I Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО СРОКА «ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ЖИЗНИ» ОКОЛОЗЕМНОЙ ОРБИТЫ ПРИ РАЗМНОЖЕНИИ КОСМИЧЕСКОГО МУСОРА В СООТВЕТСТВИИ С ЭФФЕКТОМ КЕССЛЕРА

• Файлы работы

Работа в формате PDF

239 KB

Список сокращений…………………………………………………………...……2

Введение ………………………………………………………………………...….3

Основная часть исследований …………………………………………............….4

1. Общая характеристика предложенного подхода к моделированию процесса роста засоренности орбит космическим мусором ……………………………….4

2. Прогнозирование предельного срока «экологической жизни» околоземной орбиты ……………………………………………………………………………….5

3. Пример прогнозирования предельного срока «экологической жизни» околоземной орбиты ………………………………………………………………………8

Заключение ………………………………………………………………..……….10

Список использованных источников и литературы ……………………..…...…11

Список сокращений

КА – космический аппарат;

КМ – космический мусор;

НМ – нечеткое множество;

ОКМ – объект космического мусора;

ОКП – околоземное космическое пространство;

ТНМ – теория нечетких множеств;

ФП – функция принадлежности.

Введение

В данной научно-исследовательской работе рассмотрен один из путей решения проблемы прогнозирования предельного срока хозяйственного использования околоземной орбиты в случае, когда ее эксплуатация становится невозможной по причине сверхдопустимой засоренности космическим мусором (КМ) техногенного происхождения. Актуальность работы подтверждается многочисленными фактами повреждения действующих космических аппаратов (КА) и космических станций обломками космического мусора техногенного происхождения, возрастанием плотности космического мусора по данным систем контроля космического пространства, которая начинает увеличиваться в геометрической прогрессии в соответствии с механизмом цепного размножения космического мусора (эффектом Кесслера).

Цель работы – построение математической модели прогнозирования предельного срока « экологической жизни» околоземных орбит в условиях прогрессирующего размножения космического мусора в соответствии с эффектом Кесслера. При выполнении научно-исследовательской работы основное внимание было уделено наиболее свежим источникам информации в рассматриваемой проблемной области (в основном, за последние 10 лет), при этом основная задача заключалась в анализе современных подходов к прогнозированию засоренности и создании модели, пригодной для применения в условиях недостаточного объема исходных данных, что отличает ее от других моделей.

Личный вклад автора работы в решение проблемы заключается в получении аналитического выражения, позволяющего спрогнозировать величину предельного срока «экологической жизни» околоземной орбиты как решение нечеткого уравнения, включающего нечетко заданную величину предельно допустимой плотности засоренности. Описан способ решения данного уравнения при треугольной форме функции принадлежности нечеткого множества значений предельно допустимой плотности засорения. Показано, каким образом преобразовать нечеткий результат прогнозирования к интервальной форме. Приведен пример прогнозирования предельного срока экологической жизни орбиты.

Основная часть исследований

1. Общая характеристика предложенного подхода к моделированию

процесса роста засоренности орбит космическим мусором

Одной из негативных тенденций, осложняющей дальнейшее освоение и использование околоземного космического пространства (ОКП) в интересах населения Земли, является тенденция его загрязнения космическим мусором [1]. Анализ доступной литературы [1,2,4-8,9] показывает, что на протяжении всей космической эры, начиная с 1957 года по настоящее время, степень засоренности ОКП неуклонно возрастала и будет продолжать расти, даже если полностью прекратить запуски космических аппаратов. Этот эффект (впервые описанный Дональдом Кесслером в 1978 году [10]) получил название эффекта каскадного размножения Кесслера. Механизм каскадного размножения Кесслера запускается при достижении плотностью КМ критического значения, после чего количество фрагментов увеличивается по экспоненте. Со временем процесс размножения КМ замедляется по причине уменьшения числа относительно крупных фрагментов мусора и связанного с этим преобладания упругого столкновения над неупругим. Можно выделить три стадии формирования космического мусора: I – стадию накопления критической плотности КМ, II- стадию каскадного размножения КМ и III – стадию стабилизации плотности КМ. Первая стадия характеризуется относительно невысокой скоростью роста числа объектов космического мусора (ОКМ). На второй стадии наблюдается ускорение процесса образования ОКМ за счет столкновения крупных фрагментов КМ с разрушением последних. Третья стадия характерна для ситуации, когда подавляющее большинство крупных фрагментов КМ разрушено, новых КА на рассматриваемую орбиту не выводится, а мелкие фрагменты сталкиваются, не образуя осколков.

В зависимости от стадии скорость возрастания плотности ОКМ во времени изменяется нелинейно, т.е. сначала возрастает, затем уменьшается до нуля. В то же время для удельной скорости , равной , характерен линейный вид зависимости. Удельная скорость роста плотности ОКМ, равная в начальный момент , по мере роста плотности ОКМ снижается, и при = становится равной нулю, т.е. процесс размножения ОКМ останавливается, а плотность ОКМ стабилизируется, асимптотически приближаясь к числу . Эта зависимость математически может быть записана в виде уравнения:

, (1)

где , где - начальное значение удельной скорости возрастания плотности ОКМ, фиксируемое на момент начала первой стадии; - максимальное установившееся значение плотности ОКМ по завершении третьей стадии

Приняв во внимание, что =, можно записать

или (2)

(3)

Уравнение (3) носит название уравнения Ферхюльста, впервые примененного бельгийским математиком П. Ферхюльстом в 1838 году для описания роста численности населения [11].

Решив дифференциальное уравнение (3), получаем логистическую кривую [9].

, (4)

где - начальное значение плотности ОКМ, фиксируемое на момент начала первой стадии.

1. Прогнозирование предельного срока «экологической жизни»

околоземной орбиты

Введем параметр , равный предельному значению плотности ОКМ, при достижении которого использование околоземной орбиты становится невозможным по критериям опасности или нерентабельности затрат на защиту КА от ОКМ. Предельным сроком «экологической жизни» околоземной орбиты будем называть интервал времени от начала ее использования до достижения предельного уровня загрязнения орбиты КМ.

Составим и решим относительно следующее уравнение:

(5)

Откуда

(6)

Окончание использования околоземной орбиты зависит от возможностей КА противостоять воздействию потока высокоэнергетических частиц КМ. При этом надо учитывать, что средства защиты с течением времени развиваются и включают в себя как пассивные, так и активные средства, построенные на различных физических принципах. Стоимость таких средств защиты различна, эффективность также отличается. Все это приводит к тому, что трудно назначить устраивающее всех конкретное значение . В связи с чем, выходом из положения может быть отказ от назначения одного фиксированного значения предельного уровня загрязнения орбиты в пользу рассмотрения некоторого спектра значений отличающихся по степени предпочтительности [3].

Математически такую идею можно реализовать, если использовать возможности теории нечетких множеств (ТНМ). С позиций ТНМ предельный уровень загрязнения орбиты космическим мусором зададим в виде нечеткого множества (НМ)

, (7)

функция принадлежности (ФП) которого имеет треугольную форму и описывается в аналитическом виде как:

(8)

С учетом (8) НМ можно кратко записать в виде тройки параметров:

=. (9)

Рассчитаем предельный срок «экологической жизни» околоземной орбиты при нечетком задании предельного уровня загрязнения орбиты космическим мусором. Для этого подставим (7) в формулу (6):

(10)

Результат нахождения функции вида (10) от нечеткого аргумента есть нечеткая величина , значения которой рассчитываются по формуле (6), а ФП совпадает с функцией ФП нечеткого аргумента (8).

Математически это правило можно записать следующим образом:

, , . (11)

В случае с треугольной функцией принадлежности вида (8) по аналогии с (9) ФП НМ можно записать в виде: , где

=; =; =. (12)

Способ прогнозирования предельного срока «экологической жизни» околоземной орбиты при нечетком задании предельного уровня загрязнения орбиты КМ показан на рис. 1.

Рассмотрим, как преобразовать нечеткий результат прогнозирования (12) к привычному четкому виду.

Альфа – сечением нечеткого множества называется обычное, то есть четкое подмножество, определяемое формулой: , . В зависимости от выбора конкретного значения могут быть найдены различные множества . Будем руководствоваться следующим правилом выбора. Чтобы наилучшим способом преобразовать НМ к четкому интервальному множеству, необходимо выбрать такое значение , при котором четкое множество наиболее близко к рассматриваемому НМ. В теории нечетких множеств доказано, что для того, чтобы наилучшим способом преобразовать НМ к четкому множеству, необходимо выбрать значение =0,5.

3. Пример прогнозирования предельного срока «экологической жизни» околоземной орбиты

Пусть: = 2015 год - момент начала первой стадии засорения околоземного космического пространства ОКМ; =10 [] - начальное значение плотности ОКМ, фиксируемое на момент начала первой стадии засорения ОКП; =1500 [] - максимальное установившееся значение плотности ОКМ по завершении третьей стадии засорения ОКП; = 0,05 [] - начальное значение удельной скорости возрастания плотности ОКМ, фиксируемое на момент начала первой стадии засорения ОКП; = == - нечеткое множество предельно допустимых значений плотности ОКМ, заданное треугольной функцией принадлежности, приведенной на рис. 2. При рассматриваемых исходных данных текущее значение плотности ОКМ будет изменяться во времени в соответствие с логистической кривой, описываемой выражением вида: , график которой показан на рис.3.

График функции принадлежности нечеткого множества предельного срока «экологической жизни» околоземной орбиты с параметрами, ==2087, =2096, ==2107, рассчитанными по формуле (12), приведен на рис. 4.12.

Преобразуем найденную нечеткую оценку предельного срока «экологической жизни» околоземной орбиты к четкому виду: =+0,5(-) = 2087+0,5(2096-2087)= 2091. =-0,5(-) = 2107-0,5(2107-2096)= 2101.

Итак, интервальная четкая оценка момента окончания срока «экологической жизни» околоземной орбиты по критерию ее засорения космическим мусором при рассмотренных исходных данных составляет:

=[2091; 2101] гг.

Заключение

В работе получены аналитические выражения для прогнозирования срока «экологической жизни» орбит космических аппаратов с учетом прогрессирующей по закону Кесслера засоренности околоземного космического пространства техногенным мусором.

Предполагается, что срок «экологической жизни» космической орбиты заканчивается, когда описываемая логистической кривой плотность КМ достигает некоторого предельного уровня. Показано, что величина данного предельного уровня зависит от нескольких факторов, в частности, от развития степени защиты КА от КМ и не может быть задана в виде фиксированного значения плотности. Предложено описывать предельное значение плотности КМ нечеткой величиной, задаваемой экспертно. При этом результат прогнозирования срока окончания «экологической жизни» космической орбиты есть нечеткий интервал времени, который в данной работе предложено преобразовывать в обычный четкий интервал методом оптимального вписывания прямоугольника в треугольную функцию принадлежности нечеткого интервала времени.

Разработанный способ отличается простотой и наглядностью и может служить основой получения предварительных оценок срока «экологической жизни» орбит КА, которые затем можно уточнять с помощью более сложных и более дорогих программно-моделирующих комплексов.

Список использованных источников и литературы

1.  

   1. Аппазов Р.Ф. Космический мусор как продукт деятельности человека // Эпизоды космонавтики: сайт. Режим доступа: http://www.epizodsspace.narod.ru/bibl/appazov/32.html (дата обращения 01.03.2015).

   2. Вениаминов С.С., Червонов А.М. Космический мусор — угроза человечеству / Под редакцией Р. Р. Назирова, О. Ю. Аксенова. - М.: ИКИ РАН, 2012. - 189 с.

   3. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. - М.: Мир, 1976.-165 с.

   4. Муртазов А.К. Физические основы экологии околоземного космического пространства. Учебное пособие.- Рязань: Изд-во РГУ им. С.А. Есенина, 2008.-272 с.

   5. Муртазов А.К. Экология околоземного космического пространства. – М.: Физматлит, 2004. – 304 с.

   6. Назаренко А. И. Моделирование космического мусора. М.: ИКИ РАН, 2013. - 216 с. (Серия - Механика, управление и информатика).

   7. Новиков Л.С. Основы экологии околоземного космического пространства. Учебное пособие.- М.: Университетская книга, 2006.-84 с.

   8. Смирнов Н.Н. Эволюция «космического мусора» в околоземном космическом пространстве // Успехи механики. 2002. Т. 1, № 2. С. 37-104.

   9. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. – М.: Статистика, 1977. – 200 с.

   10. Kessler D., Cour-Palais B. Collisional Frequency of Artificial Satellites: The creation of a debris belt // J. Geophysical Research. 1978. V. 83. N. A6. 1978.

   11. Verhulst, P. F., (1838). Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement. Correspondance mathématique et physique 10:113-121.