I Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ВИДА Y=KX+B НА ПЛОСКОСТИ ПАРАМЕТРОВ (K;B)

• Авторы
• Файлы работы
• Наградные документы

Сугаков Р.В. 1

---

1МКОУ СОШ 8 с Тугулук

Работа в формате PDF

130.2 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьника

Введение..…………………………………………………………………………..……………2

I. Семейства прямых на координатной плоскости (х;у,) соответствующих точкам плоскости (k;b).............................................................................................................................3

II. Раскрашенные области…………….…………………………………..…...………………..5

III. Прямая на плоскости (k;b)…………………………………………………………..…..…10

Заключение………...……………………………………………………………………………11

Список литературы…………..…………………………………………………………………12

Введение

Уравнение вида y=kx+b задается как парой переменных x и y , так и парой параметров k, b. Поэтому возник вопрос, возможно ли изобразить прямую из плоскости ху соответствующим ей объектом в плоскости параметров (k;b), что будет представлять собой этот объект, как будут изображены семейства прямых со схожими свойствами.

Цели работы:

1. отображение графиков линейных функций на плоскости параметров;

2. определение семейства прямых, отображенных на плоскости параметров в виде прямых или областей;

Задачи работы:

1. научиться выполнять построения графиков линейных функций на плоскости параметров, и наоборот, уметь выполнить построение графика в плоскости ху по соответствующему объекту из плоскости параметров аb;

2. выяснить, какие семейства прямых из плоскости ху изображаются на плоскости параметров в виде прямых, в виде областей;

3. обобщить полученные результаты для правил построения любого семейства прямых.

Гипотеза:

если прямые на плоскости (x;y) пересекаются в одной точке или параллельны, то соответствующие им точки на плоскости (k;b) лежат на одной прямой.

Методы исследования:

1) экспериментальный;

2) аналитико – синтетический.

Предмет исследования: отображение графиков линейных функций на плоскость параметров (k, b).

Объект исследования: график линейной функции.

I. Семейства прямых на координатной плоскости (х;у,) соответствующих точкам плоскости (k;b)

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида y=kx+b, где x и y– переменные, k, b- некоторые числа.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая.

Рассмотрим координатную плоскость (k;b). Каждая прямая вида у=kх+b изображается на этой плоскости в виде точки с координатами (k;b).

Например, прямая у=2х+5 изображается на плоскости (k;b) в виде точки(2;5), а прямая у= -2 в виде точки (0;-2).

Выполняя построения графиков линейных функций на плоскости параметров, было замечено, что параллельные прямые отображаются на этой плоскости в виде точек, лежащих на одной прямой, перпендикулярной оси Оk (рис.1).

Действительно, у точек, лежащих на таких прямых координата k одинакова, а это коэффициент при х, по которому можно определить взаимное расположение графиков прямых на плоскости (x;y).

Чем ближе вертикальные прямые к началу координат, тем меньше угол наклона между возрастающими прямыми и осью Ох и больше угол наклона между убывающими прямыми и осью Ох (рис. 2).

II. Раскрашенные области

На плоскости, кроме точек и прямых, можно изображать области (будем их выделять цветом).

Рассмотрим следующую задачу: на координатной плоскости (k;b)изображено множество точек, соответствующее некоторому семейству прямых вида у=kх+b. На плоскости (х;у) все эти прямые покрашены. Изобразить на плоскости (х;у) получившуюся покрашенную область. Были получены следующие результаты (рис.3.1 – 3.6):

Рисунок 3.1

Рисунок 3.2

Рисунок 3.3

Рисунок 3.4

Рисунок 3.5

Рисунок 3.6

Точки внутри квадрата на плоскости (k;b) в 5 и 6 случаеимеют одинаковые закрашенные области на плоскости (х;у), потому что любая точка внутри квадрата лежит на отрезке, параллельном оси абсцисс плоскости (k;b)с концами на сторонах квадрата. На плоскости(х;у)это будет означать, что соответствующая выбранной точке прямая будет лежать в полосе между прямыми, соответствующими концам отрезка, то есть в покрашенной области.

Исследуем обратную задачу: на координатной плоскости (х;у) покрашено некоторое семейство прямых. В результате на плоскости получилась покрашенная область. Изобразите на координатной плоскости (k;b)множество точек, соответствующее этому семейству прямых. Оказывается, в некоторых случаях это можно сделать не единственным образом(рис. 4.1- 4.2).

Рисунок 4.1

Рисунок 4.2

Как видно из рисунка 4.2, возможно несколько решений. Например, объединение луча (полуоси ординат в положительном направлении) и отрезка [0;2] на оси абсцисс. Или объединение двух лучей: полуоси ординат в положительном направлении и параллельного луча с вершиной в точке (2;0).

III. Прямая на плоскости (k;b)

Рассмотрим на плоскости (k;b) прямую b=k. Каждая точка этой прямой задает на плоскости (х;у) прямую, а вся прямая b=k задает на плоскости (х;у) семейство прямых. Для определения свойства семейства прямых сначала были взяты несколько конкретных точек на прямой b=k и построены соответствующие им прямые на плоскости (х;у). Оказалось, что все прямые проходят через точку (-1;0).

Докажем это утверждение. Так как b=k, тона плоскости (х;у) мы получаем семейство прямых вида у=kx+k. Если записать их в виде у=k(x+1), то можно заметить, что все эти прямые проходят через точку (-1;0).

На координатной плоскости (k;b)проведем три прямые, проходящие через одну точку. Каждая такая прямая изображает пучок прямых на плоскости (х;у). Три точки на плоскости (х;y), через которые проходят соответствующие пучки прямых, сами лежат на одной прямой.

На координатной плоскости (k;b)проведем три параллельные прямые. Каждая такая прямая изображает некоторое семейство прямых на плоскости (х;у). Три точки на плоскости (х;y), через которые проходят соответствующие пучки прямых, также лежат на одной прямой.

В случае пересечения три точки лежат на наклонной прямой, а в случае параллельности прямая вертикальна.

Можно сделать вывод, что три параллельные прямые и три прямые, имеющие общую точку, ведут себя одинаково (их образы лежат на одной прямой). Если договориться считать, что параллельные прямые также имеют общую точку – бесконечно удалённую, то не надо будет рассматривать эти два случая отдельно.

Заключение

В ходе исследования были выполнены построения графиков линейных функций на плоскости параметров, и наоборот, выполнены построения графика в плоскости (х;у) по соответствующему объекту из плоскости параметров (к;b). Графики и их образы выполнялись как вручную, так и с помощью программы «Математический конструктор».

Были сделаны следующие выводы:

- семейство пересекающихся прямых в одной точке из плоскости (х;у) изображается на плоскости параметров в виде прямой;

- замкнутая область из плоскости параметров представляет собой закрашенную область, ограниченную двумя парами пресекающихся прямых;

- образы параллельных прямых лежат на одной прямой, перпендикулярной оси Оk в плоскости параметров.

Одинаковое поведение образов параллельных прямых и прямых, имеющих общую точку (лежат на одной прямой), позволяет не рассматривать эти случаи отдельно, если считать, что параллельные прямые также имеют общую точку – бесконечно удалённую.

Было доказано, что прямая b=k задает на плоскости (х;у) семейство пересекающихся прямых, проходящих через точку (-1;0).

Предположение о том, что если прямые на плоскости (x;y) пересекаются в одной точке или параллельны, то соответствующие им точки на плоскости (k;b) лежат на одной прямой, подтвердилось.

Результаты исследования можно использовать на факультативных занятиях в старших классах при введении понятия проективной плоскости, а также для углубленного изучения свойств графиков линейной функции.

Планируется создать программу для построения образов линейной функции на плоскости параметров и для обратной задачи.

.

Список литературы

1. Алгебра. 7 класс: учеб. Для общеобразоват. организаций/ [Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. – М.:Просвещение, 2013.-256с.

2. Р. Курант, Г. Робинс «Что такое математика?», МЦНМО, 2001.

3. С.Л. Табачников, Д.Б. Фукс «Математический дивертисмент», МЦНМО, 2011.

4. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметрами», Авангард, 2007.

5. Шноль Дмитрий Эммануилович. Дидактические материалы для проведения серии уроков по теме: «Плоскости параметров (k;b) линейной функции у=kх+b».

6. Д.Э. Шноль, А.И. Сгибнев. Элементы исследования на уроке и на кружке.