ЭЙЛЕР И ЕГО КРУГИ

I Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

ЭЙЛЕР И ЕГО КРУГИ

Ежов А.В. 1
1МКОУ Нижнекарачанская СОШ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Диплом школьника
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Оглавление

1. Введение ……………………………………………………………. 3

2. Немного истории: Эйлер, кто он? ………………………………….. 3

3. Действия с множествами ………………………………………….. . 4

4. Математическая шкатулка: --- ------------------------------------------- 5

  • Задачи на пересечении и объединение двух множеств

  • Задачи на пересечении и объединение трёх множеств

  • Задачи с использованием уравнений и их систем.

  • Авторские задачи

5. Заключение ………………………………………………………… 8

6. Литература ………………………………………………………...... 9

  1. Введение

  2. Логические задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Существует множество приемов, которые используются при решении текстовых логических задач. Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Решение можно красиво оформить с помощью кругов Эйлера, но в школьной программе не отводятся часы на изучение данной темы.

  3. Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными, просты и не вызывают особых умозаключений.

  4. Актуальность состоит в том, что задачи имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Задачи учат выбирать из множества способов решения, наиболее простой, легкий путь.

  5. Целью является исследование механизма решения определённых логических задач при помощи кругов Эйлера, познакомиться с жизнью и деятельностью ученого Эйлера.

  6. 2.Эйлер, кто он?

  7. Одним из первых, кто использовал для решения задач круги, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). Затем этот метод основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783).

  8. Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. Эйлеру было всего 16 лет, когда он на латинском языке произнёс речь, в которой дал сравнительный анализ философии Ньютона и Декарта. За эту речь Леонарду была присвоена учёная степень магистра искусств.

  9. В 1727г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

  10. За первые 14 лет, проведённых в России, Эйлер опубликовал около 70 научных трудов, был консультантом и экспертом по разным вопросам науки и техники. В сентябре 1783г. учёный стал ощущать головные боли и слабость. 18 сентября он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести «Я умираю» - и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг.

  11. Его похоронили на Смоленском кладбище в Петербурге

  12. 3. Действия с множествами

  13. Множество – одно из основных понятий математики. Его смысл выражается словами: совокупность, собрание, класс, набор, команда и т.д. Так, можно говорить о множестве всех учащихся 8-го класса, о множестве всех натуральных чисел, о множестве корней уравнения и т. д.

  14. Над множествами, как и над числами, производят операции: пересече­ние, объединение и разность.

  15. Пересечение множеств

  16. Возьмем множество X, состоящее из букв а, б, в, г, д, и множество Y, состоящее из букв г, д, е, ж:

  17. X = {а, б, в, г, д}, Y= {г, д, е, ж}.

  18. Эти множества имеют общие элементы г, д. Множества X и Y называются пересекающимися множествами. Множество общих элементов X и Y на­зывают пересечением множеств X и Y и обозначают с помощью знака :Х Y={г, д} (рис. 1).

  19. Пусть множество А = {1, 3, 5}. Множества А и X не имеют ни одного общего элемента. В таком случае множества А и X называются непересекающимися множествами. Пересечением множеств А и X являет­ся пустое множество: А  Х=  (рис. 2).

  23. Рис. 1 Рис.2

  24. Объединение множеств

  25. Если из элементов множеств X и Y составить новое множество, состоящее из всех элементов этих мно­жеств и не содержащее других элементов, то полу­чится объединение множеств Х и Y, которое обозна­чают с помощью знака: X Y= {а, б, в, г, д, е, ж)(рис. 3).

  26. Объединение множеств А и X не является пустым: А X = {1, 3, 5, а, б, в, г, д} (рис. 4).

  30. Рис. 3 Рис. 4

  31. Разность

  32. Разность множеств X и Y — это множество всех элементов из X, не являющихся элементами из Y. Разность обозначают ХY = {а, б, в} (рис. 5).

  37. Рис. 5

  38. 4. Математическая шкатулка:

  39. задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера

  40. Алгоритм решения задач с помощью кругов Эйлера.

  • Записываем краткое условие задачи.

  • Выполняем рисунок.

  • Записываем данные в круги (или в диаграмму Эйлера).

  • Выбираем условие, которое содержит больше свойств.

  • Анализируем, рассуждаем, не забывая записывать результаты в части круга.

  • Записываем ответ.

  • Задачи на пересечение и объединение двух множеств

  1. Задача № 1.

  2. Обитаемый остров" и "Стиляги"

  3. Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги». Из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

  4. Решение

  5. Чертим два множества.

  6. 6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.

  7. 15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров». 11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги». Получаем:

  8. Ответ.5 человек смотрели только «Стиляги».

  • Задачи на пересечение и объединение трёх множеств

  1. Задача №2. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 12 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и полузащитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

  2. Решение.

  8. 2+10+9+2+5+1=29(игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит, вратарей будет 30-29=1.

  9. Ответ:1 вратарь.

  • Задачи с использованием уравнений и их систем

  1. Задача №10. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

  2. Решение. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера:

  4. Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом — (12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:

  5. 20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2

  6. Аналогично получаем: х − 6 — только автобусом и х + 4 — только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:

  7. Х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30. х = 3.

  8. Ответ: 3

  9. Авторская задача

  10. Любимые мультфильмы

  11. Среди учащихся младших классов провел анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Алеша Попович и Тугарин Змей», «Ну, Погоди!», «Маша и Медведь». Всего было опрошено 42 человека. «Алеша Попович и Тугарин Змей» выбрали 17 учеников, среди которых трое назвали еще «Маша и Медведь», шестеро – «Ну, Погоди!», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Маша и Медведь» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Ну, Погоди!»?

  12. Решение

  13. В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Маша и Медведь » пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

  14. 17 – 2 – 5 –1= 9 - ребят выбрали только «Алеша Попович и Тугарин Змей»13 – 2 – 1 – 1 = 9 – ребят смотрят только «Маша и Медведь».

  15. Получаем, 42 – (13 + 2 + 1 + 5 + 1 + 9) = 11 – человек смотрят только «Ну, Погоди!». Делаем вывод, что «Ну, Погоди!» выбрали 11 + 1 + 1 + 5 = 18 человек. Ответ.18 человек выбрали мультфильм «Ну, Погоди!»

  16. 5.Заключение

  17. Я полагаю, что не стоит сомневаться в полезности данного способа решения задач, так как его наглядность упрощает и облегчает путь к их решению.

  18. Логика лежит в основе различных наук (естественных, общественных и технических), а также в основе любого учебного предмета, изучаемого в общеобразовательной школе. Логику должен знать каждый человек, чтобы мыслить правильно, т.е. непротиворечиво, доказательно, чётко.

  19. Логические задачи заставляют думать, рассуждать, составлять цепочку действий, что немаловажно в современной жизни. Применение кругов Эйлера позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными.

  21. Литература

  23. Задачи для внеклассной работы по математике в V – VI классах: Пособие для учителей Текст/ Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса, А. Л. Гавронского. М.: МИРОС, 1993

  24. Занимательная математика. 5 – 11 классы. Текст: (Как сделать уроки нескучными) / Авт. – сост. Т.Д. Гаврилова. Волгоград: Учитель, 2005.

  25. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики Пособие для учащихся 5 – 6 кл. Текст/ И.Я Депман. М.: Просвещение, 1999.

  26. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе.5–11 классы.Текст / А.В. Фарков. М.: Айрис–пресс, 2007.

  27. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика Текст/ Глав.ред. М.Д. Аксёнова. М.: Аванта +,2001.

  28. Иванищев Д. М. Поляна загадок – математика царица.

  29. http://doomatem1.narod.ru/

  30. Сопова С. С. Диаграмма Эйлера-Вена и "дерево". Взаимодополнение.

  31. http://doomatem1.narod.ru/

Просмотров работы: 1586