I Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ФОРМУЛА ПИКА ДЛЯ МНОГОУГОЛЬНИКОВ НА КВАДРАТНОЙ РЕШЕТКЕ
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Содержание
Введение..…………………………………………………………………………..……………2
I. Основные свойства решеток на плоскости..............................................................................3
II. Правильный треугольник на квадратной решетке………………..…..…...………………..5
III. Формула Пика для вычисления площадей многоугольников, расположенных на решетках…………………………………………………………………………………………………………..10
Заключение………...……………………………………………………………………………11
Список литературы…………..…………………………………………………………………12
Введение
На клетчатой бумаге нарисован многоугольник с вершинами в узлах клеток. Как найти его площадь, подсчитывая лишь количества узлов?
Решетка на плоскости является интересным средством, которое позволяет переводить аналитические задачи на геометрический язык и обратно.
В работе для решения задач рассматривается квадратная решетка, то есть решетка, узлы которой являются вершинами квадрата.
Цели работы:
1) поиск альтернативной формулы для вычисления площади многоугольника, расположенного на квадратной решетке;
2) доказательство формулы Пика для квадратной решетки.
Задачи работы:
1) научиться находить площади многоугольников, расположенных на решетке;
2) определить вид треугольника, который можно расположить на решетке;
3) применить формулу Пика для заданий из ЕГЭ по математике.
Гипотеза:
если многоугольник расположен на решетке и у него можно подсчитать количество узлов внутри контура и количество узлов на контуре, то можно найти его площадь, не разбивая на простые фигуры.
Методы исследования:
1) изучение литературы по теме «Многоугольники на решетках»;
2) экспериментальный;
3) анализ и обобщение полученных экспериментальных данных.
Предмет исследования: площадь плоского многоугольника.
Объект исследования: плоский многоугольник, расположенный на решетке.
I. Основные свойства решеток на плоскости
Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные параллелограммы; множество L всех точек пересечения этих прямых (или множество вершин всех параллелограммов) называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки — узлами решетки. Любой из этих параллелограммов называется фундаментальным параллелограммом или параллелограммом, порождающим решетку; площадь фундаментального параллелограмма решетки L обозначим через
S = S(L). [1]
Решетка состоит из точек (узлов), а сами прямые к ней не относятся. Одна и та же решетка может быть получена при помощи различных семейств параллельных прямых.
Простейшие свойства произвольных точечных решеток:
1) прямая, проходящая через два узла решетки, содержит бесконечно много узлов решетки. При этом все расстояния между соседними узлами, лежащими на этой прямой, равны между собой.
2) преобразование параллельного переноса плоскости, переводящего один узел решетки в другой ее узел, переводит решетку саму в себя.
3) решетка центрально-симметрична относительно середины любого отрезка, который соединяет два узла этой решетки. Более того, середины всех отрезков с концами в узлах данной решетки образуют новую решетку, включающую старую.
4) (правило параллелограмма.) Если три вершины параллелограмма являются узлами решетки, то и четвертая его вершина — тоже узел решетки.
5) если параллелограмм с вершинами в узлах решетки не содержит других узлов на сторонах и внутри себя, то он эту решетку порождает, т. е. является ее фундаментальным параллелограммом.
II. Правильный треугольник на квадратной решетке
Будем говорить, что некоторый многоугольник расположен на какой-либо решетке, если все его вершины совпадают с узлами этой решетки.
Проводя построение треугольников на квадратной решетке, были получены прямоугольные, равнобедренные и произвольные треугольники. Но правильный (равносторонний) треугольник не был построен ни в одном эксперименте.
Теорема 1. Равносторонний треугольник нельзя расположить на квадратной решетке.
Доказательство.
Предположим, что какой-либо правильный треугольник можно расположить на квадратной решетке нужным образом и что начало координат находится в одной из его вершин, а две другие его вершины имеют координаты (a, b) и (c, d).
Можно считать, что четыре целых числа a, b, c, d не имеют общих делителей, отличных от ±1. Последнее следует из того, что точки (0, 0), (a/k, b/k), (c/k, d/k) также являются вершинами правильного треугольника, если k —общий делитель всех четырех чисел (рис. 1).
Рисунок 1.
По теореме Пифагора a2 +b2 = c2 +d2 = (a−c)2 +(b−d)2.
Отсюда a2 +b2 = c2 +d2 = 2(ac+bd).
Следовательно, a2 +b2 + c2 +d2 = 4(ac+bd), то есть сумма квадратов четырех чисел делится на 4. Но тогда или все четыре числа четные, или все нечетные. Первое невозможно потому, что эти числа, по нашему выбору, взаимно просты. Второе же невозможно потому, что тогда не выполняется соотношение a2 +b2 = (a−c)2 +(b−d)2, так как его левая часть не делится на 4, а правая — делится. Получили противоречие, значит, равносторонний треугольник нельзя расположить на квадратной решетке.
III. Формула Пика для вычисления площадей многоугольников, расположенных на решетках
В работе рассматриваются простые многоугольники, то есть такие многоугольники, у которых границей является простая замкнутая несамопересекающаяся ломаная, и к каждой вершине примыкает ровно две стороны.[1] Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. [2]
Примитивные треугольники – такие треугольники, которые на своей границе и внутри себя не содержат узлов решетки, отличных от своих вершин.
Любой простой многоугольник имеет по крайней мере одну диагональ, которая целиком расположена внутри многоугольника. Отсюда следует, что простой многоугольник (не обязательно расположенный на решетке) можно разбить на (n−2) треугольника, все вершины которых являются вершинами исходного многоугольника; если многоугольник находится на решетке, то все вершины полученных треугольников являются узлами решетки.
Лемма 1. Любой простой многоугольник на решетке можно разбить на примитивные треугольники.
Доказательство.
1)Если треугольник является примитивным, то утверждение доказано.
2)Если внутри треугольника ABC нет точек решетки, но имеются узлы решетки на его сторонах, то, выбрав любую вершину, например A, соединим ее со всеми узлами решетки, которые имеются
на противоположной этой вершине стороне треугольника. Тогда все треугольники, кроме ABP и AQC, окажутся примитивными, а у этих двух крайних треугольников имеется по две стороны, которые не содержат узлов решетки (рис. 2). Соединив точки P и Q с узлами решетки, находящимися соответственно на сторонах AB и AC, мы разобьем треугольники ABP и AQC на примитивные треугольники. Поэтому любой треугольник на решетке, не содержащий внутри себя узлов решетки, можно разбить на примитивные треугольники.
Рисунок 2.
3) Пусть внутри данного треугольника имеются узлы решетки. Выбрав один из них, соединим его отрезками с вершинами исходного треугольника ABC (рис. 3). Проведенные отрезки разобьют ABC на три треугольника, которые внутри себя содержат меньше внутренних узлов решетки, чем их имел треугольник ABC.
Рисунок 3.
Поэтому, поступая аналогично с внутренними узлами решетки для каждого из полученных трех треугольников, мы разобьем каждый из них на треугольники с еще меньшим числом узлов решетки, которые находились в их «внутренностях». Так как мы имеем дело с конечным числом узлов решетки, то в какой-то момент мы разобьем треугольник ABC на треугольники, каждый из которых внутри себя не содержит узлов решетки. Дальнейшее разбиение на примитивные треугольники можно закончить, используя шаг 2).
Теорема 2. Вершины многоугольника расположены в узлах квадратной решётки. Внутри его лежит nузлов решётки, а на границе m узлов. Тогда его площадь равна
n+-1.
Доказательство.
Пусть многоугольник P имеет k вершин. Тогда на его границе имеется m −k узлов решетки, не являющихся вершинами многоугольника.
Через N обозначим число примитивных треугольников в каком-либо его разбиении на такие треугольники многоугольника P. Покажем, что число N не зависит от способа
разбиения. Каждый из узлов решетки, находящихся внутри P, участвует в разбиении на примитивные треугольники и сумма углов всех примитивных треугольников при каждом таком узле равна 360º (см. рис. 4 а). Поэтому сумма всех углов всех примитивных треугольников c вершинами во внутренних узлах решетки равна 360ºn.
Каждый из узлов решетки, который находится на границе многоугольника P, но не является его вершиной, также участвует в разбиении и является вершиной некоторых примитивных треугольников (рис. 4 б); сумма всех углов всех примитивных треугольников при таких вершинах равна 180º(m −k).
Рисунок 4.
Вершины многоугольника также являются вершинами некоторых примитивных треугольников разбиения (рис. 4 в).
Сумма всех углов всех примитивных треугольников при таких вершинах равна сумме внутренних углов многоугольника P и, то есть равна 180º(k −2).
Таким образом, для суммы всех углов всех примитивных треугольников, которая, с одной стороны, равна 180ºN, получаем равенство
180ºN = 360ºn +180º(m −k)+180º(k −2) и, следовательно,
N = 2n +m −2. Значит, число N не зависит от способа разбиения многоугольника.
Любой примитивный треугольник на квадратной решетке является половиной фундаментального квадрата, значит, площадь любого примитивного треугольника на решетке L равна S(L)/2. Отсюда следует, что
S(P)=n+-1.
Экспериментальная часть работы состояла в следующем:
- поиск формулы для треугольника 1) без узлов внутри и на сторонах, 2) с узлами на сторонах, 3) с узлами внутри, 4) с узлами внутри и на сторонах. Придумываем общую формулу.
- повторяем исследование для 4-угольников и для 5-угольников. Объединяя результаты, придумываем формулу для n-угольника.
Заключение
В работе для решения задач рассматривалась квадратная решетка.
Было доказано, что на квадратной решетке нельзя расположить правильный треугольник.
Доказана формула Пика для площади простого многоугольника, расположенного на квадратной решетке. Эта формула является альтернативой формул вычисления площади многоугольников.
Сделан вывод, что количество элементарных треугольников не зависит от способа
разбиения многоугольника. Поэтому, зная количество узлов внутри контура и количество узлов на контуре, можно найти площадь многоугольника, не разбивая его на простые фигуры.
В ходе серии вычислительных экспериментов был сформирован навык применения формулы Пика.
Формулу Пика можно успешно применять для заданий из ЕГЭ по математике как для многоугольников на решетке, так и для многоугольников на координатной плоскости, у которых вершины выражаются целочисленными координатами.
Список литературы
1. Вавилов В. В., Устинов А. В. Многоугольники на решетках.—М.: МЦНМО, 2006.
2. Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций. М.: Просвещение, 2013..
3. Прасолов В. В.П70 Задачи по планиметрии: Учебное пособие.—5-е изд., испр. и доп.—М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006.
4. Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В.-М.: Издательство «Экзамен», 2013.