Какую роль в нашей жизни играют фигурные числа

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Загороднев А.В. 1

---

1МБОУ "Карагайская средняя общеобразовательная школа №1"

Ашмарина Н.С. 1

---

1МБОУ "Карагайская средняя общеобразовательная школа №1"

Работа в формате PDF

0.9 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

«Понятие ‏ㅤчисла ‏ㅤи ‏ㅤфигуры ‏ㅤвзято ‏ㅤне ‏ㅤоткуда-нибудь, ‏ㅤ ‏ㅤ

а ‏ㅤтолько ‏ㅤиз ‏ㅤдействительного ‏ㅤмира» 
Ф. ‏ㅤ Энгельс

Две ‏ㅤ стихии ‏ㅤ господствуют ‏ㅤ в ‏ㅤ математике ‏ㅤ – ‏ㅤ числа ‏ㅤ и ‏ㅤ фигуры ‏ㅤ с ‏ㅤ их ‏ㅤ бесконечным ‏ㅤ многообразием ‏ㅤ свойств ‏ㅤ и ‏ㅤ взаимосвязей. ‏ㅤ Само ‏ㅤ возникновение ‏ㅤ понятия ‏ㅤ числа ‏ㅤ – ‏ㅤ одно ‏ㅤ из ‏ㅤ гениальнейших ‏ㅤ проявлений ‏ㅤ человеческого ‏ㅤ разума.
Не ‏ㅤ случайно ‏ㅤ открытие ‏ㅤ числа ‏ㅤ – ‏ㅤ одно ‏ㅤ из ‏ㅤ самых ‏ㅤ гениальных ‏ㅤ проявлений ‏ㅤ человеческого ‏ㅤ разума. ‏ㅤ История ‏ㅤ чисел ‏ㅤ увлекательна ‏ㅤ и ‏ㅤ загадочна. ‏ㅤ Одна ‏ㅤ из ‏ㅤ версий ‏ㅤ – ‏ㅤ присутствие ‏ㅤ в ‏ㅤ них ‏ㅤ строгих ‏ㅤ числовых ‏ㅤ закономерностей, ‏ㅤ присущим ‏ㅤ рядам ‏ㅤ фигурных ‏ㅤ чисел.

Это ‏ㅤ историческое ‏ㅤ понятие ‏ㅤ восходит ‏ㅤ к ‏ㅤ пифагорейцам, ‏ㅤ учение ‏ㅤ которых ‏ㅤ о ‏ㅤ числах ‏ㅤ тесно ‏ㅤ переплеталось ‏ㅤ с ‏ㅤ учением ‏ㅤ о ‏ㅤ геометрических ‏ㅤ фигурах. ‏ㅤ Пифагорейцы ‏ㅤ составляли ‏ㅤ числа ‏ㅤ из ‏ㅤ костяшек ‏ㅤ или ‏ㅤ камешков, ‏ㅤ изображали ‏ㅤ в ‏ㅤ виде ‏ㅤ точек, ‏ㅤ группируемых ‏ㅤ в ‏ㅤ фигуры. ‏ㅤ Такое ‏ㅤ представление ‏ㅤ чисел ‏ㅤ облегчало ‏ㅤ им ‏ㅤ изучение ‏ㅤ свойств ‏ㅤ чисел. ‏ㅤ В ‏ㅤ дальнейшем ‏ㅤ эти ‏ㅤ числа ‏ㅤ получили ‏ㅤ название  ‏ㅤ фигурные ‏ㅤ ‏ㅤ [2].

На ‏ㅤ уроке ‏ㅤ математики ‏ㅤ ‏ㅤ в ‏ㅤ 6 ‏ㅤ классе ‏ㅤ ‏ㅤ во ‏ㅤвремя ‏ㅤизучения ‏ㅤобыкновенных ‏ㅤдробей ‏ㅤв ‏ㅤучебнике ‏ㅤматематики ‏ㅤ(автор ‏ㅤ ‏ㅤ – ‏ㅤ ‏ㅤВиленкин ‏ㅤН.Я.) ‏ㅤесть ‏ㅤнебольшая ‏ㅤисторическая ‏ㅤсводка ‏ㅤо ‏ㅤфигурных ‏ㅤчислах ‏ㅤ[1]. ‏ㅤЭто ‏ㅤи ‏ㅤподтолкнуло ‏ㅤнас ‏ㅤк ‏ㅤисследованию ‏ㅤтемы, ‏ㅤцелью ‏ㅤкоторой, ‏ㅤстало ‏ㅤпоказать, ‏ㅤчто ‏ㅤфигурные ‏ㅤчисла ‏ㅤвстречаются ‏ㅤв ‏ㅤповседневной ‏ㅤжизни, ‏ㅤпросто ‏ㅤлюди ‏ㅤоб ‏ㅤэтом ‏ㅤне ‏ㅤзадумываются. ‏ㅤ ‏ㅤНам ‏ㅤ захотелось ‏ㅤ подробнее ‏ㅤ изучить ‏ㅤ этот ‏ㅤ вопрос.

Актуальность ‏ㅤтемы: ‏ㅤеще ‏ㅤПифагор ‏ㅤсказал: ‏ㅤ«Числа ‏ㅤправят ‏ㅤмиром». ‏ㅤДействительно, ‏ㅤчисла ‏ㅤокружают ‏ㅤнас ‏ㅤповсюду. ‏ㅤС ‏ㅤпомощью ‏ㅤних ‏ㅤне ‏ㅤтолько ‏ㅤзаписывают ‏ㅤрезультаты ‏ㅤизмерений, ‏ㅤсравнивают ‏ㅤвеличины, ‏ㅤвычисляют, ‏ㅤно ‏ㅤдаже ‏ㅤрисуют, ‏ㅤпроектируют, ‏ㅤсочиняют, ‏ㅤиграют, ‏ㅤделают ‏ㅤумозаключения, ‏ㅤвыводы.

Проблема: ‏ㅤ ‏ㅤкакую ‏ㅤ роль ‏ㅤ в ‏ㅤ нашей ‏ㅤ жизни ‏ㅤ играют ‏ㅤ фигурные ‏ㅤ числа?

Начиная ‏ㅤисследование ‏ㅤмы ‏ㅤвыдвигаем ‏ㅤгипотезу: в ‏ㅤнаше ‏ㅤвремя ‏ㅤфигурные ‏ㅤчисла ‏ㅤне ‏ㅤпотеряли ‏ㅤсвою ‏ㅤактуальность, ‏ㅤ ‏ㅤ фигурные ‏ㅤ числа ‏ㅤ являются ‏ㅤ не ‏ㅤ просто ‏ㅤ удачным ‏ㅤ сочетанием ‏ㅤ групп ‏ㅤ точек, ‏ㅤ но ‏ㅤ и ‏ㅤ имеют ‏ㅤ широкое ‏ㅤ применение ‏ㅤ в ‏ㅤ жизни ‏ㅤ человека.

Объект ‏ㅤисследования: фигурные ‏ㅤчисла.

Предмет ‏ㅤисследования: использование ‏ㅤфигурных ‏ㅤчисел ‏ㅤв ‏ㅤматематике ‏ㅤи ‏ㅤв ‏ㅤповседневной ‏ㅤжизни.

Цель: ‏ㅤболее ‏ㅤглубокое ‏ㅤизучение ‏ㅤи ‏ㅤисследование ‏ㅤодно ‏ㅤиз ‏ㅤпонятий ‏ㅤматематики ‏ㅤ – ‏ㅤфигурное ‏ㅤчисло ‏ㅤи ‏ㅤвыявление ‏ㅤего ‏ㅤроли в ‏ㅤжизни ‏ㅤчеловека.

Задачи:

собрать ‏ㅤпо ‏ㅤразличным ‏ㅤнаучным ‏ㅤи ‏ㅤучебным ‏ㅤисточникам ‏ㅤматериал ‏ㅤпо ‏ㅤданной ‏ㅤтеме  ‏ㅤи ‏ㅤпроанализировать  ‏ㅤего;

рассмотреть  ‏ㅤисторию ‏ㅤвозникновения ‏ㅤфигурных ‏ㅤчисел;

выяснить, ‏ㅤ на ‏ㅤ какие ‏ㅤ виды ‏ㅤ делятся ‏ㅤ фигурные ‏ㅤ числа;

рассмотреть ‏ㅤвозможности ‏ㅤприменения ‏ㅤфигурных ‏ㅤчисел ‏ㅤв ‏ㅤповседневной ‏ㅤжизни.

Методы ‏ㅤисследования: ‏ㅤизучение ‏ㅤлитературы ‏ㅤпо ‏ㅤданной ‏ㅤтеме, ‏ㅤнаблюдение, ‏ㅤанализ, ‏ㅤсоциологический ‏ㅤопрос ‏ㅤзнакомых ‏ㅤи ‏ㅤодноклассников

В ‏ㅤисследовательской ‏ㅤработе ‏ㅤмы ‏ㅤрешили ‏ㅤзаглянуть ‏ㅤза ‏ㅤстраницы ‏ㅤшкольного ‏ㅤучебника ‏ㅤи ‏ㅤрассмотреть ‏ㅤисторию ‏ㅤфигурных ‏ㅤчисел, ‏ㅤ ‏ㅤопределение ‏ㅤи ‏ㅤвиды ‏ㅤфигурных ‏ㅤчисел, ‏ㅤ ‏ㅤих   ‏ㅤиспользование ‏ㅤне ‏ㅤтолько ‏ㅤв ‏ㅤматематике, ‏ㅤно ‏ㅤи ‏ㅤв ‏ㅤповседневной ‏ㅤжизни ‏ㅤчеловека.

Основная часть

Из ‏ㅤистории ‏ㅤфигурных ‏ㅤчисел

Давным-давно, ‏ㅤпомогая ‏ㅤсебе ‏ㅤпри ‏ㅤсчёте ‏ㅤкамушками, ‏ㅤлюди ‏ㅤобращали ‏ㅤвнимание ‏ㅤна ‏ㅤправильные ‏ㅤфигуры, ‏ㅤкоторые ‏ㅤможно ‏ㅤвыложить ‏ㅤиз ‏ㅤкамушков. ‏ㅤМожно ‏ㅤпросто ‏ㅤкласть ‏ㅤкамушки ‏ㅤв ‏ㅤряд: ‏ㅤодин, ‏ㅤдва, ‏ㅤтри. ‏ㅤЕсли ‏ㅤкласть ‏ㅤих ‏ㅤв ‏ㅤдва ‏ㅤряда, ‏ㅤчтобы ‏ㅤполучались ‏ㅤпрямоугольники, ‏ㅤто ‏ㅤполучаются ‏ㅤвсе ‏ㅤчётные ‏ㅤчисла. ‏ㅤМожно ‏ㅤвыкладывать ‏ㅤкамни ‏ㅤв ‏ㅤтри ‏ㅤряда: ‏ㅤполучаются ‏ㅤчисла, ‏ㅤделящиеся ‏ㅤна ‏ㅤтри ‏ㅤи ‏ㅤт.д.

Древние ‏ㅤгреки, ‏ㅤкогда ‏ㅤим ‏ㅤприходилось ‏ㅤумножать ‏ㅤчисла, ‏ㅤрисовали ‏ㅤпрямоугольники; ‏ㅤрезультатом ‏ㅤумножения ‏ㅤтрёх ‏ㅤна ‏ㅤпять ‏ㅤбыл ‏ㅤпрямоугольник ‏ㅤсо ‏ㅤсторонами ‏ㅤтри ‏ㅤи ‏ㅤпять. ‏ㅤЭто ‏ㅤразвитие ‏ㅤсчёта ‏ㅤна ‏ㅤкамушках. ‏ㅤМножество ‏ㅤзакономерностей, ‏ㅤвозникших ‏ㅤпри ‏ㅤдействиях ‏ㅤс ‏ㅤчислами, ‏ㅤбыли ‏ㅤобнаружены ‏ㅤдревнегреческими ‏ㅤучёными ‏ㅤпри ‏ㅤизучении ‏ㅤчертежей. ‏ㅤС ‏ㅤих ‏ㅤпомощью ‏ㅤможно ‏ㅤвыложить ‏ㅤправильные ‏ㅤгеометрические ‏ㅤфигуры: ‏ㅤтреугольники, ‏ㅤквадраты, ‏ㅤпирамиды ‏ㅤи ‏ㅤт.д. ‏ㅤ[4].

«Числа ‏ㅤдревними ‏ㅤгреками, ‏ㅤа ‏ㅤвместе ‏ㅤс ‏ㅤними ‏ㅤПифагором ‏ㅤи ‏ㅤпифагорейцами ‏ㅤмыслились ‏ㅤзримо, ‏ㅤв ‏ㅤвиде ‏ㅤкамешков, ‏ㅤразложенных ‏ㅤна ‏ㅤпеске ‏ㅤили ‏ㅤна ‏ㅤсчётной ‏ㅤдоске ‏ㅤ – ‏ㅤабаке. ‏ㅤПо ‏ㅤэтой ‏ㅤпричине ‏ㅤгреки ‏ㅤне ‏ㅤзнали ‏ㅤнуля, ‏ㅤтак ‏ㅤкак ‏ㅤего ‏ㅤневозможно ‏ㅤбыло ‏ㅤ«увидеть». ‏ㅤНо ‏ㅤи ‏ㅤединица ‏ㅤещё ‏ㅤне ‏ㅤбыла ‏ㅤравноправным ‏ㅤчислом, ‏ㅤа ‏ㅤпредставлялась ‏ㅤкак ‏ㅤнекий ‏ㅤ«числовой ‏ㅤатом», ‏ㅤиз ‏ㅤкоторого ‏ㅤобразовывались ‏ㅤвсе ‏ㅤчисла. ‏ㅤПифагорейцы ‏ㅤназывали ‏ㅤединицу ‏ㅤ«границей ‏ㅤмежду ‏ㅤчислом ‏ㅤи ‏ㅤчастями», ‏ㅤт.е. ‏ㅤмежду ‏ㅤцелыми ‏ㅤчислами ‏ㅤи ‏ㅤдробями, ‏ㅤно ‏ㅤв ‏ㅤто ‏ㅤже ‏ㅤвремя ‏ㅤвидели ‏ㅤв ‏ㅤней ‏ㅤ«семя ‏ㅤи ‏ㅤвечный ‏ㅤкорень». ‏ㅤЧисло ‏ㅤже ‏ㅤопределялось ‏ㅤкак ‏ㅤмножество, ‏ㅤсоставленное ‏ㅤиз ‏ㅤединиц. ‏ㅤОсобое ‏ㅤположение ‏ㅤединицы ‏ㅤкак ‏ㅤ«числового ‏ㅤатома» ‏ㅤроднило ‏ㅤеё ‏ㅤс ‏ㅤточкой, ‏ㅤсчитавшейся ‏ㅤ«геометрическим ‏ㅤатомом». ‏ㅤВот ‏ㅤпочему ‏ㅤАристотель ‏ㅤписал: ‏ㅤ«Точка ‏ㅤесть ‏ㅤединица, ‏ㅤимеющая ‏ㅤположение, ‏ㅤединица ‏ㅤесть ‏ㅤточка ‏ㅤбез ‏ㅤположения» ‏ㅤ[3].

Определение ‏ㅤи ‏ㅤвиды ‏ㅤфигурных ‏ㅤчисел

Числа-камушки ‏ㅤраскладывались ‏ㅤв ‏ㅤвиде ‏ㅤправильных ‏ㅤгеометрических ‏ㅤфигур, ‏ㅤэти ‏ㅤфигуры ‏ㅤклассифицировались. ‏ㅤТак ‏ㅤвозникли ‏ㅤчисла, ‏ㅤсегодня ‏ㅤименуемые ‏ㅤ ‏ㅤфигурными. ‏ㅤФигурные ‏ㅤчисла ‏ㅤ – ‏ㅤэто ‏ㅤобщее ‏ㅤназвание ‏ㅤчисел, ‏ㅤсвязанные ‏ㅤс ‏ㅤтой ‏ㅤили ‏ㅤиной ‏ㅤгеометрической ‏ㅤфигурой.

Применение фигурных чисел в жизни человека

Исследование по данной теме велось таким образом, основные исследования были посвящены ответам на два вопроса: где мы встречаемся с фигурными числами; замечаем ли фигурные числа вокруг нас?

Обсуждая вопрос с мамой, встречаются ли фигурные числа у нас в быту или дома, был дан утвердительный ответ: «Да, встречаются». Например, окна нашего дома, книги на полках образуют ряды линейных чисел, кнопки на домашнем телефоне, на пульте для телевизора расположены в форме плоских чисел, постельное белье в стопках – телесные числа, клавиши на клавиатуре копьютера – треугольные и линейные числа (Приложение 1).

Далее, пройдя по местным магазинам и улицам, мы увидели, что фигурные числа встречаются на витринах – при упаковке различных товаров, а современные архитектурные сооружения, – сейчас уже редко имеют форму обычного параллелепипеда. Витрины магазинов обильно украшены не просто продуктами, а замысловатыми сооружениями пирамидальных форм. Аналогичные формы имеют упаковки фруктов, конфет, подарков (Приложение 2).

Проводя опрос среди знакомых, нам стало известно, что фигурные числа мы видим по телевизору, когда 9 мая на параде солдаты стоят правильными рядами, образуя ‏ㅤ квадраты ‏ㅤ или ‏ㅤ прямоугольники ‏ㅤ в ‏ㅤ форме ‏ㅤ плоских ‏ㅤ чисел; ‏ㅤ во ‏ㅤ время ‏ㅤ показательных ‏ㅤ выступлений ‏ㅤ лётчиков, ‏ㅤ когда ‏ㅤ самолёты ‏ㅤ в ‏ㅤ воздухе ‏ㅤ образуют ‏ㅤ треугольные ‏ㅤ или ‏ㅤ другие ‏ㅤ фигурные ‏ㅤ числа ‏ㅤ (Приложение 3). ‏ㅤ ‏ㅤ ‏ㅤ

На ‏ㅤ уроках ‏ㅤ математики ‏ㅤ мы ‏ㅤ встречались ‏ㅤ с ‏ㅤ фигурными ‏ㅤ числами ‏ㅤ – ‏ㅤ при ‏ㅤ изучении ‏ㅤ формулы ‏ㅤ площади ‏ㅤ прямоугольника ‏ㅤ используется ‏ㅤ понятие ‏ㅤ плоского ‏ㅤ числа, ‏ㅤ которое ‏ㅤ представляется ‏ㅤ виде ‏ㅤ произведения ‏ㅤ двух ‏ㅤ сомножителей ‏ㅤ – ‏ㅤ длины ‏ㅤ и ‏ㅤ ширины. ‏ㅤ При ‏ㅤ вычислении ‏ㅤ объёма ‏ㅤ прямоугольного ‏ㅤ параллелепипеда ‏ㅤ применяется ‏ㅤ понятие ‏ㅤ телесного ‏ㅤ числа, ‏ㅤ выражаемого ‏ㅤ произведением ‏ㅤ трёх ‏ㅤ сомножителей ‏ㅤ – ‏ㅤ длины, ‏ㅤ ширины ‏ㅤ и ‏ㅤ высоты. ‏ㅤ ‏ㅤ

К ‏ㅤ фигурным ‏ㅤ числам ‏ㅤ можно ‏ㅤ отнести ‏ㅤ пирамидальные ‏ㅤ числа, ‏ㅤ которые ‏ㅤ получаются, ‏ㅤ если ‏ㅤ шарики ‏ㅤ складывать ‏ㅤ пирамидкой. ‏ㅤ Как ‏ㅤ раньше ‏ㅤ складывались ‏ㅤ ядра ‏ㅤ ‏ㅤ около ‏ㅤ пушки ‏ㅤ (Приложение ‏ㅤ 4).

Оказывается, ‏ㅤ мы ‏ㅤ встречаемся ‏ㅤ с ‏ㅤ фигурными ‏ㅤ числами ‏ㅤ всюду ‏ㅤ и ‏ㅤ каждый ‏ㅤ день, ‏ㅤ но ‏ㅤ не ‏ㅤ задумываемся ‏ㅤ об ‏ㅤ этом. ‏ㅤ Фигурные ‏ㅤ числа ‏ㅤ мы ‏ㅤ видим ‏ㅤ на ‏ㅤ улицах ‏ㅤ и ‏ㅤ в ‏ㅤ магазинах, ‏ㅤ по ‏ㅤ телевизору ‏ㅤ и ‏ㅤ дома, ‏ㅤ они ‏ㅤ ‏ㅤ окружают ‏ㅤ нашу ‏ㅤ жизнь ‏ㅤ и ‏ㅤ мы ‏ㅤ живем ‏ㅤ среди ‏ㅤ них. ‏ㅤ

Заключение

Выполнение ‏ㅤ исследовательской ‏ㅤ работы ‏ㅤ было ‏ㅤ начато ‏ㅤ с ‏ㅤ изучения ‏ㅤ и ‏ㅤ анализа ‏ㅤ различного ‏ㅤ рода ‏ㅤ материала ‏ㅤ по ‏ㅤ данной ‏ㅤ теме. ‏ㅤ Рассматривая ‏ㅤ историю ‏ㅤ возникновения ‏ㅤ фигурных ‏ㅤ чисел, ‏ㅤ мы ‏ㅤ узнали, ‏ㅤ что ‏ㅤ учение ‏ㅤ о ‏ㅤчислах ‏ㅤбыло ‏ㅤтесно ‏ㅤсвязано ‏ㅤс ‏ㅤучением ‏ㅤо ‏ㅤгеометрических ‏ㅤфигурах. ‏ㅤВыяснили, ‏ㅤна ‏ㅤкакие ‏ㅤвиды ‏ㅤделятся ‏ㅤфигурные ‏ㅤчисла ‏ㅤи ‏ㅤрассмотрели ‏ㅤих ‏ㅤприменения ‏ㅤв ‏ㅤповседневной ‏ㅤжизни.

Таким ‏ㅤ образом, ‏ㅤ мы ‏ㅤ пришли ‏ㅤ к ‏ㅤ выводу ‏ㅤ об ‏ㅤ актуальности ‏ㅤ данной ‏ㅤ темы, ‏ㅤ а ‏ㅤ значит ‏ㅤ можно ‏ㅤ с ‏ㅤ уверенностью ‏ㅤ сказать, ‏ㅤ что ‏ㅤ невозможно ‏ㅤ представить ‏ㅤ современную ‏ㅤ жизнь ‏ㅤ без ‏ㅤ фигурных ‏ㅤ чисел, ‏ㅤ потому ‏ㅤ что ‏ㅤ мы ‏ㅤ встречаемся ‏ㅤ с ‏ㅤ ними ‏ㅤ каждый ‏ㅤ день, ‏ㅤ они ‏ㅤ окружают ‏ㅤ нас ‏ㅤ повсюду, ‏ㅤ мы ‏ㅤ живем ‏ㅤ среди ‏ㅤ них. ‏ㅤ

В ‏ㅤ процессе ‏ㅤ работы ‏ㅤ по ‏ㅤ данной ‏ㅤ теме ‏ㅤ цель ‏ㅤ ‏ㅤ и ‏ㅤ задачи ‏ㅤ ‏ㅤ полностью ‏ㅤ выполнены. ‏ㅤ ‏ㅤГипотеза ‏ㅤподтвердилась ‏ㅤв ‏ㅤтом, ‏ㅤчто ‏ㅤв ‏ㅤнаше ‏ㅤвремя ‏ㅤфигурные ‏ㅤчисла ‏ㅤне ‏ㅤпотеряли ‏ㅤсвою ‏ㅤактуальность, ‏ㅤ они ‏ㅤ являются ‏ㅤ не ‏ㅤ просто ‏ㅤ удачным ‏ㅤ сочетанием ‏ㅤ групп ‏ㅤ точек, ‏ㅤ но ‏ㅤ и ‏ㅤ имеют ‏ㅤ широкое ‏ㅤ применение ‏ㅤ в ‏ㅤ жизни ‏ㅤ человека.

Библиографический ‏ㅤсписок

Виленкин ‏ㅤН.Я. ‏ㅤМатематика. ‏ㅤ6 ‏ㅤкласс: ‏ㅤучебник ‏ㅤдля ‏ㅤобщеобразовательных ‏ㅤучреждений ‏ㅤ/ ‏ㅤН.Я. ‏ㅤ ‏ㅤВиленкин, ‏ㅤВ.И. ‏ㅤ ‏ㅤЖохов, ‏ㅤА.С. ‏ㅤЧесноков, ‏ㅤС.И. ‏ㅤ ‏ㅤШварцбурд. ‏ㅤ – ‏ㅤМ.: ‏ㅤМнемозина, ‏ㅤ2013. ‏ㅤ – ‏ㅤ288 ‏ㅤ ‏ㅤс.

Кордемский ‏ㅤМ.А. ‏ㅤУдивительный ‏ㅤмир ‏ㅤчисел. ‏ㅤКнига ‏ㅤдля ‏ㅤстарших ‏ㅤклассов ‏ㅤсредней ‏ㅤшколы ‏ㅤ/ ‏ㅤМ.А. ‏ㅤ ‏ㅤКордемский, ‏ㅤА.А. ‏ㅤ ‏ㅤАхадов. ‏ㅤ – ‏ㅤМ. ‏ㅤ: ‏ㅤПросвещение, ‏ㅤ1986. ‏ㅤ – ‏ㅤ142 ‏ㅤс. ‏ㅤ ‏ㅤ

Энзенбергер ‏ㅤ Х.М. ‏ㅤ Дух ‏ㅤ числа. ‏ㅤ Книга ‏ㅤ под ‏ㅤ подушку ‏ㅤ для ‏ㅤ всех, ‏ㅤ кто ‏ㅤ боится ‏ㅤ математики. ‏ㅤ – ‏ㅤ ‏ㅤ М.: ‏ㅤ издательство ‏ㅤ «СТРАТА», ‏ㅤ 2013. ‏ㅤ – ‏ㅤ 257 ‏ㅤ ‏ㅤ с.

Энзенбергер ‏ㅤХ.М. ‏ㅤДух ‏ㅤчисла. ‏ㅤМатематические ‏ㅤприключения. ‏ㅤ ‏ㅤСказка. ‏ㅤ ‏ㅤХарьков, ‏ㅤ2004. ‏ㅤ – ‏ㅤ272 ‏ㅤ ‏ㅤс.

Фигурные ‏ㅤчисла. ‏ㅤ ‏ㅤВикипедия ‏ㅤ[Электронный ‏ㅤресурс]. ‏ㅤ ‏ㅤРежим ‏ㅤдоступа: ‏ㅤ ‏ㅤURL:https://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%E8%E3%F3%F0%ED%FB%E5_%F7%E8%F1%EB%E0 ‏ㅤ ‏ㅤ(дата ‏ㅤобращения: ‏ㅤ17 ‏ㅤянваря ‏ㅤ2019 ‏ㅤг.)

Фигурные ‏ㅤчисла. ‏ㅤНаучная ‏ㅤбиблиотека ‏ㅤ[Электронный ‏ㅤресурс]. ‏ㅤ ‏ㅤРежим ‏ㅤдоступа: ‏ㅤ ‏ㅤ ‏ㅤ ‏ㅤhttp://sernam.ru/book_e_math.php?id=147 ‏ㅤ ‏ㅤ(дата ‏ㅤобращения: ‏ㅤ ‏ㅤ9 ‏ㅤянваря ‏ㅤ2019 ‏ㅤг.)

Приложение ‏ㅤ 1

Применение ‏ㅤ фигурных ‏ㅤ чисел ‏ㅤ в ‏ㅤ жизни ‏ㅤ человека

Приложение ‏ㅤ2

Применение ‏ㅤ фигурных ‏ㅤ чисел ‏ㅤ в ‏ㅤ жизни ‏ㅤ человека

Приложение ‏ㅤ 3

Применение ‏ㅤ фигурных ‏ㅤ чисел ‏ㅤ в ‏ㅤ жизни ‏ㅤ человека

Применение ‏ㅤ фигурных ‏ㅤ чисел ‏ㅤ в ‏ㅤ жизни ‏ㅤ человека

Приложение ‏ㅤ 4

Применение ‏ㅤ фигурных ‏ㅤ чисел ‏ㅤ в ‏ㅤ жизни ‏ㅤ человека