VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Числа Фибоначчи.
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Когда мы приходим на уроки математики, нам кажется, что не может быть ничего удивительного и увлекательного в этом предмете. Просто, точные расчеты, формулы и решение задач. Но в математике есть темы, которые помогают нам увидеть и изучить интересные наблюдения, которые скрываются от нас за обычными вещами и явлениями. Недаром математику называют «Царицей всех наук».
В современном мире есть увлекательные закономерности, которые можно описать с помощью математики.
Каждый из нас летом рассматривал улитку, ползущую по траве; срывал подсолнух, когда он цвел; пытался сочинить четверостишие; кто – то пробовал рисовать. Но никто не догадывался, что все эти действия можно связать с математикой.
Когда я выбирала тему проекта, в первую очередь меня привлекло звучное название «Числа Фибоначчи». По моему мнению эта тема должна быть связана с фамилией известного ученого. Но я и не представляла, что с этими числами мы сталкиваемся в жизни повсюду.
Актуальность проекта: Получаем знания, которые понадобятся в жизни. Расширяем свой кругозор. Потому что числа Фибоначчи встречаются везде, в окружающем нас мире.
Цель проекта: изучить числа Фибоначчи и их роль в жизни человека.
Задачи проекта: Изучить литературу по теме проекта; познакомится с биографией ученого; понять откуда появились числа Фибоначчи и их свойства; найти примеры, где встречаются числа.
1. Биография Леонардо Пизанского.
Хочется рассказать немного о Фибоначчи1. Настоящее имя – Леонардо Пизанский. Родился примерно в 1170 году, в итальянском городе Пиза. Его отец был торговцем и хотел, чтобы сын продолжил его работу в будущем. Поэтому Леонардо учился у лучших арабских учителей. Он часто бывал в Алжире, Биджане. Учился счетному искусству у индийских учителей. Эта наука ему понравилась и Леонардо стал интересоваться и изучать это направление не только у индийских ученых, но и у Египтян, Сицилицев, Сирийцев. На основании изученного написал несколько математических трактатов. Один из примеров – «Книга Абака».
Вернемся к таинственному псевдониму – Фибоначчи. Леонардо Пизанский никогда себя так не называл. Данный псевдоним был присвоен ему позже, Гийамом Либри в 1838 году. Слово Fibonacci происходит от двух слов – «filius Bonachi», которые появились на обложке «книги Абака». Эти слова могли означать «сын Боначчо» или «сын Боначчи». Существует еще одна версия: значение слова «Боначчи» - «удачливый». Сам Леонардо, обычно подписывался Боначчи или Леонардо Биоло. Слово «biolo» на тосканском наречии означает «странник» или «бездельник».
1.1 История создания чисел Фибоначчи.
Числа Фибоначчи – это числовая последовательность, где первые два числа — это 1 и 1 или 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Эта последовательность была исследована в древней Индии, где она применялась в метрических науках – стихосложении. Леонардо Пизанский исследовал эту последовательность и описал ее в трактате «Liber Abaci» 1202 год2. В этом труде рассматривается развитие идеализированной популяции кроликов, на примере их разведения. В первый месяц взяли одну пару кроликов, второй месяц – одну пару, третий месяц – две пары (1+1=2), четвертый месяц – три (2+1=3), пятый месяц – пять (3+2=5), шестой месяц восемь (5+3=8) …12 месяц 377 пар кроликов. Наблюдая каждый месяц за количеством пар кроликов, получается числовой ряд: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377.
1.2 Свойства чисел ряда Фибоначчи.
Проанализировав материал по теме проекта и узнав, как образуется числовой ряд Фибоначчи, я вычислила первые тридцать чисел и получила ряд:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040.
Из данной последовательности можно увидеть: каждое третье число нечетное, каждое пятнадцатое – заканчивается на «0», начиная с третьего числа – каждое последующее равно сумме двух предыдущих. Если любое число последовательности поделить на число, стоящее перед ним в ряду, то в ответе всегда получается величина, примерно 1.61803398875.
Пример: 233 / 144 = 1,618.
2. Числа на примере строения живых и не живых объектах.
Во многих явления природы можно увидеть числа Фибоначчи. Они показывают особенность роста организмов. Приведу несколько примеров. Семена в подсолнечнике (рис. 1). Они растут против часовой стрелки и по часовой от центра цветка.
рис. 1
По количеству этих спиралей, это два числа идущих подряд в последовательности чисел Фибоначчи 21 и 34, или 34 и 55. Чем крупнее цветок, тем больше спиралей.
Колючки ананаса (рис.2) образуют спирали – восемь идут по часовой стрелке, 13 – против часовой.
рис.2
Кроме растений можно привести пример с животными. У морских звезд – число лучей соответствует числам из ряда Фибоначчи – 3,5,8.
У комара (рис.3) – три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, и на голове пять усиков, что показывает ту же последовательность 3,5,8.
рис.3
2.1 Музыка, как область применения чисел Фибоначчи.
Я учусь в музыкальной школе, но никогда не задумывалась что в музыке можно встретить числа Фибоначчи. Сейчас, когда я знаю, где искать эти числа, приведу пример. Одна октава на пианино состоит из 13 клавиш – 8 белых и 5 черных, они разбиты по 3 и 2. (рис.4)
Рис.4
Данные числа то же из рада Фибоначчи.
2.2 Числа Фибоначчи в строении человека.
Для написания данной части проекта я попросила знакомых принять участие в практической части моего проекта. Для этого были проведены замеры кисти рук каждого участника – длина I фаланги пальца, длина II фаланги пальца, длина III фаланги пальца, расстояние от III фаланги пальца до запястья. Получила результат:
Длинна I фаланги пальца: у Оли -15, у Кати -22, у Алины -19, у Насти - 21
Длина II фаланги пальца: у Оли -24, у Кати 24-, у Алины -24, у Насти -25
Длина III фаланги пальца: у Оли -39, у Кати -46, у Алины -43, у Насти -46
Расстояние от III фаланги пальца до запястья: у Оли -63, у Кати -70, у Алины -67, у Насти –71
Все полученные данные соответствуют правилу, по которому образуются числа Фибоначчи. В данных замерах видна последовательность ряда чисел Фибоначчи.
3. Правило золотого сечения.
Профессиональные художники, дизайнеры, модельеры в своей работе пользуются расчетами, для построения чертежей и набросков, основанные на золотом сечении3 (рис.5).
рис.5
Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы: M/m=1,618
Золотое сечение — это деление отрезка на неравные пропорциональные части, при этом сам отрезок относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или наоборот, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
В геометрии прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Длинные стороны прямоугольника относятся с короткими сторонами как 1,168: 1.
Свойства Золотого прямоугольника: если отрезать от золотого прямоугольника квадрат, то сторона квадрата равна меньшей стороне прямоугольника. И получаем золотой прямоугольник меньших размеров (рис.6).
рис.6
Эти действия можно продолжать бесконечно. Располагаться они будут по логарифмической спирали (рис.7), которая имеет важное значение в математических моделях природных объектов (например, раковинах улиток).
рис.7
Заключение.
После изучения темы проектной работы, я могу наблюдать, где можно увидеть числа Фибоначчи в современном мире. И как они применяются. Делая вывод, хочется отметить, что числа Фибоначчи были известны еще в древности, примерно в 13 веке. Но они актуальны и в наше время. Эти числа используют в разных направлениях и специальностях. Программисты используют при написании программ. Экономисты - в математических расчетах и экономических прогнозах, графиков. Архитекторы используют правило золотого сечения. Даже художники и композиторы применяют правило золотого сечения в своих гениальных произведениях. Я думаю, что и будущем последовательность чисел будет так же актуальна. Ведь с каждым годом широко развивается использование компьютерных программ и обработка данных с их помощью. А на основе ряда чисел Фибоначчи возможно усовершенствовать обработку данных с большим объемом информации.
Метод моего исследования заключался в изучении литературы, и анализе полученной информации.
Считаю данную тему полезной для изучения.
Список используемой литературы
История математики, Т.1,М.,1970
Н. Н. Воробьев. Числа Фибоначчи, М. “Наука”, 1978
http://ru.wikipedia.org
http://gs.edunet.uz
http://milogiya.narod.ru/toc.html
http://work.tspu.ru
http://www.goldenmuseum.com
1Н. Н. Воробьев. Числа Фибоначчи, М. “Наука”, 1978
2http://ru.wikipedia.org
3 http://www.goldenmuseum.com