I Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИЙ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
23
Научно-исследовательская работа
Тема работы: «Практическое применение арифметической и геометрической прогрессий»
Выполнила:
Басько Александра Георгиевна
учащаяся _10__ класса
БОУ «Средней общеобразовательной школы № 1
имени Героя Российской Федерации
Туркина Андрея Алексеевича»
Динского района
Краснодарского края
Руководитель:
Колокольцева Анна Витальевна
учитель математики
БОУ «Средней общеобразовательной школы №1
имени Героя Российской Федерации
Туркина Андрея Алексеевича»
Динского района
Краснодарского края
Оглавление
1. Введение 3
2. Практическое применение арифметической и геометрической прогрессий: 4
2.1. Историческая справка
2.2 Определения и формулы
2.3 Применение прогрессий в разных отраслях
2.4 Задачи на прогрессии с практическим содержанием из различных источников
3. Заключение 19
4. Список использованной литературы и источников 20
1. Введение
В настоящее время актуальным вопросом становится проблема соотношения, изучаемого в школьном курсе математики, материла с жизнью. В 9 классе мы изучаем прогрессии: даем определение, учимся находить по формуламлюбой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии. В заданиях ОГЭ используются задачи на применение основных формул прогрессий, но как эти понятия связаны с жизнью. В заданиях ЕГЭ по математике также есть задачи на применение арифметической и геометрической прогрессий, но уже с практическим содержанием.
В данной работе мы хотим найти ответы на вопросы: имеет ли это какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.
Проблемный вопрос:
Действительно ли прогрессии играютбольшую роль в повседневной жизни?
Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии.
Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий
Гипотеза исследования:
На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.
Цель исследования: установить картину возникновенияпонятия прогрессии и выявить примерыих применения, создать сборник задач с практическим применением прогрессий с решением, так как в задачах ЕГЭ можно встретить задачи на прогрессии.
2.Практическое применение арифметической и геометрической прогрессий
2.1Историческая справка
Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. О прогрессиях и их суммах знали древнегреческие ученые.Архимед (III в. до н.э.) для нахождения площадей и объемов фигур вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел.
12 +22+32+………+п2= 1/6 п(п+1)(2п+1).
Термин «прогрессия» (от латинского progression, что означает «движение вперед») был введен римским автором Боэцием (VI в.)
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (IIIв.)
Известна интересная история о знаменитом немецком математике К.Гауссе (1777-1855), которыйеще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил ему сложить натуральные числа от 1 до 100. Маленький гаусс решил эту задачу за 1 минуту.
В истории математики:Величайший немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс родился в городе Брауншвейг (Германия). Его отец, садовник и фонтанный мастер, славился искусством быстро и легко считать. Эта способность перешла к сыну, говорившему позднее, что он «умел считать раньше, чем говорить». Первый успех пришёл к Гауссу в 9 лет. Школьный учитель велел ученикам найти сумму целых чисел от 1 до 40. Он рассчитывал надолго занять учеников этой задачей. Но Гаусс мгновенно сообразил, как сгруппировать слагаемые, и выдал ответ:
(1 + 40) + (2 + 39) + (3+ 38) + …. = = 820. Найдите формулу, с помощью которой можно быстро вычислить сумму целых чисел от 1 до n/
Решение. Из формулы Sn сразу получаем, что искомая сумма равна
Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до насдокументах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:1+2+3+…..+n=
2+4+6+…..+n= n(n+1)
Древний Египет. Формула, которой пользовались египтяне: Задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры»
Формула, которой пользовались египтяне:a= –( n-1) * ( S = *n)
Задача из папируса Райнда «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?» Решение задачи Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.
2.2Определения и формулы
Определение арифметической прогрессии:
Последовательность (an) , каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называетсяарифметической прогрессией. Число d - разность прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно равенством an+1= an+d
Разность арифметической прогрессии: d=an+1 -an
Если , то (an) - возрастающая
Если , то (an) - убывающая
Если , то (an) - постоянна
Последовательность (an) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, то есть .
Сумма членов арифметической прогрессии, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная, то есть
.a1+an=a2+an-1=….
Формула n-го члена арифметической прогрессии:
Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:
Определение геометрической прогрессии:
Последовательность , первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, называется геометрической прогрессией. Число q- знаменатель прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно равенством bn+1 =bnq, где .
Отношение любого члена геометрической прогрессии и ему предшествующего члена, равно одному и тому же числу q:
Если , то - монотонна
Если , то - постоянна
Последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, то есть .
Произведение членов геометрической прогрессии, равностоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Формула n-ого члена геометрической прогрессии:
, где
Формулы суммы n членов геометрической прогрессии:
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при равна
2.3 Применение прогрессий в разных отраслях
Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии.
Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуютгеометрическую прогрессию.
Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность.Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части.Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам,раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.
Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени ихчисло удваивается.
В литературе:«…Не мог он ямба от хореяКак мы не бились отличить…». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.
Ямб – это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8;…Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.
Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечетные слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7;..
Примеры.
Ямб. «Мой дЯдясАмыхчЕстныхпрАвил…», прогрессия 2; 4; 6; 8;…
Так бей, не знай отдохновенья,
Пусть жила жизни глубока:
Алмаз горит издалека —
Дроби, мой гневный ямб, каменья!
(А. Блок)
Хорей. «Я пропАл, как звЕрь в загОне» Б. Л.Пастернак, «БУря мглОю нЕбо крОет» А. С. Пушкин, прогрессия 1; 3; 5;7
Яблони и сизые дорожки, Изумрудно-яркая трава На берёзах — серые серёжки И ветвей плакучих кружева.
Листья падают в саду…В этот старый сад, бывало, Ранним утром я уйду И блуждаю, где попало. (И. Бунин)
Например, проведенный Н. Васютинским анализ стихотворений А. С. Пушкина с этой точки зрения показал, что размеры стихов распределены весьма неравномерно; оказалось, что Пушкин явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).Многими исследователями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них также существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения.
В медицине: Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
Найдя сумму первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства.
Решение. Составим математическую модель задачи:
5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5
ап=а1+d(n-1),
40=5+5(п-1),
п=8,
Sп=((a1+aп)n)/2, S8=(5+40)·8:2=180,
180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.
В спорте: Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?
Решение. Составим математическую модель задачи: 1400, 1300, …, 1400-100(n-1). a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.
Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;
5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2; Условию задачи удовлетворяет
10000= (2800-100 n+100) n; n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn>0)
10000= (2900-100 n) n; Значит, альпинисты покорили
100 n2-2900 n+10000=0; высоту за 4 дня.
n2-29 n+100=0; n=25, n=4. Ответ: за 4 дня.
В строительстве: Представьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу.
Количество бревен легко подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице.
Решение. Составим математическую модель задачи: 1, 2, 3, 4,…,12.Это арифметическая прогрессия, а1=1,d=1,аn=12.
Надо найти n.аn=a1+d(n-1); 12=1+1(n-1); n=12.Sn=(a1+an)∙n:2; Sn=(1+12)•12:2; Sn=78.В одной кладке находится 78 бревен.Ответ: 78 бревен.
В банковских расчетах: a – первоначальный вклад;p – проценты p % годовых;t – срок хранения вклада.
1. В конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, т. е. полученную прибыль в размере руб. Математическая модель ситуации-конечная арифметическая прогрессия.
руб.- формула простых процентов
2.Прийти в банк один раз – в конце срока хранения вклада. Математическая модель ситуации – конечная геометрическая прогрессия.
– руб. формула сложных процентов.
2.4 Задачи на прогрессии с практическим содержанием из различных источников
Строительство:
Задача №1 (КДР, математика 11 класс, январь 2014)
Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Решение:
,
30n=240
n=8
Ответ: 8 дней
Задача № 2(КДР, математика 11 класс, январь 2014)
Бригада маляров красит забор длиной 750 метров, ежедневно увеличивая норму
покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний
день в сумме бригада покрасила 150 метров забора. Определите, сколько дней
бригада маляров красила весь забор.
Решение:
Sn=150*, Sn=750
75n=750, n=10
Ответ: 10 дней.
Задача № 3 («http://reshuege.ru/»)
Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.
Решение:
,
..n = 10
Ответ: 97 метров
Задача №4 (КДР, математика 11 класс, январь 2014)
Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.
Решение:
,n = 14
d = 2
Ответ: 18 тонн
Задача №5 Студенты должны выложить плиткой мостовую. В 1 день они выложили 3 м². Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м² больше, чем в предыдущий. Сколько м2 уложат студенты в 15 день?
Решение:
+d
5= 3+d
d= 2
Ответ: 31 тонн
Банковские расчеты:
Задача №1 («http://reshuege.ru/»)
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Решение:
1)
2) 2001 год
2002год
2003 год
64*5000=320000
Ответ: 320000 рублей заработал бубликов за 2003 год
Задача № 2 («http://reshuege.ru/»)
Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение:
A) (2001 год) B)
(2002 год)
(2003 год)
(2004 год)
(2005 год) 125*10000=1250000$
(2006 год)
243*5000=1215000$
1250000-1215000= на 35000$ капитал одной компании был больше другой
Ответ: на 35000$
Задача № 3Клиент взял в банке кредит в размере 50000 рублей на 5 лет под 20 % годовых. Какую сумму клиент должен вернуть банку в конце срока?
Решение:.
t = 5
p = 20%
Ответ: 124416 рублей
Задача № 4 Два приятеля положили в банк по 10000 рублей каждый, причем первый положил деньги на вклад с ежеквартальным начислением 10 %, а второй- с ежегодным начислением 45%. Через год приятели получили деньги вместе с причитающимися им процентами. Кто получил большую прибыль?
Решение:
a = 10000 p = 10% t = 4
Ответ: Первый приятель получил большую прибыль
Медицина:
Задача № 1 Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобыдостичь их максимальной продолжительности 1ч 45мин?
Решение:
n = 10
Ответ: на 10 дней
Задача № 2 Отдыхающий, следуя совету врача, в первый день загорал 5 минут. А в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 минут. НА какой день время пребывания на солнце будет равно 40 минут?
Решение:
Ответ: на 8-ой день
Задача № 3 Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день – на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства что составляет 250 капель?
Решение:
n = 8
40*3+40+40=200 капель нужно
Ответ: 2 пузырька
Спорт:
Задача № 1(Сборник конкурсных задач по математике под редакцией М.И.Сканави)
В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах - одно очко, за каждый последующий- на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?
Решение:
25-4=21
Ответ : в 21 раз
Задача № 2 В угловом секторе стадиона в первом ряду 7 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в 26-ом ряду?
Решение:
а1=7 , d=2
a26=а1+d*25=7+25*2=57
Ответ: в 26 ряду 57 мест
Другие задачи:
Задача № 1(«http://reshuege.ru/»)
Васе надо решить 490 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.
Решение:
n=14,
Ответ: 65 задач
Задача № 2 («http://reshuege.ru/»)
Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.
Решение:
Ответ: 22 открытки
Задача №3 («http://reshuege.ru/»)
Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту - на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?
Решение:
а1=30
d=5
Sn=525 n=10 или n=-21-не удов. усл. задач.
an=a1+d*(n-1)=30+5(n-1)=25+5n
Sn=1/2*(a1+an)*n=1/2*(30+25+5n)*n=525
(55+5n)*n=525*2
(11+n)*n=105*2
n2+11n-210=0
Ответ: за 10 минут
Помимо того, что в данной работе рассмотрены задачи на прогрессии, взятые из различных источников по разным отраслям, меня заинтересовал вопрос: если в класс, в котором учится 27 учащихся, пришел заболевший ученик и пробыл среди данных учащихся весь учебный день, как быстро могут заболеть все учащиеся класса?
Попадая в благоприятные условия, бактерия делится, образуя две дочерние клетки; у некоторых бактерий деления повторяются через каждые 20 минут и возникают все новые и новые поколения бактерий. Заметим, что данная последовательность образует геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2. В сутках 1440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=72, находим, что S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 709 213 696 - 1 = 4 722 366 482 869 645 709 213 695. Нетрудно заметить, что через час четвёртый член последовательности будет равен 8, через 2 часа- седьмой член последовательности будет равен 64 и т.д. Через 6 часов 19-ый член такой прогрессии будет равен 262144 и т.д. Таким образом, 262144 вырабатывается бактерий у одного заболевшего ребенка за 6 часов.262144*2n=4 722 366 482 869 645 213 696
2n=
n=54 поколения, а это 18 часов, т.е. за 18 часов попадания инфекции в организм человек заболевает. При благоприятных условиях на следующий день заболевших учащихся уже будет четверо и т.д., следовательно, 27 учащихся могут заболеть через 3 дня.
3. Заключение:
В данной работе рассмотрены исторические сведения о практическом применении последовательностей, а именно арифметической и геометрической прогрессии; основные определения и формулы; рассмотрены примеры применения арифметической и геометрической прогрессии в различных отраслях, решены задачи из различных источников на применение арифметической и геометрической прогрессии с практическим содержанием по отраслям. Цели и задачи, поставленные нами перед написанием работы, достигнуты полностью.
Последовательности часто используется в разных отраслях нашей жизни. Мы сами не замечаем, как используем ее повседневно. Она помогает избегать нам неудачные ситуации, предугадывая правильный ответ. Знания по данной теме помогут мне в подготовке к ЕГЭ по математике, а также в различных жизненных ситуациях.
4. Список использованной литературы и источников
1. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М. :Дрофа, 2000,-352с..
2. Бондаренко Т.Е. Разноуровневые дидактические материалы по алгебре для 9 класса/. Воронеж. 2001.
3. Гончарова Л.В.. Предметные недели в школе. Математика. – Волгоград.: Учитель, 2001.
4. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М., Просвещение, 1981.
5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра 9. – М.: Просвещение,2011.
6. Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 2000. №46.
7. М.И. Сканави. Сборник конкурсных задач по математике. Выпуск 2., 1998.
8. Понятие арифметическая прогрессия. Формула n – члена арифметической прогрессии: http://arprog.ru/
9. http://festival.1september.ru
10. http://reshuege.ru/
11. http:// repetitor-problem.net
12. www.metodichka.net