VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Сложные проценты

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Гришин Д.Е. 1

---

1МКОУ СОШ№1 г. Карабаша

Галиахметова О.А. 1

---

1МКОУ СОШ№1 г. Карабаша Челябинской обл.

Работа в формате PDF

328.2 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в

настоящее время необходимо каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экономическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. В школьном курсе математики тема «Проценты» и задачи на проценты изложены не компактно, не четко. Учащихся при подходе к итоговой аттестации в 9-х и 11-х классах сталкиваются с проблемой решения задач на проценты, а они есть в ЕГЭ. Рассказывая о процентах, я углубился в их историю и происхождение. Я рассмотрел во всех областях нашей жизни применение процентов. На конкретных примерах убедился в их актуальности и значимости. В заключении систематизируя полученные результаты исследования, мной формулируется вывод.

Во время работы с проектом была в основном использована

литература для подготовки к ЕГЭ по заданной теме.

Цель исследования

Рассмотреть общий подход к решению задач на сложные проценты;

Сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач;

Научиться применять знания о процентах в повседневной жизни;

Выявить на текущий момент самый выгодный вклад и взятие кредита на рынке банковских услуг в городе Карабаше.

Предмет исследования

Проценты и области их применения.

Задачи исследования

1. Выяснить историю происхождения процентов; 2. Найти задачи со сложными процентами, выяснить их методы решения; 3. Раскрыть роль сложных процентов в школьных предметах; 4. Показать важность умения рассчитывать проценты в различных профессиях: медицине, бухгалтерии, кулинарии, металлургии, ювелирном деле и в банковском деле; 5. Провести исследование предложений по кредитам и вкладам трех банков (ПАО "Сбербанк", ПАО "Челиндбанк", ПАО "УБРиР") на территории города Карабаша и сделать вывод, какое из предложений наиболее выгодное.

1. История возникновения процентов

Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях родилась ещё в древности у вавилонян, в их клинописных табличках уже содержались задачи на расчёт процентов. Были известны проценты и в Индии, где с давних пор вёлся счёт в десятичной системе счисления. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.

Денежные расчеты с процентами были особенно распростране­ны в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, кото­рые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый про­цент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян процен­ты перешли к другим народам.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять процен­ты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таб­лицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.

В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584г. он впервые опубликовал таблицу процентов. Введение процентов было удобным для определения содержания одного вещества в другом; в процентах стали измерять количественное изменение производства товара, рост и спад цен, рост денежного дохода и т.д.

Знак «%» происходит от итальянского слова “cento” (сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо “cto”. Отсюда путём дальнейшего упрощения буквы “t” в наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента. Другая версия происхождения этого знака заключается в том, что в Париже в 1685 году наборщик книги-руководства по коммерческой арифметике допустил опечатку – вместо “cto” написал “%”. Долгое время под процентами понимались исключительно при­быль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Уже в далекой древности широко было распространено ростовщичество - выдача денег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Известно, что в XIV-XV вв. В Западной Европе широко распространились банки - учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленниками и т. д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: за пользование предоставленными деньгами они брали плату, как и ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за еди­ницу).

2. Проценты в математике

2.1 Определение процента

Процент - это сотая доля числа, принимаемого за целое. Если речь идет о проценте от данного числа, то это число и принимается за 100 %. Например, 1 % от зарплаты - это сотая часть зарплаты; 100 % зарплаты - это сто сотых частей зарплаты, т. е. вся зарплата. Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть центнера - это килограмм. 1 % - одна сотая доля числа. Как известно из практики, с помощью процентов часто показы­вают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характе­ризующей значимость произошедшего изменения. Величина, выраженная в процентах, является более наглядной, понятной, ее легко сравнить с другими значениями. Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых в одних и тех же долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целым.

2.2 Определение сложных процентов

Сложные проценты - это форма расчета дохода, основанная на присоединении к сумме долга начисленных, но невыплаченных процентов, начисление процентов на проценты, расчет процентов на два или большее число периодов, проводимый таким образом, что процент начисляется не только на исходную сумму, но и на процент, начисленный в предыдущем периоде. При расчетах применяют сложные дискретные проценты, начисляемые за фиксированные интервалы времени.

Формула сложных процентов

Для начисления процентов по вкладам (депозитам) и кредитам, применяются следующие формулы процентов:

1. формула простых процентов

2. формула сложных процентов.

В данной исследовательской работе мы остановимся на сложных процентах.

Большинство банков, предлагают вклады с ежемесячной капитализацией, т.е. с начислением сложных процентов.

Формула сложных процентов выглядит так:

SUM=X * (1 + p*d/y) ⁿ

где
SUM - конечная сумма
X - начальная сумма
p - процентная ставка (процентов годовых / 100) по вкладу,
например, если ставка 10,5%, то p = 10,5 / 100 = 0,105
d - период (количество дней), по итогам которого происходит капитализация (начисляются проценты),
например, если капитализация ежемесячная, то d = 30 дней
если капитализация раз в 3 месяца, то d = 90 дней;
y - количество дней в календарном году (365 или 366).
n - количество периодов, лет (месяцев, кварталов).

Примеры сложных процентов:

Пример 1:

Какая сумма будет на счете через два года, если на него положены 2 млн. рублей под 40% годовых? Капитализация ежемесячная.

X=2000000 рублей

p=0,4

d=30 дней

y=365 дней

n=12

По формуле SUM=X(1+p*d/y)ⁿнаходим, что SUM=2000000(1+0,4*30/365)¹² = 2948572,59 рублей.

Ответ: 2948572,59 рублей.

Пример 2:

Начальный вклад клиента Сбербанка составил 100 тысяч рублей. Зная, что процентная ставка Сбербанка 10% годовых, определить, какая сумма будет на счете этого клиента через 6 лет, если капитализация раз в 3 месяца?

X=100000 рублей

p=0,1

d=90 дней

y=365 дней

n=72

По формуле SUM=X(1+p*d/y)ⁿнаходим, что SUM=100000(1+0,1*90/365)⁷² = 577655,77 рублей.

Ответ: 577655,77 рублей.

3. Сложные проценты в реальной жизни

3.1 Сложные проценты в школьных предметах

Сложные проценты в истории:

В годы Великой Отечественной войны 600000 горьковчан воевали на фронтах. За проявленное в бою мужество 300 наших земляков удостоены высшей награды Родины – звания Героя Советского Союза. Более 50% (300000) горьковчан награждены боевыми орденами и медалями.

26% всех истребителей было произведено для фронта в г.Горьком, и это составляет 16324 самолета. За годы войны г.Горький изготовил для фронта 28227 танков, из них 61% – ГАЗ. В первые дни войны прошла массовая мобили­зация и квалифицированные рабочие стали солдатами. Им на смену приш­ли женщины и подростки без квали­фикации и рабочего опыта. За первый год войны в заводские цеха пришло 11478 человек, что составило примерно 30% общего числа трудового коллектива. С началом ВОВ на ГАЗе было свернуто производство легковых автомобилей, на конвейере оставили только грузовики. Это были прежде всего легендарные “полуторки” – ГАЗ ММ. “Машина-солдат” – она спасла Ленинград в те страшные годы...
За годы войны ГАЗ выпустил 167220 автомобилей, из них 71% (117325 штук) полуторок. Перед наступлением на Ленинград Гитлер заявил: “Ленинград сам поднимет руки: он неминуемо падет, раньше или позже. Никто оттуда не освободится, никто не прорвется через наши линии. Ленинграду суждено умереть голодной смертью”. Но это пророчество Гитлера не сбылось. В Ленинграде продолжали работать хлебозаводы, пекари продолжали печь хлеб. Из чего же состоял блокадный хлеб? С начала 1941 г. хлеб выпекался из смеси и имел следующий состав:

Сложные проценты в географии:

На уроках географии учитель нередко использует проценты, например: Всем известно, что воздух это смесь газов. Воздух состоит из: 78,1% азота, 20,9% кислорода и 0,9% аргона (данное соотношение их содержания сохраняется до высоты порядка 100 км). На долю данных газов приходится 99,96% массы атмосферы. Пресная вода - это вода Земли, в которой соли содержатся в минимальных количествах, солёность которой не превышает 0,1 %, даже в форме пара или льда. Ледяные массивы (к примеру айсберги) в полярных регионах и ледники содержат в себе наибольшую часть пресной воды Земли. Помимо этого, пресная вода существует в реках, ручьях, подземных водах, пресных озёрах, а также в облаках. По разным подсчётам доля пресной воды в общем количестве воды на Земле составляет 2,5—3 %. Около 85—90 % запасов пресной воды содержится в виде льда.

Сложные проценты в биологии: Каждый человек имеет индивидуальные параметры, определяющие его физическое развитие: рост, вес, жизненная емкость легких и т. п., причем значения этих параметров могут сильно варьировать для некоторой группы людей, оставаясь при этом в пределах нормы. Указать среднее значение параметра физического развития (значение в норме) позволяет процент. В организме человека насчитывается 400-600 мышц. У новорожденного масса мышц составляет 20-22% от общего веса тела, масса мышц у мужчин составляет 40-45%, у женщин (в возрасте 22-25 лет) – 30% от массы тела; в пожилом возрасте отмечается постепенное уменьшение массы мускулатуры до 25-30%. Сердце – небольшой полый мышечный орган. У человека оно с кулак и весит всего 300 г., это примерно 0,4-0,5% веса всего тела. 85% энергии сердца расходуется на продвижение крови по артериолам и капиллярам и только 15% – на продвижение по крупным и средним артериям и венам.

Сложные проценты в химии: В химии умение рассчитать проценты необходимо довести до совершенства, ведь это требуется и при выполнении химических опытов, и при решении задач. Растворы состоят из растворителя и растворенного вещества (веществ). Если одним из составляющих раствор веществ является жидкость, а другими – газы или твердые вещества, то растворителем обычно считают жидкость. В других случаях растворителем считают тот компонент, которого больше. Газообразным раствором является, например, воздух и другие смеси газов. К твердым растворам принадлежат многие металлические сплавы.

Каким бы не было агрегатное состояние растворителя, в его названии обязательно указывается "сколько процентов вещества растворено в определенном объеме растворителя". Чем больше вещества растворено, тем раствор концентрированней. Часто для того, чтобы растворить большее количество вещества, его подогревают до определенной температуры. Соляная кислота  - HCl, раствор хлороводорода в воде; сильная кислота. Бесцветная (техническая соляная кислота желтоватая из-за примесей Fe, Cl₂ и др.), "дымящая" на воздухе, едкая жидкость. Максимальная концентрация хлороводорода при 20 °C равна 38%. В химии используется семь разновидностей соляной кислоты: 10 %, 20 %, 30 %, 32 %, 34 %, 36 % и 38 %.

Всем известно, что желудочный сок человек имеет кислую среду, это возможно благодаря наличию в желудочном соке 0.3 – 0,5% соляной кислоты.

Сложные проценты в экономике: Ежегодно экономисты всего мира изучают, как изменился рост экономики каждого государства (покупательская способность граждан):

Из таблицы видно, что в США наблюдается повышение "роста экономики" на 0,3%, а в России изменения не произойдут.

3.2 Сложные проценты в различных профессиях

Сложные проценты в медицине: Медицинские работники ежедневно сталкиваются с умением рассчитать проценты, например, при внутримышечных инъекциях, для разбавления препарата, используется 1 % раствор ледокаина. Отечественная промышленность выпускает только 2% раствор ледокаина, соответственно перед тем, как сделать пациенту укол, медсестра разбавляет ледокаин водой для инъекций в нужной пропорции. Если этого не сделать, то пациент получит ожог. Одна из основных задач фармакологии – разработка лекарственных препаратов, помогающих в борьбе с тем или иным заболеванием. Фармацевты, опытным путем, используя теоретическое знание, составляют растворы лекарственных веществ в таких пропорциях, чтобы оказать помощь организму человека, и в то же время не нанести вред. Покупая любое лекарство больной перед его использованием внимательно изучает инструкцию к нему, в которой подробно перечислен состав препарата с указанием процентного содержания всех входящих в него веществ.

Сложные проценты в кулинарии: Уксус - это одна из самых древних приправ, которая используется в приготовлении множества кулинарных рецептов, а также для консервации продуктов на зиму. Вот только разнообразие блюд требует различного процентного содержания уксуса. В некоторые блюда рецептура требует наличия уксуса 70%, в то время как в другие достаточно добавить 6 или 9-процентный уксус. А так как под рукой не всегда можно найти уксус нужного процентного содержания, то приходится самостоятельно производить расчет количества воды, который необходимо добавить в уксусную кислоту, чтобы получить уксус с необходимым процентом кислоты.

Сложные проценты в бухгалтерии: Бухгалтер любого предприятия ежемесячно рассчитывает прибыль, полученную предприятием, начисляет заработную плату всем сотрудникам предприятия, производит отчисления в налоговую инспекцию, пенсионный фонд, в фонд социального страхования и прочие. Все отчисления рассчитываются индивидуально для каждого сотрудника, но при этом бухгалтер пользуется единой для всех процентной ставкой, например, налог на заработную плату (НДФЛ) в России составляет 13 %, отчисления на пенсию составляют 22 %, отчисления на медицинское обслуживание составляет 5,1 %, в фонд социального страхования – 2,9 %. В итоге общая сумма отчислений с зарплаты работника составляет (13+22+5,1+2,9)%/(100+22+5,1+2,9) = 33,1%. На руки, то есть чистыми или ещё говорят нетто-зарплата, работник получает около 66,9% от общей величины затрат предприятия на оплату труда и страховые взносы в фонды по данному работнику. В случае, если годовой фонд заработной платы работника превышает облагаемую базу для страховых взносов в фонды, наступает регресс (снижение величины эффективной ставки), поскольку с суммы, превышающей базу, предприятие выплачивает в фонды не 30%, а 10%. Соответственно эффективная ставка налогообложения в Россия является регрессивной (чем больше заработная плата – тем меньше налог), в отличие от многих развитых экономик, где налогообложение прогрессивное (чем больше заработная плата – тем больше налоги).

Сложные проценты в металлургии: Умение вычислять проценты очень важно при приготовлении сплавов, например, для получения сплава стали берется не менее 45 % железа и не более 2,14 % углерода, а также легирующие элементы (от процентного содержания которых зависит назначение полученного сплава стали). Нержавеющая сталь - легированная сталь, устойчивая к коррозии в атмосфере и агрессивных средах. Основной легирующий элемент нержавеющей стали - хром Cr (12-20 %); помимо хрома, нержавеющая сталь содержит элементы, сопутствующие железу в его сплавах (С, Si, Mn, S, Р), а также элементы, вводимые в сталь для придания ей необходимых физико-механических свойств и коррозионной стойкости (Ni, Mn, Ti, Nb, Co, Mo). Сопротивление нержавеющей стали к коррозии напрямую зависит от содержания хрома: при его содержании 13 % и выше сплавы являются нержавеющими в обычных условиях и в слабоагрессивных средах, более 17 % — коррозионностойкими и в более агрессивных окислительных и других средах, в частности, в азотной кислоте крепостью до 50 %.

Сложные проценты в ювелирном деле: Золото всегда было не просто украшением, а символом власти, статуса, богатства и роскоши. Сплава золота 585 пробы состоит из 58,5 процентов чистого золота и лигатуры (двух других металлов): меди не более 34 процентов и серебра. Из-за достаточно большого количества золота, внешний вид изделия из 585 пробы не тускнеет в процессе эксплуатации. Медь в сплаве придает изделиям из 585 пробы особую прочность и твердость. В мире существует и множество других проб золота.

Разные оттенки 585 пробы создаются ювелирным производителем при добавлении лигатурных металлов в определенных количествах. Например, можно вспомнить при изготовлении белого золота, в сплав добавляют 58,5% чистого золота и лигатурные металлы – никель или палладий. Преобладание никеля придает изделию слегка желтоватый оттенок. Обычные изделия из 585 пробы традиционно имеют легкий розовый оттенок. Расцветки сплава 585 пробы золота варьируются от зеленого до светло-жёлтого. Самыми престижными, по международным стандартам, считаются изделия из золота 750 пробы. На цвет изделий сплава золота 750 пробы, включающих кроме чистого золота – 75%, влияют лигатурные металлы:
Красное золото: серебро – 4%, медь – 21% 
Желтое золото: серебро – 15%, медь – 10% 
Зеленое золото: серебро – 25% 
Белое золото: серебро – 7%, палладий – 14%, никель – 4%.

Сложные проценты в банковском деле:

Мною было проведено исследование, задачей которого являлось выяснить: 1. В каком из банков города Карабаша выгоднее брать кредит; 2. В каком из банков города Карабаша выгоднее вкладывать деньги Результаты моего исследования представлены в таблице:

Кредиты

Вклады

Таким образом, выгоднее брать кредит в банке под названием ПАО "Сбербанк", а выгоднее вкладывать деньги в банк под названием ПАО "УБРиР".

Заключение

Роль процентов в жизни человека велика. Они имеют широкое практическое применение в промышленности, медицине, науке и многих других отраслях. С помощью процентов более ярко можно донести нужную информацию до любого человека. Проценты помогают многое нам узнать, надо только уметь понимать, о чем они "говорят". Хоть проценты и не очень хорошо изучаются в обычных учебных

заведениях, но уже сейчас люди подставляют их в различные олимпиады,

тестирования, ЕГЭ и в другие проверяющие знания задания. Со временем

проценты еще дальше протиснутся в нашу жизнь. И их незнание просто не

позволит дальнейшему развитию общества.

Список использованной литературы

1. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. Составители: Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. – М.: Интеллект-Центр, 2004.

2. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. Составители: Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. – М.: Интеллект-Центр, 2005.

3. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Авт. –сост. В. Н. Студенецкая, Л. С. Сагателова. – Волгоград: «Учитель»,2007. – 205 с.

4. Сборник задач по математике с решениями. 7-11 кл. Под ред.М.И.Сканави. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21век»; ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003.Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике. – М.: Айрис, Рольф, 1998.

5. Титаренко А.М. Форсированный курс подготовки к экзамену по математике. Практикум, 5770 задач. Учебное пособие. – М.:Эксмо, 2005.