15!, которого нет в таблице, превосходит 1012, а именно:
15! = 1 307 674 368 000. Может быть, именно из-за быстрого роста факториалов восхищенный изобретатель этого выражения использовал восклицательный знак.
С помощью символа п! принято записывать формулу для подсчета числа перестановок. Число перестановок для множества из п элементов обозначают через Рп (читают: «Р из п», Р — первая буква французского слова permutatiоп - перестановка). Тогда Рn = n![3].
Круговые перестановки
Иногда условие задачи можно понять по-разному, и тогда при переводе условия на математический язык получаются разные задачи, в которых не совпадают ни решения, ни ответы. И это вовсе не значит, что один из получившихся ответов правильный, а другой нет [3].
Исследуем эту проблему на примере комбинаторных задач на «перестановки по кругу». Этот нелегкий вопрос будет нагляднее и проще, если прибегнуть к сюжету из знаменитой басни И. А. Крылова «Квартет». Пусть Мартышку, Козла, Осла и Мишку нужно рассадить за круглым столом, вокруг которого стоят четыре стула под номерами 1, 2, 3 и 4. Если нам важно, кто на каком стуле сидит, то существует 4۰3۰2۰1 = 4! = 24 способа их расположения за столом [2].
Рассмотрим похожую задачу, рассмотрев различные случаи.
Сколько существует вариантов расположения шести гостей за шестиместным столом?
Эта задача имеет разные решения и соответственно разные ответы в зависимости от того, что понимать под различным расположением гостей за столом.
Если считать, что нам важно, кто на каком стуле сидит, то это простая задача на перестановки, и всего будет 6! = 720 различных вариантов посадить гостей за стол.
Однако часто бывает важно не то, кто какой стул занял, а то, кто с кем сидит рядом, т. е. взаимное расположение гостей.
Э то уже совсем другая задача. Теперь расположения, получаемые одно из другого при одновременном перемещении всех гостей вокруг стола без изменении их взаимного расположения, надо считать одинаковыми. Ясно, что для любого расположения гостей таких одинаковых вариантов, получаемых один из другого поворотом, шесть. Значит, 6! надо разделить на 6. Так как 6! : 6 = 5!, то получается только 120 различных вариантов.
Н о если нас интересует только взаимное расположение гостей, то одинаковыми можно считать и такие симметричные расположения, при которых у каждого гостя остаются те же соседи за столом, только левый и правый соседи меняются местами.
При таком понимании общее число различных расположений гостей вокруг стола будет еще вдвое меньше: 120 : 2 = 60.[3]
Решение задач
Задача 1. Сколькими способами десять приятелей могут сесть на десятиместную карусель?
Решение. Если считать, что карусель состоит из разных предметов, то задача сводится к подсчету числа перестановок. Количество вариантов равно 10! = 3628800.
Если карусель состоит из одинаковых предметов, то безразлично, кто какое место занял. В этом случае нас интересует лишь, взаимное расположение приятелей, и вариантов будет = 9! = 362880 (Любое расположение приятелей и варианты, получающиеся поворотами, следует считать одинаковыми.)
Задача 2. Сколько ожерелий можно составить из 20 различных бусин?
Решение. Поскольку бусы можно не только поворачивать по кругу, но и переворачивать, различных ожерелий получится [3].
Задача 3. Сколькими способами можно разместить за столом, на котором поставлено 10 приборов, 10 человек — 5 юношей в 5 девушек так, чтобы девушки чередовались с юношами?
Решение. Занумеруем места за столом последовательно числами от 1 до 10. допустим, что юноши сидят на нечетных местах, а девушки на четных. Существует
Р5 = 5! = 120 способов рассадить юношей на нечетных местах и столько же способов размещения пяти девушек на четных местах. Каждый способ размещения юношей можно скомбинировать с любым способом размещения девушек, поэтому получаем всего («правило перемножения возможностей»!) 120 ۰120 = 14 400 способов размещения. Столько же существует способов размещения в случае, когда юноши сидят на четных местах. Всего получается 28 800 способов [1].
Задача о нашем классе. Мы готовимся к школьному конкурсу танцев. Выбирая танец, все остановились на вальсе, поэтому участников танца нужно было разбить на пары. Было решено, что пар будет 8, так как набралось именно такое количество учащихся среднего роста. И вот тут возникла самая главная проблема: кого с кем ставить в пары, располагая их по кругу, и на какое место поставить каждую пару? Я решил подсчитать все возможные случаи, используя круговые перестановки.
Решение. Чтобы перебрать все возможные пары «мальчик-девочка», нужно найти
8! = 40320. Теперь расставим пары в определённом порядке по кругу:
8! : 8 = 5040 вариантов. Получив такой ответ, все были удивлены, поэтому ограничились вариантом, предложенным нашей классной.
Заключение
Надеюсь, что рассмотренные в работе задачи и примеры убеждают нас в том, что Рассматриваемый метод круговых перестановок является одним из способов решения комбинаторных задач на расположение элементов множества в определённом порядке. Использование данного способа позволяет решать некоторые задачи нетрадиционным методом, а иногда и упрощают их решение, обогащает арсенал средств, используемых при их решении.
Их использование развивает нестандартное мышление и даёт возможность решения некоторых практических задач оригинальным способом.
Литература:
1. Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. Внеклассная работа по математике. – М.: Просвещение, 1977.
2. Дорофеев Г. В., Минаева С. С., Суворова С. Б. Алгебра: 7 класс. Книга для учителя. — М.: Просвещение, 2008.
3. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б. и др. Алгебра: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2008.
4. Перестановки, размещения, сочетания http://collection.edu.yar.ru/dlrstore/