I Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

УДИВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО π

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Кулеш П.А. 1

---

1

Кулеш Т.В. 1

---

1

Работа в формате PDF

219.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение………………………………………………………………………… 3

Основная часть

1. Обзор литературы

   1. Периоды в истории развития числа …………………………..

   2. Методы нахождения числа  «пи») ………………………….. 8

   3. Занимательность с числом («пи»)…………………………11

2. Собственные исследования

   1. Анализ анкет ………………………………………………………14

   2. Собственные исследования по нахождению числа («пи»)….. 15

Заключение …………………………………………………………………. 18

Список литературы ………………………………………………………… 19

2

Введение

В школьном курсе математики с числом p (пи) я впервые встретилась в 6 классе при изучении темы «Окружность. Длина окружности». Я узнала, что число p (пи) относится к таким числам, точное значение которых записать невозможно ни с помощью обыкновенных, ни с помощью десятичных дробей. При нахождении длины окружности по формулам C=pDи С=2pR достаточно использовать значение p, округлённое до разряда сотых: .

В этом учебном году на уроке алгебры при изучении темы «Иррациональные числа» я узнала, что если длину любой окружности разделить на её диаметр, то в частном получится иррациональное число 3,141592… Для этого числа в математике введено специальное обозначение p (буква греческого алфавита «пи»; версия этого понятия такова: с буквы p начинается греческое слово периферия – окружность). Число p было известно ещё в Древней Греции, но иррациональность этого числа была доказана в 1766 году немецким математиком И. Ламбертом. На уроке математики учителем число p названо удивительным и загадочным, которое используется во многих математических и физических формулах.

Я заинтересовалась этим числом. Пролистав учебники математики и физики 9-11 классов, я действительно нашла много формул, содержащих число p. Так в 9 классе в учебнике геометрии я нашла число p в формулах нахождения длины дуги окружности, в нахождении площади круга, площади кругового сектора, объёма конуса и шара, площади боковой поверхности конуса, площади сферы. Решила узнать не только историю появления и развития числа p, но и научиться находить это удивительное и особенное число.

Цель: изучение истории числа p и выявление метода, дающего наиболее точное значение этого числа.

Задачи:

1.Изучить литературу по истории развития числа p.

3

2.Познакомиться с методами нахождения числа p.

1. Найти источники использования числа p.

2. Провести опрос учащихся.

3. Провести собственные исследования по выявлению метода, дающего наиболее точное значение числа p.

4. Проанализировать данные и сделать выводы.

Объект исследования: число p.

Предмет исследования: связь числаp с окружающим нас миром.

Методы исследования:

1.Поиск информации.

2. Анализ литературы.

3. Анализ анкет.

4. Анализ результатов по нахождению числа p.

5. Обработка данных и формулировка выводов.

Гипотеза: используя известные экспериментальные методы вычисления числа p в условиях повседневной жизни, я получу результаты разной степени точности: более точные результаты можно использовать на уроках математики, физики и в некоторых жизненных ситуациях.

4

1. Обзор литературы

1.  

   1. Периоды в истории развития числа 

Древний период

Открывателями числа  считают людей доисторического времени, которые при плетении корзин заметили, что для того, чтобы получить корзину нужного диаметра, необходимо брать прутья в 3 раза длиннее его. Найдены таблички из обожженной глины в Месопотамии, на которых зафиксирован данный факт.

Письменная история числа начинается с египетского папируса 2000 г. до нашей эры. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа  которое получается из формулы площади круга S = ( d – 1/9d ) ² = ( 1 – 1/9 ) ² d² . Этому правилу из 50 – й задачи папируса Райнда соответствует значение  = 4(8/9)² = 3,1605. Однако, каким образом египтяне получили саму формулу, неясно.

Как считают специалисты, число было открыто вавилонскими магами. Вавилоняне пользовались лишь грубым приближением, определив p = 3. Число использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни.

В Древней Греции идею заменить длину окружности периметром описанного (вписанного) многоугольника применил Архимед (III век до н.э.). Начав с шестиугольника, перешёл к 12-угольнику, затем к 24-угольнику, и так далее – до 96-угольника. Архимед доказал, что число одинаково для любого круга.

В Древнем Китае высокого расцвета достигла вычислительная техника, основанная на приближённых вычислениях. Примером служит вычисление отношения длины окружности к её диаметру китайским математиком Цзу Чун-чжи (430-501г.н.э.), который получил приближение 355/113, дающее семь верных цифр числа 

Наиболее древняя формулировка нахождения числа содержится в стихах индийского математика Арьябхатта: «Прибавь 4 к сотне и умножь на 8, потом ещё 62 000 прибавь. Когда поделишь результат на 20 000, тогда откроется тебе значенье длины окружности к двум радиусам отношенье». Он нашёл точное значение 62832/20000 или 3, 1416.

Классическая эра

Персидский математик аль-Каши в «Трактате об окружности» (1427 г.) вычислил 17 десятичных знаков Для этого ему пришлось вычислить сторону 800 335 168 – угольника.

Нидерландский учёный Лудольф Ван Цейлен (1540-1610) нашёл для числа «пи» 32 правильных десятичных знака. Это приближение называется лудольфовым числом.

В России у наших предков не было компьютеров, микрокалькуляторов и справочников, но со времён Петра I они занимались геометрическими расчётами в астрономии, в машиностроении, в корабельном деле, в электротехнике. Для запоминания числа π было придумано двустишие. В учебнике Ф.Магницкого «Арифметика» оно написано по правилам старой орфографии:

«Кто и шутя, и скоро пожелать,

«Пи» узнать число – ужъ знаеть».

Число  появляется не только при решении геометрических задач. Со времени Ф.Виета (1540–1603) разыскание пределов некоторых арифметических последовательностей, составляемых по простым законам, приводило к тому же числу . В связи с этим в определении числа принимали участие почти все известные математики: Ф.Виет, Х.Гюйгенс, Г.В.Лейбниц.

В 1658 году англичанин Уильям Броункер нашел представление числа в виде бесконечной непрерывной дроби, однако неизвестно, как он пришёл к этому результату.

Начиная с конца XVII века, для вычисления  применяются более эффективные методы высшей математики. Леонард Эйлер вычислил  с точностью до 153 десятичных знаков. После опубликования его работы в 1736 году, стало общепринятым обозначение числа  первой буквой греческого словаря «периферия» - круг.

В 1766 году немецкий математик Иоганн Ламберт доказал иррациональность числа число “пи” не может быть представлено простыми дробями, как бы ни были велики числитель и знаменатель.

6

Эра цифровых компьютеров

С помощью электронных машин в 1949 году получено значение  с 2035 знаками, а позднее – с 3089 знаками лишь за 13 секунд. В 1959 году одна вычислительная машина в Англии и другая во Франции вычислили 10 000 десятичных знаков . К 1963 году было найдено уже 100 265 десятичных знаков числа .

Вычисления такого большого числа знаков для  не имеет практического значения, а показывает лишь огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми методами. С помощью компьютера было вычислено десятичных знаков: 1973 год – 10 000 000 десятичных знаков;

1. год - 29 360 000 десятичных знаков;

2. год - 134 217 000 десятичных знаков;

1. год- 1 011 196 691 десятичный знак;

1. год - 2 260 000 000 десятичных знаков;

1. год - 4 044 000 000 десятичных знаков;

2. год - 4 294 967 286 десятичных знаков;

3. год – 51 539 600 000 десятичных знаков;

2011 год – 10 000 000 000 000 десятичных знаков.

Самым неутомимым вычислителем числа был английский математик Уильям Шенкс. Более 20 лет он посвятил вычислению 707 знаков числа К сожалению, несчастный Шенкс ошибся в пятьсот двадцатом знаке, и все последующие цифры в полученном им выражении неверны.

7

1.  

   1. Методы нахождения числа  «пи»)

Метод простейших измерений

Берутся круглые предметы и с помощью нити, путём обматывания, определяется длина окружности С (один полный оборот нити). Далее измеряется по линейке диаметр окружности. По формуле С=D находим =С/D.

Метод взвешивания

На листе картона начертить квадрат, в него вписывать круг. Вырезать из квадрата круг. Взвесить и квадрат, и круг. Зная массу квадрата m_кв. и вписанного в него круга т_кр. воспользоваться формулами m=pV, V=Sh, где p и h – соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассматривая равенства m_кв.=pS_кв.h=p4R²hиm_кр. = pS_кр.h = pR²h, получается m_кр./ m_кв. = = pR²h / p4R²h =  а = 4 т_кр. / m_кв.

Метод Бюффона («падающей иголки»).

В 1777 году французский естествоиспытатель Ж. Бюффон сформулировал задачу, впоследствии получившую его имя. Суть задачи в том, что плоскость разграфлена параллельными прямыми. Наудачу бросается на эту плоскость игла меньшей длины, чем расстояние между параллельными прямыми. Требуется определить вероятность того, что игла пересечёт какую-нибудь прямую. Как показал Бюффон, эта вероятность выражается числом Такие эксперименты ставились в позапрошлом и прошлом веке многими учёными. Ниже приведена таблица, заимствованная из статьи А.Н. Зайделя.

8

Наиболее замечательный результат принадлежит Лаццарини, сделавшему 3 408 бросаний.

Метод Монте-Карло (метод «дождя»)

Приготовить кусок картона, нарисовать на нём квадрат и вписать в квадрат четверть круга. Некоторое время такой чертёж подержать под дождём. На его поверхности останутся следы от капель. Подсчитать число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приблизительно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места равновероятно.

Тогда  = 4N_кр. / N_кв., где N_кр. – число капель в круге, N_кв. – число капель в квадрате.

Метод соотношений человеческого тела

Многим известна «золотая пропорция» или «золотое сечение». Золотая пропорция – деление отрезка на две неравные части так, что длина большей части превышает длину меньшей части ровно во столько раз, во сколько раз весь отрезок превышает длину большей части.

=

число Фидия Ф =

В таком отношении точка М делит отрезок АВ, если его большая часть АМ так относится к меньшей части МВ, как длина всего отрезка АВ относится к большей части АМ.

А _________М___В

Отношение часто обозначают буквой Ф в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до н.э.), поскольку в пропорциях частей знаменитого храма Афины Парфенона, созданного Фидием, исследователи находят «золотую пропорцию».

Сравнительно недавно, поэт и исследователь старины Андрей Чернов предложил идею «серебряного сечения». Согласно данному им определению, точка М делит отрезок АВ в пропорции «серебряного сечения» АМ:МВ=

Андрей Чернов нашёл такую «серебряную пропорцию» в мерных саженях XII века, в архитектуре древнерусских храмов и даже в поэме А.С.Пушкина «Медный всадник». В поэме «Медный всадник» 477 строк, если это число разделить на количество строк во второй части поэмы, то получится 3,16 – число, очень близкое к числу 

Отношение размаха рук человека к его росту равно ;2ф ; , где H – рост человека, h – размах руки.

10

1.  

   1. Занимательность с числом («пи»)

Как запомнить первые цифры числа ?

Три первые цифры числа =3,14… запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков я нашла забавные стихи и фразы. Например, такое четверостишие:

«Нужно только постараться

И запомнить всё как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть…» (С.Бобров «Волшебный двурог»)

Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать 8 знаков числа

Также я нашла стихотворение, в котором знаки числа можно определить по количеству букв в каждом слове:

Раз у Коли и Арины

3 1 4 1 5

Распороли мы перины.

9 2 6

Белый пух летал, кружился,

5 3 5 8

Куражился, замирал,

9 7

Ублажился…

9

Нам же дал головную боль старух,

3 2 3 8 4 6

- Ух, опасен пуха дух.

2 6 4 3 (3,141592653589793238462643…)

При округлении числа до десятитысячных можно использовать фразу: «Что я знаю о кругах?» по количеству букв в каждом слове (3,1416)

11

При округлении числа до разряда миллионных можно использовать фразу: «Вот и знаю я число, именуемое Пи, - молодец!» (3,1415927).

При округлении числа до разряда сто миллиардных можно использовать фразу: «Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать» (3,14159265359).

Интересные факты о числе

1) 14 марта в мире отмечается один из самых необычных праздников – Международный день числа . Главная церемония проходит в музее Эксплораториуме (Сан-Франциско). Кульминация приходится на 1 час 59 минут 26 секунд после полудня (3-месяц март, 14-число марта, 1- час, 59-минут, 26 секунд = 3,1415926…). Участники праздника маршируют вдоль стен Круглого зала, распевая песни о числе, играют со словами Пи. В центре зала размещают латунную тарелку, на которой выгравировано число с первыми 100 знаками после запятой.

2) Германский король Фридрих Второй был настолько очарован этим числом, что посвятил ему целый дворец Кастельдель Монте, в пропорциях которого можно вычислить («пи»). Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО.

3) -аромат был создан под руководством Александра Мак Куина – коренного англичанина в Париже, поэтому аромат получился неординарным и уникальным, ведь в нём смешалось два мира: английское спокойствие и французская любовь к праздникам. Флакон аромата –отдельное произведение искусства, он был создан знаменитым дизайнером Сержем Мансо и представляет собой прозрачную пирамиду с выточенными геометрическими узорами.

4) Выход нового диска Кейт Буш «Aerial» заставил сердца математиков забиться сильнее. В песне, которую певица назвала «Пи», прозвучали 124 числа из знаменитого числового ряда 3,14…

5) Мировой рекорд по запоминанию числа установил 17 июня 2009 года украинский нейрохирург, доктор медицинских наук, профессор Андрей

12

Слюсарчук, удержавший в памяти 30 миллионов его знаков.

6) Также я нашла интересные - картинки.

13

2. Собственные исследования

2.1. Анализ анкет

Я провела анкетирование среди одноклассников и учащихся 9 класса с целью определения знаний о числе  и желания узнать больше об этом удивительном числе. В опросе приняли участие 14 учащихся. Были предложены следующие вопросы:

1.Что означает  ?

2. Как получили  ?

3. Что знаешь об истории развития  ?

4. Почему называют удивительным и загадочным?

5. Где в окружающем нас мире можно встретить  ?

6. Желаешь ли ты больше узнать о  ?

Результаты анкетирования:

1. Почти все опрошенные учащиеся 8-9 классов знают, что  - это число, которое равно 3,14. Один учащийся 8 класса ответил, что  - это число, с помощью которого находят длину окружности.

2. Никто из учащихся не знает, как получено число . Один ученик 8 класса ответил, что  получено путём долгих расчётов.

3. Никто из учащихся 8-9 классов не знает об истории развития числа .

4. Число называется удивительным и загадочным, потому что оно бесконечно, часто встречается и довольно интересное; потому что его долго надо находить; потому что это число популярно в математике, но мы мало знаем о нём. Такие ответы дали 5 учащихся. Остальные не смогли ответить на вопрос.

5. Число  в окружающем нас мире можно встретить почти везде, в окружности. Такие ответы дали 6 учащихся. Остальные ответить на вопрос не смогли.

6. Все учащиеся желают больше узнать о числе  ?

14

2.2. Собственные исследования по нахождению числа («пи»)

Изучив методы нахождения числа , я провела собственные исследования с помощью метода простейших измерений, метода взвешивания, метода Бюффона («падающей иголки») и методом соотношения человеческого тела.

По методу простейших измерений у вазы, стакана, блюдца, ведра, бака, колеса велосипедного, круглых настенных часов измерила с помощью измерительной ленты длину окружности (один полный оборот) и диаметр окружности, по формуле С=D нашла =С/D. Полученные измерения и вычисления записала в таблицу.

Вывод:в результате проведённого эксперимента выяснила, что максимально приближёнными к значению числа стали значения, полученные при измерении колеса велосипедного, бака и круглых настенных часов. Эти предметы имеют большее значение длины окружности и соответственно больший диаметр.

По методу взвешивания начертила квадраты, вписала в них круги. Определила массы картонных квадратов с помощью школьных весов.

15

Вырезала вписанные круги и их тоже взвесила. Полученные результаты записала в таблицу. По формуле = 4 т_кр. / m_кв. вычислила значение («пи»).

Вывод:из пяти взвешиваний лучшими результатами для числа  стали результаты 1, 3 и 5. Приближённое значение числа зависит от точности взвешиваний. С помощью маленьких весов очень трудно взвешивать точно маленькие картонные фигуры. Но, всё же, полученные результаты близки значению 3,14.

По методу Бюффона (падающей иголки») взяла обыкновенную швейную иголку длиной 3 см и лист бумаги, расчерченный параллельными прямыми. Параллельные прямые начертила так, что расстояние между ними больше длины иголки (4 см). С высоты локтя бросала иголку на расчерченный лист бумаги и считала, сколько раз упавшая иголка пересечёт прямую. Число  вычисляла путём деления количества бросаний на число пересечений иголки с параллельными прямыми. Эксперимент провела 3 раза: 50 бросков, 100 бросков, 150 бросков. Полученные результаты приведены в таблице.

Вывод: точность вычислений зависит от числа бросков. Чем больше бросков, тем точнее результат.

По методу соотношений человеческого тела, измерила рост человека и размах его рук и по формуле вычислила значение («пи»). Полученные результаты приведены в таблице.

Вывод: в результатеиспользования данного метода, самый лучший результат получился у Щукиной Лены (3,18), Катаевой Лены (3,18) и у папы (3,16).

17

Заключение

В ходе исследования, узнала об истории открытия числа , методах нахождения, способах вычисления и использования этого числа. Мною было вычислено значение четырьмя способами. Полученные значения числа  незначительно отличаются от приближённого значения, используемого в повседневной жизни. Проанализировав полученные результаты, пришла к выводу, что наименьшая погрешность получилась при применении метода простейших измерений, наибольшую погрешность дал метод Бюффона. Хотя число было открыто ещё в древности, но до настоящего времени ему уделяется огромное внимание. Оно содержится не только в формулах, записанных в школьных учебниках математики и физики, но и в окружающих нас предметах. В числе , в закодированном виде, содержатся все написанные книги, любая информация, которая существует. Удивительное число используется в астрономии, архитектуре, строительстве, в информационных технологиях, машиностроении, навигации, кораблевождении…

Об истории развития числа  и методах нахождения этого числа рассказала своим одноклассникам и учащимся 9 класса, которые мало знают о  . Посоветовала провести исследования в школе на уроках математики и физики, на внеклассных мероприятиях. Интересные факты вывесила на стенде во время проведения в школе недели математики.

Полученная мною информация в ходе исследования не только очень интересна и увлекательна, но и полезна. Она пригодится мне в дальнейшей учёбе в старших классах.

18

Список литературы

1. Зайдель А.Н. Обман или заблуждение//Квант.- 1983

2. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. – М.Просвещение 1990 г.

3. Число «пи»//Википедия. – Режим доступа www.Wikipedia.org

4. Электронный ресурс. – Режим доступа. Яндекс. Картинки.

19