VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ГЕОМЕТРИЯ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Ещё в глубокой древности, хотя бы в связи с теоремой Пифагора, люди поняли, что одних рациональных чисел мало для описания соотношений между двумя реально существующими величина одинаковой природы. Так, длина b диагонали квадрата связана с длиной а его стороны соотношением и сторона квадрата несоизмерима с его диагональю, откуда следует, чтоне является рациональным числом. Столь же давно была открыта последовательность чисел Фибоначчи. Цель работы: исследовать отношение чисел Фибоначчи, показать красоту этих чисел в геометрии.
Задачи:
Показать связь золотого сечения и чисел Фибоначчи.
Рассмотретьнекоторые свойства чисел Фибоначчи.
Изучить «геометрию» чисел Фибоначчи.
Рассмотреть Задачи, связанные с построением отрезка длины Ф.
Если развитие человека основано на производстве и воспроизводстве в «бесконечной последовательности», разве не разумно то, что такой процесс обладает спиральной формой фи и что эта форма различима в движении совокупной оценки его производственного потенциала?
§ 1. Исторические и математические предпосылки
Последовательность чисел Фибоначчи была открыта (на самом деле, повторно) Леонардо Фибоначчи де Пиза, математиком тринадцатого века (в России известен как Леонардо Пизанский). Мы обрисуем исторические предпосылки этого удивительного человека и затем более полно обсудим последовательность чисел, которая носит его имя.
Когда Эллиотт писал Закон Природы, он в частности ссылался на последовательность Фибоначчи, как математическую основу Закона волн. В начале 12 века, Леонардо Фибоначчи опубликовал свою знаменитую Книгу абака (Книга вычислений), которая представила Европе одно из величайших открытий всех времен, а именно десятичную систему счисления, включающую положение нуля в качестве первой цифры в записи числового ряда. Эта система, которая включала привычные символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, стала известной как Индусско-Арабская система и сейчас используется повсеместно.
Будет почти преуменьшением, если сказать, что Леонардо Фибоначчи был величайшим математиком Средневековья. Всего он написал три значительных математических труда: Книга абака, опубликованная в 1202 году и переизданная в 1228 году, Практическая геометрия, опубликованная в 1220 году, и Книга квадратур.
В Книге абака одна из поставленных проблем дает начало последовательности чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так далее до бесконечности. Эту последовательность называют последовательностью Фибоначчи, ее члены – числами Фибоначчи. А проблема такова: сколько пар кроликов, помещенных в загон, может быть произведено за один год из одной пары кроликов, если каждая пара производит еще одну пару каждый месяц, начиная со второго?
§ 2. Связь золотого сечения и чисел Фибоначчи
Чем же примечательны числа, полученные Леонардо Фибоначчи? Рассмотрим этот ряд чисел. Оказалось, что они обладают рядом интересных и важных свойств.
Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел И. Кеплер (1571—1630) установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции. На языке математики это выражается формулой при n→∞. Здесь Ф = 1,61803... является золотой пропорцией.
Через сто лет английский ученый Р. Симпсон математически строго доказал, что отношение рядом расположенных чисел Фибоначчи в пределе стремится к золотой пропорции, равной . И лишь в 1843 году математик Ж. Бине нашел формулу для отыскания любого члена ряда чисел Фибоначчи: .
Определим отношение рядом распол оженных чисел Фибоначчи, оно равно:1; 2; 1,5; 1,66; 1,6; 1,625; 1,615..., 1,619..., 1,6181..., 1,61797...; 1,61805... и т. д. Полученные отношения как бы колеблются около постоянной величины, постепенно приближаются к ней, разница между соседними отношениями уменьшается. Это наглядно видно на приведенном графике. Отношение рядом расположенных чисел Фибоначчи в пределе стремится к величине, близкой 1,618... то есть золотой пропорции.
Соотношение рядом стоящих чисел ряда Фибоначчи отражает колебательный процесс, строго периодический со все уменьшающейся амплитудой уменьшение разницы в отношениях этих чисел, затухающее колебание этих отношений относительно величины φ –золотой пропорции. Этот закономерный затухающий процесс отражает единство и борьбу целочисленной дискретности и непрерывности затухающих колебаний. Это подобно самой жизни, которая вечно стремится к равновесию и никогда его не достигает, то приближаясь, то удаляясь от некоторой золотой середины - желанной и недосягаемой.
Величина Ф считается иррациональным числом, то есть несоизмеримым, его нельзя выразить через отношение целых чисел. Но при развертывании ряда чисел Фибоначчи их отношение будет равно золотой пропорции (точнее, бесконечно близко к ней). Выходит, что иррациональная величина Ф равна отношению двух бесконечно больших чисел, то есть она соизмерима. Здесь проявляется еще одна интересная грань взаимосвязи целых чисел Фибоначчи с иррациональной золотой пропорцией.
А теперь сложим расположенные через одно числа Фибоначчи. Получим новый ряд чисел: 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 123... и т. д. Как видим, получим также рекуррентный ряд чисел; отношение соседних чисел здесь также в пределе стремится к золотой пропорции.
Этот рекуррентный ряд чисел можно получить из ряда чисел Фибоначчи и другим способом. При последовательном закономерном делении последующих чисел ряда Фибоначчи на предыдущие получим: 1 : 1 = 1; 3: 1 =3; 8 : 2 = 4; 21 : 3 = 7; 55:5=11; 144:8=18, 377 : 13 = 29 и т. д., то есть производимый рекуррентный ряд, получивший название «ряд Люка». Сложив расположенные через одно числа ряда Люка, получим новый производный рекуррентный ряд: 15, 25, 40, 65, 105... и т. д. Разделив числа этого ряда на пять, получим исходный ряд чисел Фибоначчи.
Известно, что рациональное отношение двух последовательных членов ряда Фибоначчи при удалении от начала ряда стремится к отношению золотого сечения. Однако эта связь, равно как и сам ряд Фибоначчи, в античных текстах нигде не упоминаются.
И все же описанный в нескольких античных сочинениях II-III в. н.э. древний пифагорейский алгоритм построения сторонних и диагональных чисел, дающих рациональные приближения для иррационального отношения стороны и диагонали квадрата, допускает аналогичный перенос на случай золотого сечения. Если бы кто-то из пифагорейских математиков написал сочинение про связь чисел Фибоначчи и золотого сечения, то отрывок из этого сочинения мог бы звучать так:
«Так как над всеми фигурами согласно наивысшему и семенному отношению начальствует единица, то и отношение среднего к крайнему отыскивается в единице. Возьмем две единицы: и пусть одна из них есть крайнее, другая же – среднее, ибо единица, будучи началом всех вещей, потенциально должна быть и крайним, и средним. Здесь целое равно сумме крайнего и среднего, то есть двум. И квадрат среднего на единицу меньше, чем прямоугольник на целом и меньшем. Пусть теперь целое становится средним, а среднее – крайним. И теперь будет крайнее 1, среднее 2, целое 3. Теперь квадрат среднего на единицу больше, чем прямоугольник на целом и крайнем. И опять пусть целое становится средним, а среднее – крайним. Итак, крайнее будет 2, среднее 3, целое 5. Теперь квадрат среднего на единицу меньше, чем прямоугольник на целом и крайнем. И Опять пусть целое становится средним, а среднее – крайним. Итак, крайнее будет 3, среднее 5, целое 8. Теперь квадрат среднего на единицу больше, чем прямоугольник на целом и крайнем. И от дальнейшего прибавления, происходящего таким же образом, будет происходить подобная же смена: квадрат среднего будет то на единицу больше, то на единицу меньше, чем прямоугольник на целом и крайнем; при этом все части рациональны»
И ллюстрацией к этому тексту мог бы служить рисунок, если только представить, что изображенные на нем «треугольники золотого сечения» дробятся все мельче и мельче. Обратите внимание на то, что в боковой стороне большого равнобедренного треугольника сейчас уложено 13 сторон маленьких равнобедренных треугольников (из которых 8 являются боковыми сторонами, а остальные 5 – основаниями), а в его основании – 8 отрезков (из которых 5 являются боковыми сторонами, а остальные 3 – их основаниями). Нетрудно понять, что и при дальнейшем дроблении треугольника соответствующие числа всегда будут оставаться двумя соседними числами Фибоначчи.
Не это ли является убедительным. Числа Фибоначчи отражают целочисленность в организации природы. Совокупность обеих закономерностей (золотой пропорции и чисел Фибоначчи) отражает диалектическое единство двух начал: непрерывного и дискретного, подвижного и инертного и т. п.
Следует учесть, что числа Фибоначчи получены при решении задачи о размножении организмов, затрагивающей глубинные законы развития биосферы. Золотая пропорция выражает единственное из возможных соотношение частей с целым. Неудивительно, что золотая пропорция признана основным критерием гармонии природы. Последовательный ряд инвариантов золотой пропорции (1, 0,618; 0,382; 0,236; 0,146; 0,090; 0,056 и т.д.) обладает свойством рекуррентности (в обратном исчислении) и аналогичен ряду чисел Фибоначчи. Это еще раз подтверждает глубинную связь чисел Фибоначчи с золотой пропорцией. В этом ряду чисел второй член ряда выражает связь двух линейных размеров — двух соседних чисел. Третий член ряда, число 0,382, выражает связь площадей квадратов, а четвертое число 0,236 — выражает связь объемов кубов (0,6182 = 0,382; 0,6183 = 0,236).
Число Ф обладает любопытными математическими свойствами. Перечислим некоторые из них.
; ; ;
; .
В 1957 году американский математик Дж. Бергман построил систему счисления, названную им «системой счисления с иррациональным основанием типа золотой пропорции». В этой системе любое натуральное число представимо в виде суммы степеней числа Ф: 1=Ф-1+Ф-2; 2=Ф+Ф-2;
3=Ф2+Ф-2; 4=Ф2+Ф0+Ф-2;
5=Ф3+Ф-1+Ф-4; …
Дж. Бергман отнесся к своему результату как к курьезу, непригодному для практического применения. Однако вскоре выяснилось, что система счисления с основанием Ф может быть с успехом использована для повышения помехоустойчивости вычислительной техники.
§ 3. Задача о кроликах
Рассмотрим известную задачу Фибоначчи о кроликах. Итак, в начальный момент есть одна пара кроликов. Через месяц она достигает зрелости, но по-прежнему имеется только одна пара кроликов. К концу второго месяца она производит еще одну пару, всего число пар кроликов равно двум, причем среди них лишь одна зрелая. К концу третьего месяца зрелая пара производит еще пару кроликов, общее число пар будет равно трем, зрелых среди них уже две пары. К концу четвертого месяца всего пар будет пять, из них три зрелые. К концу пятого месяца будет восемь пар, из них пять зрелых и т.д.
Запишем получившуюся последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, … (1)
Легко заметить, что каждый член последовательности Фибоначчи (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих членов. В самом деле, обозначим число имеющихся пар кроликов к концу n-го месяца через иn. Тогда к концу (n + 1)-го месяца зрелыми будут именно эти иnпар, а всего пар кроликов будет un + 1. Тогда еще через месяц число пар кроликов получится равным (2) Теперь с помощью равенства (2) каждый может продолжить последовательность (1) и найти ответ на задачу о кроликах. К концу двенадцатого месяца число пар кроликов окажется равным = 233.
§ 4. Некоторые свойства чисел Фибоначчи
Рассмотрим числовую последовательность (3) удовлетворяющую уравнению (2).
Условием (2) последовательность (3) не определяется однозначно, т.е. последовательность (3) необязательно совпадает с последовательностью (1) чисел Фибоначчи. Можно составить бесконечно много различных числовых последовательностей, удовлетворяющих уравнению (2). Для однозначного определения последовательности (3) следует задать еще два первых ее члена. В случае имеем последовательность (1). При другом задании получим другие последовательности, например
2, 5, 7, 12, 19, 31, ..., и 1, -4,- 3, -7, -10, -17, ...
Все эти и другие последовательности, удовлетворяющие уравнению (2), обладают замечательными свойствами. Отметим некоторые из них.
I. Сумма первых п членов последовательности (3) есть (n + 2)-й её член,уменьшенный на .
Доказательство. Для любого члена даннойпоследовательности из формулы (2) имеем: (4). Просуммируем равенство (4) по kот 1 до п: . Получим или (5). Таким образом, сумма первых п членов последовательности (3) есть (n + 2)-й её член, уменьшенный на .
II. Сумма первых п членов последовательности (3) с нечетными номерами равна 2n-му её члену, уменьшенному на .
Доказательство: На основании формулы (2) имеем: (6). Просуммировав равенство (6) по всем чётным k от 0 до 2n-2, получим
(7)
то есть сумма первых п членов последовательности (3) с нечетными номерами равна 2n-му её члену, уменьшенному на .
III. Сумма первых п членов последовательности (3) с четными номерами равна (2n + 1)-му ее члену, уменьшенному на . Доказательство: Из (5) и (7) как следствие получаем: , то есть сумма первых п членов последовательности (3) с четными номерами равна (2n + 1)-му ее члену, уменьшенному на .
IV. Сумма десяти последовательных чисел Фибоначчи равна седьмому из чисел, умноженному на 11.
Доказательство: Для этого на каждом шаге будем по формуле (2) члены, подчеркнутые одной чертой, сворачивать в один, а члены, подчеркнутые двумя чертами, разбивать в сумму двух. Итак, имеем:
. То есть (8).
§ 5. «Геометрия» чисел Фибоначчи
Рассмотрим следующую задачу. Изобразим точками плоскости хОу пары последовательных чисел из последовательности (3), удовлетворяющей уравнению (2):
.
Получим последовательность пар (9)
Выясним, на каких линиях лежат эти точки. Рассмотрим для этого определитель
(10)
Применяя формулу для имеем: . Или . Поступая так же с ит.д., получим: ,(11)где постоянная С определяется по первым двум членам последовательности (3). Из (10) и (11), переходя к х, у, окончательно получим, что все члены последовательности (3) лежат на кривых .
При это две сопряженные равносторонние гиперболы. В частности, для чисел Фибоначчи точки (9) имеют координаты: (1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 5), (5, 8), (8, 13), (13, 21), (21, 34), (34, 55),... Они лежат на гиперболах (12) Уравнения (12) задают пару сопряженных равносторонних гипербол с квадратом фокального параметра .
А симптотами гипербол служат прямые и , где , – корни уравнения , а именно , .
Точки (9) принадлежат двум ветвям этих гипербол, лежащим выше прямой . Причем точки с нечетным п лежат на правой ветви, а с четным п – на левой ветви. Заметим, что последовательность чисел Фибоначчи можно продолжить влево:..., -55, 34, -21, 13, -8,5, -3,2, -1, 1, 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
§ 6. Числа π, е и Ф
Ч исла Ф и π тесно связаны между собой. Эта связь вытекает из того факта, что число Ф равно радиусу окружности, описанной около правильного десятиугольника с длиной стороны 1 (рис. 5). Покажем это. Сторона AB (AB=1) такого десятиугольника видна из центра O описанной окружности под углом 36° (рис. 6).
П роведём отрезок AC, равный отрезку AB, так, чтобы точка C принадлежала отрезку OB. Тогда, в силу равенства углов ABO, OAB, ACB: , получаем, что и .
Пусть OA=OB=x. Так как треугольник AOB подобен треугольнику CAB, то , или .
Положительное решение полученного уравнения совпадает с золотой пропорцией Ф.
Поскольку периметр такого десятиугольника с хорошей точностью приближает длину окружности, то 2πФ 10, πФ 5.
Точную связь чисел π и Ф найдём из прямоугольного треугольника ADO, где , : .
Поскольку , то .
О гармоническом союзе Ф и π свидетельствуют факты иного рода. Так, для величественного памятника Древнего Египта пирамиды Хеопса с высокой точностью выполняются отношения: , , здесь L – длина основания, а H – высота пирамиды.
Закон роста красивейшей раковины Nautilus (приложение 1) описывается уравнением логарифмической спирали , объединяющей в прекрасный букет несколько замечательных констант Ф, e и π!
Оказывается, по закону логарифмической спирали построена композиция гравюры итальянского графика Рафаэля «Избиение младенцев» (прилож. 2). Свою гравюру Маркантонио Раймонди выполнил по эскизу Рафаэля. Логарифмическая спираль берёт начало в смысловом центре композиции – «… точка, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребёнка, – вдоль фигур ребёнка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесённым мечём и затем вдоль фигур такое же группы в правой части эскиза». Разворот спирали подчёркивают такие элементы композиции, как «арка моста, идущая от головы женщина, – в левой части композиции и лежащее тело ребёнка - в её центре». Если золотое сечение вызывает у зрителя ощущение гармонии, то спираль – напротив, вызывает ощущение динамики и волнения.
Фундаментальность числа Ф, его «изначальный» характер дают основание приобщить его к двум другим не менее важным и фундаментальным числам: числу «пи», выражающему отношение длины окружности к диаметру, и е — основанию натуральных логарифмов.
Характерно, что все три числа являются несоизмеримыми, символизируя единство непрерывного и дискретного, их бесконечную борьбу и непрерывное движение, изменение природы. Математики нашли изящные выражения для вычисления величин Ф и е, используя ряды и непрерывные дроби. В них эти фундаментальные величины выводятся из сочетания целых чисел.
Не случайно математики Р. Курант и Г. Робине утверждают, что «руководящим принципом современной математики стало сведение в конечном счете всех утверждений к утверждениям, касающимся натуральных чисел 1, 2, 3...». Универсальность иррациональных величин Ф, π и е, их широкое распространение в различных закономерностях стимулируют поиски уравнений, которые бы объединили эту триаду мировых констант природы.
Такие попытки предпринимались неоднократно. Величайшим триумфом математики явилось открытие формулы, которая связывает число «пи» с основанием натуральных логарифмов е. Эта формула была открыта Эйлером и позже де Муавром и названа именем последнего: еπi+1= 0, где i - мнимое число, равное . «Эта знаменитая формула — возможно, самая компактная и знаменитая из всех формул»,— писали американские ученые Э. Кезнер и Дж. Ньюмен.
Выше мы отметили связь золотой пропорции с числом «пи», которая выражена очень простой и красивой формулой. Таким образом, все три величины Ф ,π, е связаны между собой простыми отношениями, могут быть выражены через соотношения рядов целых чисел, в том числе через единицу. Не свидетельствует ли это об их органическом единстве, об их фундаментальности?
§ 7. Человек-циркуль
Согласно знаменитому канону Леонардо да Винчи, рост человека принято приравнивать к размаху его рук (приложение 3).
Поэт, писатель и исследователь старины Андрей Чернов полагает это распространенным заблуждением. На самом деле размах рук всегда больше роста человека. «Более изящно поступил педантичный Дюрер: он всего лишь согнул пальцы на обеих руках своего "образцового человека"».
По мнению Андрея Чернова, отношение размаха рук человека к его росту равно , где Ф – число Фидия. А раз так, то число πнеизбежно проникает в систему древнерусских саженей – мер длины, подобранных соразмерно человеку. Так, например, маховая сажень, равная размаху рук, в раз больше ростовой сажени (роста).
Близкое к этому соотношение Андрей Чернов обнаружил в пропорциях ангела, изображенного на плане церкви Успения в Старой Ладоге (XII век). Используя это изображение в качестве мерного эталона, исследователь нашел и другие любопытные пропорции. Например, сажень большая (рост человека с поднятой рукой) так относится к ростовой сажени, как ; косая великая сажень в раз больше косой новгородской по трости сажени и т.п.
Как известно, системой саженей пользовались древние зодчие, возводя храмы на Руси. В частности, скрывающие число πпропорции содержит уже упоминавшаяся староладожская церковь Успения. Например, внутренний размер храма от западной стены до алтарной апсиды в πраз больше диаметра подкупольного барабана.
§ 8. Задачи, связанные с построением отрезка длины Ф
Задача 1. Построить отрезок длины Ф, если дан квадрат ABCD со стороной 1.
Решение. Отметим на стороне AB квадрата её середину – точку K и проведём отрезок KC. Продолжим сторону BC за точку C, а из точки M – середины отрезка BC – проведём окружность радиусом KC. Эта окружность пересечёт луч BC в точке N. Очевидно, что , тогда
.
З адача 2. Построить равнобедренный треугольник по боковым сторонам, равным Ф+1 и основанию, равному Ф. Определить углы этого треугольника. Доказать, что Ф2=Ф+1.
Решение. Отложим отрезок AB=1. Из точки Bвосстановим перпендикуляр к отрезку AB и от точки B отложим на нём отрезок BC=1. Разделим отрезок AB пополам и обозначим его середину через O. Соединим точки O и C, длина отрезка OC равна . Из точки O проведём окружность радиусом , Пересекающую луч AB в точке D, AD=Ф. На рис. в задаче 3 показан треугольник со сторонами AC=Ф,AE=EC=1+Ф. Медиана EO ACE является одновременно его биссектрисой и высотой. Тогда .
Откуда получим: =72°, следовательно, =72° и =36°.
Осталось доказать, что Ф2=Ф+1. Это нетрудно сделать, выполнив необходимые операции: ; . Значит, Ф2=Ф+1.
Задача 3. Доказать, что .
Р ешение. Из точки M на стороне AE (AM=1) проведём прямую, параллельную AC. Которая пересечёт сторону CE в точке K, AK – биссектриса угла EAC (рис. 3). Четырёхугольник AMKC – равнобокая трапеция, а MM1 и KK1 – её высоты. Нетрудно видеть, что AMM1=CKK1 и . Но тогда .
AKK1 прямоугольный и AK=AC=Ф (см. предыдущую задачу). Тогда , или ° . В задаче 2 было доказано, что Ф2=Ф+1, тогда ° . Учитывая, что 36°= радиан, получаем , или .
Итак, доказано красивое соотношение, показывающее зависимость между числами Ф и .
Задача 4. В треугольнике AEC на рис. в задаче 2 построить отрезки длины , , и т. д.
Решение. Построим биссектрису ML угла EMK и через точку L проведём прямую LN║MK. В треугольнике MKL углы равны36°, 36°, 108°, а углы треугольника MKLравны 36°, 72°, 72°. Из треугольника KML определим длину отрезка LK, используя теорему синусов: , тогда .
Е сли продолжить построение биссектрис угловGNL,OGP и т. д., то основания получающихся равнобедренных треугольников NPL,GHP и т. д. будут равны , и т. д.
Задача 5.В полукруг вписан квадрат ABCD со стороной 1. Выполнить отношение MC:BC(рис. 4).
Решение. По условию, BC=1, тогда OC= , R= ;
; .
Отношение и отношение .
Как видим, найдена золотая пропорция .
З адача 6. С помощью циркуля и линейки построить прямоугольник с отношением сторон .
Решение. Поделим отрезок AB точкой C в отношении золотого сечения. Из точки A восстановим перпендикуляр AK к отрезку AB. Из точки A проведём окружность радиуса . Она пересечёт перпендикуляр AK в точке D.
Последующие построения очевидны. Они завершают чертёж прямоугольника ABED, отношение сторон которого .
З адача 7. Построить прямоугольник с отношением сторон .
Решение. Проводим отрезок AB=1, Точкой C делим его в золотом отношении. Тогда . Продолжим отрезок AB за точку A, и из точки A проведём окружность радиусом AC. Из точки B восстановим перпендикуляр BMкAB. Строим окружность с центром в точке B радиусом . Окружность пересекает перпендикуляр BM в точке E, длина стороны BE прямоугольника равна .
Задача 8. Дан прямоугольный треугольник ABD(B=90°); AB=1, . С помощью циркуля и линейки достроить основание AB данного треугольника так, чтобы получившийся отрезок был больше AB на число .
Р ешение. Делим отрезок AB точкой C в отношении . Далее находим точку O – середину отрезка . Затем из точки A проводим окружность радиусом . Из точек A и B как из центров проводим окружности радиусом, равным . Эти окружности пересекают прямую AB в точках M и N. Сумма длин отрезков · , а длина отрезка , что больше отрезка AB на величину Ф.
Если ещё поделить отрезок AB пополам точкой S и из неё провести окружность радиусом , то она также пересечёт продолжение отрезка AB в точках Mи N. Последнее построение завершает красивую симметричную композицию.
З адача 9. Построить правильный пятиугольник по данной стороне AB=1.
Решение. Находим на отрезке AB точку C золотого сечения. Из точкиB как из центра проводим окружность радиусом BC, которая пересекает продолжение отрезка AB в точке D. Строим две окружности с центрами A и B радиусом .
Одна из точек пересечения – точка E, третья вершина пятиугольника. Потом из точки B чертим окружность радиусом AB. Она пересекается с предыдущей окружностью в точке N, четвёртой вершине пятиугольника. Из точек A и E проводим окружности, радиусы которых равны длине отрезка AB (стороне правильного пятиугольника). Две последние окружности пересекаются в пятой вершине K пятиугольника.
Заключение
Задача о кроликах, очевидно, выражает некоторую общую закономерность роста, свойственную всем организмам, самой жизни. Поэтому закономерности ряда чисел Фибоначчи и порожденная ими золотая пропорция должны в той или иной форме проявляться в самых различных организмах: в их строении, эволюции, функционировании. И действительно, исследования ученых в самых разнообразных областях природы привели к открытию в них закономерностей, отвечающих числам Фибоначчи и золотой пропорции. Где только не находили числа Фибоначчи! И в картинах художников, и в кардиограмме, и в строении почв, и в деятельности мозга... Рациональные и иррациональные числа являются своеобразными противоположностями. Но природа едина, и её противоположности не только находятся в противодействии, борьбе, но и в единстве. И неудивительно, что многие иррациональные числа выражаются через совокупность целых чисел. Все три числа Ф ,π и е связаны между собой простыми отношениями и могут быть выражены в виде пределов бесконечных дробей, что является свидетельством единства рационального и иррационального в природе. На протяжении многих столетий человек в своём творчестве учился у природы, постигая законы её гармонии, её красоту. Метод золотой пропорции и «метод Фибоначчи» в настоящее время находят применение и в методологии научного исследования.
Таким образом, цель обозначенная в работе достигнута, исследовав связи золотого сечения и чисел Фибоначчи, рассмотрев некоторые свойства чисел Фибоначч и задачи, связанные с построением отрезка длины Ф, изучив «геометрию» чисел Фибоначчи.
Закономерности золотой пропорции и чисел Фибоначчи только начинают применяться в технике. Будем надеяться, что здесь они помогут создать высокоэффективные системы, организованные по законам природы.
Литература
Н. Васютинский, Золотая пропорция, М. «Молодая гвардия», 1990, с. 39-41, 224-226.
А. А. Артемов, Геометрия чисел Фибоначчи и других возвратных последовательностей второго порядка, Соросовский журнал, № 9, 2000, с. 110-114.
А. И. Азевич, От золотой пропорции к её производным, Ж. «Математика в школе», № 3, 1995, с. 55-57.
А. Щетников, Золотое сечение в античной математике, Г. «Математика», № 18, 2006, с. 29.
А. В. Жуков, Вездесущее чисдо π, научно-практический журнал «Математика для школьников», с. 56-59.