I Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ТРЕУГОЛЬНИК РЁЛО

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Павин Д. 1

---

1

Сотикова С.В. 1

---

1

Работа в формате PDF

1.8 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

1. Введение 3 стр.

2. Основная часть 5 стр.

3. Эксперимент 9 стр.

4. Заключение 11 стр.

5. Литература 12 стр.

6. Приложения 13 стр.

Введение

Проблема: При изучении темы «треугольники» уроках геометрии я узнал, что среди них можно выделить: равнобедренные ,равносторонние, прямоугольные.

Однако, посмотрев телепередачу «Галилео», я с удивлением обнаружил существование «круглого» треугольника

Для того, чтобы выяснить, знают ли ученики нашей школы о «круглом» треугольнике, aмною был проведен опрос. Было опрошено 70 учащихся 7-11 классов. (Анкета. Приложение 1.)Опрос показал, что два человека имеют представление о треугольнике, а желают узнать о таком треугольнике почти 92% опрошенных. Таким образом, понятно, что учащиеся желают узнать для себя новый материал, который не изучается в школьной программе.

Фигура треугольника Рёло меня заинтересовала, и я решил разобраться в его свойствах и способах применения.

Актуальность:

Исторически геометрия начиналась с треугольника, поэтому треугольник не только символ геометрии, но и атом геометрии. Постоянно открываются все новые и новые свойства треугольника. Чтобы рассказать обо всех известных его свойствах, потребуется том величиной в несколько тысяч страниц.

Геометрия треугольника дает возможность почувствовать красоту математики вообще и может стать для кого-то началом пути в «большую науку». Каждый любитель геометрии треугольника имеет возможность открыть нечто новое и пополнить её сокровищницу собственной драгоценной находкой, ибо геометрия поистине неисчерпаема.

В современном мире при быстро развивающихся технологиях нельзя обойти фигуру постоянной ширины – треугольника Рёло, позволяющего сократить затраты при производстве, к примеру, при конструировании деталей.

Практическая значимость моего исследования заключается в том, что удивительные свойства треугольника Рёло позволяют сделать новые открытия в разных областях жизнедеятельности человека: механике, искусстве и др.

Объект исследования: треугольник Рёло

Предмет исследования: практическое применение свойствтреугольника Рёло.

Цель: доказать, чтогеометрия необходима в практической жизни, знание этой науки раскрывает возможности деятельности человека.

Задачи:

1. Узнать, что такое треугольник Рёло?

2. Выделить его основные свойства.

3. Определить, где встречается треугольник Рёло, применение его свойств.

Гипотеза: У треугольника Рёло есть свои уникальные свойства, которые могут использоваться в разных областях жизнедеятельности человека.

Методы работы: изучение научной литературы, опрос, наблюдение, анализ, эксперимент.

Основная часть.

Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. Но он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась.

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке.

Хотя эта фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции, а также в Мадридском кодексе.

Итак, что же такое «круглый» треугольник?

Треугольник Рёло представляет собой область пересечения трех равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Его можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводиться к последовательному проведению трех равных окружностей. Нужно провести две окружности с одинаковым радиусом, но так, чтобы центр второй совпадал с одной из точек первой (кроме центра). Проводим третью окружность, так что бы её центр совпадал с точкой пересечения первых окружностей (Приложение 3). Область, которая принадлежит всем трем кругам и есть треугольник Рёло.

Каковы же свойства этой фигуры?

Треугольник Рёло, является фигурой постоянной ширины. Это значит, что если провести две параллельные прямые на некотором расстоянии, то фигура при качении (когда фигура будет катиться) будет касаться обеих прямых постоянно. Расстояние между ними и будет фигура постоянной ширины. Простейшей такой фигурой будет всем известный круг, хотя таких фигур немало. Среди этих фигур наименьшая площадь именно у треугольника Рёло. Это утверждение носит название теоремы Бляшке — Лебега. (по фамилиям немецкого геометра Вильгельма Бляшке и французского математика Анри Лебега) К примеру, если его вписать в круг, то разница очевидна (Приложение 4). Площадь соответствующего треугольника Рёло меньше на ≈ 10,27%

Треугольник Рёло является плоскойвыпуклойгеометрической фигурой.

Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° — это треугольник Рёло.

Любую фигуру постоянной ширины можно вписать вквадрат со стороной, равной ширине фигуры, причём направление сторон квадрата может быть выбрано произвольно. Треугольник Рёло — не исключение, он вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон. (Приложение 5)

Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах.

Этими свойствами обусловлено практическое применение треугольника Рёло. Разница с площадью квадрата составляет ≈1,2 %, поэтому на основе треугольника Рёло создаютсвёрла, позволяющие получать у треугольника почти квадратные отверстия. Отличие таких отверстий от квадрата состоит лишь в немного скруглённых углах. Другая особенность подобного сверла заключается в том, что его центр при вращении не остаётся на месте, как это происходит в случае традиционных спиральных свёрл, а описывает кривую, состоящую из четырёх дуг эллипсов. Поэтому патрон, в котором зажато сверло, не должен препятствовать этому движению.(Приложение 6)

Впервые сделать подобную конструкцию удалось Гарри Уаттсу, английскому инженеру, работавшему в США.

Треугольник Рёло используется и в автомобильных двигателях. Их называют роторно-поршневыми. Первым такой двигатель создал в 1957 г. немецкий инженер Ф. Ванкель. Ротор этого двигателя выполнен в виде треугольника Рёло. Он вращается внутри камеры. Вал ротора жёстко соединён с зубчатым колесом, которое сцеплено с неподвижной шестернёй. Такой трёхгранный ротор обкатывается вокруг шестерни, всё время касаясь вершинами внутренних стенок двигателя и образуя три области переменного объёма, каждая из которых по очереди является камерой сгорания. Благодаря этому двигатель выполняет три полных рабочих цикла за один оборот.(Приложение 7)

Двигатель Ванкеля позволяет осуществить любой четырёхтактный термодинамический цикл без применения механизма газораспределения. Смесеобразование, зажигание, смазка, охлаждение и пуск в нём принципиально такие же, как у обычных поршневых двигателей внутреннего сгорания.

Треугольник использовался в грейферном механизме в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси, а чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть и так 18 раз в секунду. Именно эту задачу решает грейферный механизм.(Приложение 8,9 )

Треугольник Рёло широко применяется в кулачковых механизмах швейных машин зигзагообразной строчки.

В качестве кулачка треугольник Рёло использовали немецкие часовые мастера в механизме наручных часов A. Lange & Söhne «Lange 31»

Треугольник Рёло - распространённая форма медиатора- тонкой пластинки, предназначенной для приведения в состояние колебания струн щипковых музыкальных инструментов.

В форме треугольника Рёло можно изготавливатькрышки для люков— благодаря постоянной ширине они не могут провалиться в люк(так же люки использовались и в Сан — Франциско).(Приложение 10 )

В 1514 г. Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов. (Приложение 11)

Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку, однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко. Окна в форме треугольника Рёло можно обнаружить в церкви Богоматери в Брюгге, а так же в шотландской церкви в Аделаиде. Как элемент орнамента он встречается на оконных решетках аббатства в швейцарской коммуне Отрив.

Треугольник Рёло используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник» в сечении представляет собой именно эту фигуру. (Приложение 12,13,14)

Треугольник Рёло используется в изготовлении монет . Так уже не один, а несколько, объединенных в семиугольник.

Среди всех многоугольников Рёло с фиксированным числом сторон и одинаковой шириной правильные многоугольники ограничивают наибольшую площадь.

Форма таких многоугольников используется в монетном деле: монеты ряда стран. Например, монет 20 и 50 пенсов Великобритании выполнены в виде правильного семиугольника Рёло. Существует изготовленный китайским офицером велосипед, колёса которого имеют форму правильных треугольника и пятиугольника Рёло. (Приложение 15)

В научно-фантастическом рассказе Пола Андерсона «Треугольное колесо» экипаж землян совершил аварийную посадку на планете, население которой не использовало колёса, так как всё круглое находилось под религиозным запретом. В сотнях километров от места посадки предыдущая земная экспедиция оставила склад с запасными частями, но перенести оттуда необходимый для корабля двухтонный атомный генератор без каких-либо механизмов было невозможно. В итоге землянам удалось соблюсти табу и перевезти генератор, используя катки с сечением в виде треугольника Рёло.

Эксперимент

Тема: «Изготовление катка с сечением в виде треугольника Рёло»

Цель: исследование практического выполнения и применения свойств треугольника Рёло на примере катка; может ли треугольник Рёло быть круглым и использоваться для перемещения грузов

Оборудование:

1. ножовка

2. рашпиль х3

3. наждачная бумага «шкурка»

4. электро — лобзик

5. тёс h= 25 мм

6. карандаш

7. циркуль

8. угольник

9. киянка(молоток)

10. тески

11. верстак

12. сверло

13.шуруповёрт

Ход работы:

1. Возьмем доску h= 25 мм (Приложение 16)

2. Отпилим от неё 0,5 мм (Приложение 17)

3. Тщательно шлифуем (Приложение 18 )

4.Треугольник Рёло можно построить не прибегая к линейке, с помощью одного циркуля. Для этого нужно выбрать центр первой окружности и провести три равных окружности так, что центр второй — любая точка первой, а центр третьей окружности лежит на пересечении уже построенных окружностей. (Приложение 19 )

5. Лобзиком выпиливаем четыре заготовки (Приложение 20)

6. Отметим центр треугольников (Приложение 21 )

7. Шлифуем края (Приложение 22)

8. Просверливаем отверстие для оси (Приложение 23)

9. Результат: катки с сечением в виде треугольника Рёло (Приложение 24)

При таком перемещении важно, чтобы груз не двигался вверх и вниз, т. к. треска потребует дополнительных усилий от толкающего. Для того, чтобы движение на катках было прямолинейным их сечение должно представлять собой фигуру постоянной ширины.

Несмотря на то, что катки в форме треугольника Рёло позволяют плавно перемещать предметы, такая форма не подходит для изготовления колес, поскольку треугольник Рёло не имеет фиксированной оси вращения.

Проводимый эксперимент ещё раз подтверждает, что у треугольника Рёло есть уникальные свойства, которые могут использоваться.

Вывод: Вот такие интересные применения треугольника Рёло казалось бы, чисто математической задачи используют люди.

Вся проделанная мною работа позволяет сделать следующий вывод: казалось бы, чисто математическая особенность треугольника Рёло- его «круглые» стороны, образуемые окружностями, позволяет использовать эту особенность в самых разных областях практической жизни человека.

Заключение.

Колесо, изобретенное несколько тысяч лет назад, произвело переворот в жизни человека. Постоянство ширины явилось для колеса определяющим свойством, следствием которого, в свою очередь, стало техническое завоевание мира. Я рассмотрел это свойство в треугольнике Рёло (самой известной после круга фигуры постоянной ширины), изучили основные свойства фигуры постоянной ширины, показал, что отличительные свойства треугольника Рёло находят множество применений.

Знакомство с геометрическими фигурами, изучение которых не входит в рамки школьной программы, позволяет приобрести новые знания и иначе посмотреть на знакомые предметы.

Литература

1. Сайт в Интернете: nsportal.ru «Алые паруса»…/kruglyi-treugolnik-reloДорофеев, Г.В., Шарыгин, И.Ф., Суворова, С.Б. Математика. – М.:Просвещение,1987.

2.Сайт в Интернете:etudes.ru«Этюды›Треугольник Рело

3. Сайт в Интернете:ru.wikipedia.org

4. С. Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. М.: МЦНМО, 2006.

5. В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. Выпуклые фигуры. М.—Л.: ГТТИ, 1951. — 343 с. Г. Радемахер, О. Теплиц. Числа и фигуры. М.: Физматгиз, 1962. — 263 с.

Приложение 1

Анкета

1. Какие треугольники ты знаешь из предложенных?

-равнобедренный

-равносторонний

-прямоугольный

-треугольник Рёло

2. Имеешь ли ты представление о «круглом» треугольнике?

Да Не думал об этом Нет

3. Хочешь ли ты узнать о «круглом» треугольнике?

Да Нет

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Приложение 8

8

Приложение 9

Приложение 10

Приложение 11

Приложение 12

Приложение 13

Приложение 14

Приложение 15

Приложение 16

приложение 17

Приложение 18

Приложение 19

Приложение 20

Приложение 21

Приложение 22

Приложение 23

Приложение 24

Приложение 25

Приложение 26

38