VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Теорема Вариньона как альтернативный способ решения планиметрических задач
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у нас занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона. Почти каждая геометрическая задача нестандартна. В работе рассказывается о Пьере Вариньоне, его достижениях; рассмотрено доказательство его теоремы для различных видов четырёхугольников; показано, что справедливость теоремы не зависит от выпуклости четырёхугольника, продемонстрировано применение теоремы.
Параллелограмм Вариньона — надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности. Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Более подробному изучению этой теоремы, которая будет экономить моё время, я и решил посвятить свою исследовательскую работу. Я захотел убедиться в том, что «Параллелограмм Вариньона»— надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности.
Объект исследования: параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее.
Гипотеза: параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении планиметрических задач.
Цель исследования: изучить теорему Вариньона, исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
Задачи исследования:
Изучить теоретический материал: параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее.
Рассмотреть различные приемы решения планиметрических задач.
Сравнить решения одной и той же задачи, применяя теорему Вариньона и традиционный подход.
Выяснить практическое применение данной теоремы в задачах по геометрии школьного курса и в конкурсных задачах.
Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и используя теорему Вариньона.
Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.
Создание творческих проектов по теме исследования.
Методы исследования: изучение литературы, сбор информации о
параллелограмме Вариньона, выполнение чертежей к задачам, осмысление
собранной информации.
Проблема исследования: доказать тот факт, что при решении задач использование теоремы Вариньона и следствий из нее значительно сокращает временные затраты, что позволяет экономить время на экзаменах, олимпиадах и математических конкурсах.
Актуальность темы:
1. Данная тема является дополнением изученных в курсе геометрии свойств.
2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень логической культуры.
3. Изучение данной темы поможет подготовиться к успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах и при подготовке к ОГЭ.
Основные теоретические сведения
Определение основных понятий
Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.
Одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому механику и инженеру Пьеру Вариньону, написавшему учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 г.), в котором эта теорема впервые и появилась.
Вариньон Пьер (1654–1722)
французский математик, член Парижской Академии наук, профессор математики коллежа Мазарини.Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был другом Ньютона, Лейбница и Бернулли.
1.2.Теорема Вариньона.
Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.
|
Дано: – выпуклый четырехугольник Доказать: KLMN – параллелограмм; |
Доказательство:
1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника , например . Так как является средней линией треугольника , то . По тем причинам MN ║AC . Следовательно, . таким образом, - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника
2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма составляет половину площади четырехугольника
Теорема доказана.
1.3. Следствия из теоремы.
1.3.1. Следствие 1.
Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:
а) диагонали равны;
б) бимедианы перпендикулярны.
а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.
|
Дано: ABCD – четырехугольник; KLMN – параллелограмм Вариньона; AC=BD Доказать: KLMN – ромб |
Доказательство:
Так как (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.
Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то диагонали исходного четырёхугольника равны.
б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.
|
б) |
Дано: – четырехугольник; – параллелограмм Вариньона; перпендикулярны Доказать: – ромб |
Доказательство:
Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).
Что и требовалось доказать.
Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то бимедианы исходного четырёхугольника перпендикулярны.
Следствие 2. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:
а) диагонали перпендикулярны
б) бимедианы равны
а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны,
то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.
Дано:
B
четырехугольник ;
– параллелограмм Вариньона;
M
L
диагонали – перпендикулярны;
A
Доказать: – квадрат
C
N
K
D
Доказательство:
Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.
Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то диагонали исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.
Доказательство:
Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником. Что и требовалось доказать.
Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны.
б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.
L
C
B
Дано:
четырехугольник ABCD;
M
K
KLMN – параллелограмм Вариньона;
A
бимедианы KM и LN – равны
N
D
Доказать: KLMN – прямоугольник
Доказательство:
Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).
Что и требовалось доказать.
Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является
прямоугольником, то бимедианы исходного четырёхугольника равны.
Следствие 3. Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:
а) диагонали равны и перпендикулярны;
б) бимедианы равны и перпендикулярны.
а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом.
Дано:
четырехугольник ABCD;
KLMN – параллелограмм Вариньона;
диагонали AC и BD – перпендикулярны;
AC=BD
Доказать: KLMN – квадрат
Доказательство:
Так как диагонали исходного четырехугольника равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.
Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то диагонали исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.
1.3.2. Следствие 2.
Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Доказательство:
Пусть – бимедианы – отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD.
То, что бимедианы точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки их точкой пересечения делятся пополам (обращаем внимание на то, что в невыпуклом четырехугольнике одна из диагоналей расположена вне четырехугольника).
Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем:
Тем самым, – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки их точкой пересечения делятся пополам.
Что и требовалось доказать.
1.3.3. Следствие 3 - теорема Эйлера.
Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверённый квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть
Доказательство:
Уже было отмечено что – параллелограмм (см. док. следствия 2)
Поэтому по свойству параллелограмма Вариньона
1) ;
В последнем равенстве мы дважды воспользовались теоремой о средней линии треугольника. Аналогично для параллелограмма имеем:
.
Кроме того, по свойству параллелограмма Вариньона ,
Складывая первые два равенства и учитывая последнее, получаем соотношение Эйлера:
│∙2
Что и требовалось доказать.
2.1. Задачи из школьного курса геометрии.
Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые встречаются в школьном курсе геометрии.
Задача 1.
Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Дано: – четырехугольник
Доказать: – параллелограмм
Доказательство:
1 способ
Проведем АС и рассмотрим треугольник
средняя линия, следовательно
Рассмотрим треугольник ADC, NM – средняя линия,
следовательно
следовательно,
, следовательно, .
параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны)
2 способ
параллелограмм Вариньона (по определению)
Что и требовалось доказать.
Задача 2.
Докажите, что
а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Доказательство.
а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1.3.а);
Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1.3.б).
б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 1.2.а);
Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 1.2.б).
Что и требовалось доказать.
2.2. Конкурсные задачи.
Задача 3.
Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника.
M
Решение.
В
А
L
N
O
D
K
Отсюда получаем, что
Что и требовалось доказать.
Задача 4. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.
N
D
C
L
B
K
M
D
A
N
Дано:
четырехугольник;
Доказать:
Доказательство:
Так как диагонали , параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Что и требовалось доказать.
3. Решение задач с использованием теоремы Вариньона и без её использования
L
Задача 5. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот.
N
M
K
D
C
B
А
Доказательство:
Первый способ
1. диагональ. средняя линия треугольника средняя линия треугольника ADC. Треугольники и равны по третьему признаку равенства треугольников ( общая сторона) Также параллелограмм.
2. Из первого следует, что Аналогично можно доказать, что 3. прямоугольник ромб.
2-ой способ
а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1.3.а);
б) Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см.следствие1.3.б).
Что и требовалось доказать.
Задача 6. У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
А
F
N
M
L
D
C
B
Первый способ (по школьной программе)
1) Т.к. средняя линия
2) Т.к. средняя линия 3) Т.к. средняя линия
4) Т.к. средняя линия
5)
Второй способ (с помощью параллелограмма Вариньона)
1) По теореме Вариньона параллелограмм.
2)
Ответ:
Вывод: параллелограмм Вариньона помогает решать задачи значительно быстрее.
Заключение
«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.
Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.
Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Созданы творческие проекты по теме исследования. Было подсчитано, что на решение одной задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решения трех задач добавят дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.
От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.
Приложение. Творческие работы по теме исследования