I Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ В МНОГООБРАЗИЯХ ПОРОЖДЕННЫХ АЛГЕБРАМИ КАРТАНОВСКОГО ТИПА
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1 Введение
1.1 Введение
1.2 Цели работы
2 Разрешимые алгебры Ли
2.1 Разрешимые алгебры Ли
2.2 Инвариантная билинейная форма Киллинга
2.3 Критерий полупростоты Картана
3 Простые алгебры Ли в многообразиях алгебр картановского типа
3.1 Алгебры картановского типа
3.2 Тождества в алгебрах Ли картановского типа
4 Заключение
4.1 Заключение
4.2 Список литературы
1 Введение
1.1 Введение
В работе изучаются алгебры картановского типа, удовлетворяющие нетривиальному лиеву тождеству. В работе доказано что всякая алгебра Ли картановского типа над полем нулевой характеристики из многообразия алгебры всех дифференцирований алгебры степенных рядов является алгеброй картановского типа тогда, когда она удовлетворяет нетривиальому тождеству вида
где сумма берется на множестве , . В работе доказан критерий полупростоты Картана. Доказано что всякая алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда алгебра Ли невырождена. Приведенный способ доказательства основан на критерии разрешимости Картана. Все приведенные в работе поля, если не упоминается о их характеристике, являются полями нулевой характеристики.
1.2 Цели работы
-
Доказать критерий разрешимости Картана
-
Доказать что всякая алгебра Ли из многообразия алгебры всех дифференцирований алгебры степенных рядов от конечного числа переменных, удовлетворяющая нетривиальному тождеству, является алгеброй картановского типа
-
Изучить алгебры Ли, удовлетворяющие тождественным соотношениям
-
Изучить тождества алгебр Ли картановского типа из многообразий экспоненциального роста
2 Разрешимые алгебры Ли
2.1 Разрешимые алгебры Ли
Всюду в этом параграфе характеристика поля .
Определим последовательность коммутантов алгебры Ли следующим образом
Определение 2.1.1 Алгебра Ли называется разрешимой, если существует такое , что . Критерий разрешимости алгебр Ли был сформулирован Э.Картаном.
Теорема 2.1.1 Пусть - конечномерная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Тогда алгебра Ли разрешима, если для всякого , .
Доказательство теоремы приведено в работе [2].
2.2 Инвариантная билинейная форма Киллинга
Пусть - алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем ().
Определение 2.2.1 Билинейной формой называется функция линейная по каждому аргументу
где , .
Определение 2.2.2 Билинейной формой Киллинга будем называть отображение , .
Билинейная форма Киллинга инвариантна, так как выполнено следующее тождество
2.3 Критерий полупростоты Картана
Обозначим через наибольший разрешимый идеал в .
Определение 2.3.1 Алгебра Ли называется полупростой, если .
Определение 2.3.2 Алгебра Ли называется невырожденной, если для всякого ненулевого , существует такой , что .
Теорема 2.3.1 Алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда невырождена.
Лемма 2.3.1 Пусть - полупростая алгебра Ли. Тогда в не существует ненулевых идеалов.
Доказательство. Так как алгебра Ли полупроста, то является конечной прямой сумой простых алгебр Ли. Так как , то в не существует ненулевых разрешимых идеалов. Так как в простых алгебрах Ли не существует ненулевых идеалов, то в не существует ненулевых идеалов.
Лемма 2.3.2 Всякая полупростая алгебра Ли разрешима.
Доказательство. Пусть - полупростая алгебра Ли. По критерию разрешимости Картана алгебра Ли разрешима тогда, когда для , . Подалгебра является идеалом в . Так как в не существует ненулевых идеалов, то . Поэтому алгебра Ли разрешима.
Лемма 2.3.3 Пусть - полупростая алгебра Ли. Тогда алгебра Ли разрешима тогда, когда невырождена.
Доказательство. Пусть - полупростая алгебра Ли. Определим ортогональное дополнение . Так как алгебра Ли полупроста, то в не существует ненулевых идеалов. Так как является идеалом в , то . Поэтому алгебра Ли невырождена.
Доказательство теоремы 2.3.1. Так как по лемме 2.3.2 всякая полупростая алгебра Ли разрешима, то по лемме 2.3.3 всякая полупростая алгебра Ли невырождена.
3 Простые алгебры Ли в многообразиях алгебр картановского типа
3.1 Алгебры картановского типа
Определение 3.1.1 Простая алгебра Ли называется алгеброй картановского типа, если для расширения центроида алгебры в алгебре содержится собственная подалгебра над конечной коразмерности.
Всякая простая алгебра Ли удовлетворяет нетривиальному лиеву тождеству вида
где , сумма берется на множестве . Во всякое простой алгебре Ли выполняется стандартное тождество степени 5:
Всякая простая алгебра Ли является алгеброй картановского типа, вкладывается в алгебру Ли , где расширение поля .
Основная теорема. Всякая простая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, удовлетворяющая некоторому нетривиальному лиеву тождеству, является алгеброй картановского типа.
Для всякого элемента обозначим через целое число такое, что для картановских продолжений , заданных формулой , выполнено .
Лемма 3.1.1 Во всякой алгебре Ли над полем произвольной характеристики, обладающей собственной подалгеброй конечной коразмерности, для всякого полилинейного полинома для выполняется тождество
Доказательство этой леммы следует из того, что все значения полинома лежат в . Подалгебра образует идеал в . Так как алгебра Ли проста, то приведенное тождество выполняется в .
Определим подалгебру полилинейных полиномов в свободной алгебре с образующими . Предположим, что , где - произвольной многообразие.
Определение 3.1.2 Многообразие называется многообразием экспоненциального роста, если для размерности справедлива оценка для .
Теорема 3.1.2 Пусть - многообразие экспоненциального роста над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Тогда всякая простая алгебра Ли над является алгеброй картановского типа.
По теореме С.П.Мищенко всякое многообразие является многообразием экспоненциального роста.
Доказательство основной теоремы. По лемме 3.1.1 в многообразии выполняются тождества вида
По теореме 3.1.2 все простые алгебры Ли из многообразия являются алгебрами картановского типа.
3.2 Тождества в алгебрах картановского типа
В этом параграфе мы изучим тождества алгебр Ли картановского типа, опишем алгебры Ли удовлетворяющие тождественным соотношениям.
Теорема 3.2.1 В произвольной конечномерной алгебре Линад , содержащей собственную подалгебру конечной коразмерности, для , выполняется тождество вида
Доказательство теоремы следует из теоремы 3.1.1.
Пусть - линейная функция определенная для аргумента и набора элементов алгебры . Определим для каждого элемента базиса алгебры целое число такое что для набора элементов , выполнено равенство
Теорема 3.2.2 Во всякой простой алгебре Ли над существует тождество вида , которое при не выполняется в .
Пусть - градуированная алгебра Ли картановского типа (), с градуировкой обладающей свойством для ().
Теорема 3.2.3 Пусть - градуированная алгебра Ли картановского типа, . Тогда в выполняется полилинейное тождество тогда и только тогда, когда для однородных элементов таких, что , выполняется тождество
Доказательство. Предположим, что не является тождеством алгебры Ли . Так как существуют такие элементы для которых , то при теорема верна. Предположим, что . Тогда для некоторого выполнено
Так как , то найдутся такие однородные элементы такие, что , для которых тождество не выполняется в .
4 Заключение
4.1 Заключение
В главе 1 доказан критерий полупростоты Картана. Приведенное в главе доказательство основано на критерии разрешимости Картана. В главе 2 доказана основная теорема, утверждающая, что всякая простая алгебра Ли картановского типа над полем характеристики нуль из многообразия алгебры всех дифференцирований алгебры степенных рядов является алгеброй картановского типа. В главе 3 описаны градуированные алгебры картановского типа, удовлетворяющие тождественным соотношениям, изучены некоторые тождества алгебр Ли картановского типа. Полученные в работе результаты могут применяться в теории разрешимых алгебр Ли, в теории картановских алгебр Ли.
4.2 Список литературы
[1] Ю.П.Размыслов Простые алгебры Ли, удовлетворяющие стандартному тождеству степени 5, Изв. АН СССР, 1985
[2] Н.А.Корешков Алгебры Ли и ассоциативные алгебры, КГУ, 2007
[3] Ю.П.Размыслов О конечно порожденных простых алгебрах Ли, удовлетворяющих стандартному тождеству степени 5, Вест. Моск. У-та, Серия 1, 1990
[4] К.Ф.Збрилин О тождествах алгебры Ли , Вест. МГУ, 1993