I Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ЭКОНОМИЯ НА СТАНДАРТНЫХ ВЕРЕВКАХ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Чымба Уран-Сай Марьяновна 1

---

1

Кучумова И.А. 1

---

1

Работа в формате PDF

150.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

I. Введение……………………………………………………………….……...1

II. Решение задачи ЕГЭ...................................................................................2

III. Экономия на стандартных веревках.........................................................4

IV.Экономия на девяти стандартных веревках…..........................................6

V. Заключение………………………………………..………….......................7

VI.Список литературы....................................................................................8

I. Введение

Веревка называется стандартной, если она имеет длину не меньше 93 см и не больше 96 см.

Постановка задач:

1. Требуется выяснить, при какой длине мотка веревку можно разрезать на стандартные части разными способами так, чтобы количество частей отличалось бы, по крайней мере, на одну.

2. Указать наименьшую возможную длину мотка веревки, при которой любая большая длина мотка также обладает указанным этим же свойством.

3. Указать наименьшую возможную длину мотка веревки, при которой любая большая длина мотка при разрезании разными способами может давать экономию на девять частей.

Актуальность постановки заключается в том, что похожие задачи встретились во многих вариантах ЕГЭ типа С6 2012 года. Заметим, что указанные задачи представляют собой наибольшую трудность для сдающих ЕГЭ по математике.

Приведем пример формулировки одной из них из вариантов ЕГЭ 2012 года:

Заметим, что здесь и в дальнейшем разрезание мотка веревки на куски происходит так, что все они оказываются использованными (никакой кусок не выбрасывается). Эта задача ЕГЭ решена во втором разделе работы, где также вводятся определения и обозначения, необходимые для рассмотрения в следующих разделах. Третий и четвертый разделы являются основными в работе. Здесь рассматривается вопрос о том, какова может быть длина мотка с тем, чтобы за счет различных разрезаний на стандартные части, можно было бы экономить на одной, или нескольких (например, девять) из них. Даются точные определения и формулировки теорем.

Новизна работы: Надеюсь, что проблема, сформулированная мне руководителем, встречается впервые. Задачи мною решены самостоятельно. Показано, в каком случае, при разрезаниях мотка веревки на стандартные куски, можно экономить на 1 (задача 2), или 9 кусков (задача 3). Так же решаются задачи про экономию на любое другое число кусков. Аналогично решаются задачи в том случае, если заданы другие границы для стандартного куска.

Основным методом работы является метод оценок

Практическая значимость работы заключается в том, что методы работы позволяют произвести расчеты, которые позволят не только показать учет, но и экономию материала.

Теоретическая значимость работы. Работа является теоретической. Нам кажется, что введенное нами понятие стандартного отрезка легко позволит решать и другие похожие проблемы. Отметим некоторые из них: «наименьшая длина мотка, при которой веревку данной длины можно было бы разрезать на не менее чем определенное количество стандартных веревок»; «наибольшая длина мотка, при которой за счет разрезаний нельзя было бы экономить определенное количество стандартных частей.

II. Решение задачи ЕГЭ

Сейчас мы обратим внимание на решение упомянутой выше задачи ЕГЭ:

Задача 1. Назовем кусок веревки стандартным, если его длина не меньше 93 см, но не больше 96 см.

а) Некоторый моток веревки разрезали на 31 стандартный кусок, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число l, что любой моток веревки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски.

Решение. Введем обозначение стандартного отрезка чисел In для каждого натурального числа n. In– множество всех таких чисел m, что веревку длины m можно разрезать на n стандартных кусков.

Примеры стандартных отрезков: I₁ = [93; 96], I₂ = [186; 192],I₃ = [279; 288],

Проверим, что множество In действительно является отрезком, левым концом которого является число 93n, а правым 96n:

Пусть l₁,l₂,…,ln – длины стандартных частей веревки и l=l₁ +l₂ +…+ln. Так как справедливы неравенства: 93 ≤ l₁ ≤ 96,

93 ≤ l₂ ≤ 96,

. . . ,

93 ≤ ln ≤ 96,

то следующие условия равносильны:

.

Отметим также основное свойство отрезков In: Последовательности левых, а также правых концов отрезков являются монотонно возрастающими числовыми последовательностями.

Вернемся к решению задачи1.

а) Пусть некоторый моток веревки длины lразрезан на 31 стандартный кусок. В этом случае (неравенство не может превратиться в равенство, так как по условию куски не все одинаковой длины) и . Стандартные отрезки I₃₁ и I₃₂ имеют только одну общую точку : .

Поэтому из стандартных интервалов число lпринадлежит только их одному - I_31. Следовательно, тот же моток веревки не может быть разрезан на другое число кусков.

Так как число l принадлежит стандартному отрезку, то кусок веревки длины l всегда может быть разрезан на одинаковые стандартные куски.

б) Последний рисунок говорит о том, что наименьшим таким числом, правее которого все числа покрываются хотя бы одним стандартным отрезком, является число 2883. В данном случае это число является левым концом стандартного отрезка I₃₁

Задача 1 полностью решена.

Ответ: а) 31; б) 2883.

III. Экономия на стандартных веревках

Вернемся к поставленной перед нами задаче. Из решения задачи1, видим, что самая меньшая длина мотка, при которой мы можем при разрезании экономить на 1 кусок, является 2976 см. Однако не всякая большая длина мотка, например 2977 см, может быть разрезана на разное количество стандартных веревок. В этом же примере, количество стандартных веревок, на которые может быть разрезан моток длины 2977 см равно 32 и только.

Задача 2. Требуется указать наименьшую возможную длину l мотка веревки, при которой любую большую длину мотка, также можно было бы разрезать на k и ( k+1) кусков стандартного вида, для некоторого натурального числа k.

Решение. Подберем наименьшее натуральное число kтак, чтобы накладывались друг на друга стандартные отрезки I_kи I_k+2:

Для нахождения k достаточно решить неравенство: 93(k+2)≤ 96k.

93k+186 ≤ 96k

186 ≤ 3k

k ≥ 62.

Итак, отрезки I₆₁и I₆₃ не пересекаются, в то время как пересекаются отрезки I_k и I_k+2 с параметром k ≥ 62. (*)

I61=[5673;5856], I62=[5766;5952], I63=[5859;6048], I64[5952;6144]

На рисунке мы видим, что наименьшая длина lмотка веревки, при которой веревку можно разрезать на стандартные части разными способами так, чтобы количество частей отличалось бы, по крайней мере, на одну и так, чтобы любое большее, чем l ,также обладает этим же указанным свойством.

Рисунок позволяет нам увидеть, что требуемое число l = 5859 (левый конец отрезка I₆₃). Меньшее число, чем 5859 не решает задачу 2. Так, например, для мотка веревки длины равной числу из интервала (5856;5859) возможно разрезание только на 62 стандартных куска.

Покажем теперь, что указанное число l = 5859 решает задачу 2. Действительно, пусть число m ≥ 5859. И пусть моток веревки имеет длину m см. Покажем, что его можно разрезать на стандартные части разного количества.

Воспользуемся свойством (*) стандартных отрезков, согласно которому пересечение I_k и I_k+2 с параметром k ≥ 62, не пусто. Нетрудно указать объединение отрезков I_k с нечетными индексами, оно равно

(**)

Аналогично объединение отрезков I_k с четными индексами равно

(***)

Из равенства (**) следует то, что число m принадлежит некоторому стандартному отрезку I_kс нечетным номером k.

Из равенства (***) следует то, что число m принадлежит некоторому стандартному отрезку I_kс четным номером k.

Значит, число m принадлежит двум стандартным отрезкам с разными номерами. А это и означает то, что моток веревки длины m можно разрезать на стандартные части разным количеством способов.

Решение задачи 2 получено.

IV.Экономия на девяти стандартных веревках

Определение. Будем говорить, что в случае мотка веревки можно сэкономить на p стандартных кусках, если найдется натуральное k, такое что веревку можно было бы разрезать и на k и на k+ p стандартных кусков.

Задача 3. Требуется указать наименьшую возможную длину l мотка веревки, при которой, любую большую длину мотка также можно было бы разрезать на k,k+1,…, k+9 кусков стандартного вида, для некоторого натурального k. То есть на мотке веревки длины l и большей можно сэкономить 9 стандартных кусков.

Решение: Пусть левый конец I_k это α_k а правый - β_k. То есть I_k = [α_k; β_k], где α_k = 93k и β_k = 96k.

Подберем натуральное k так, чтобы накладывались друг на друга стандартные отрезки I_k, I_k+1,…, I_k+10.

Составим неравенство α_k+10 ≤ . β_k  93(k+10) ≤ 96k. (0)

Его решением будут все k ≥ 310. (1)

Следовательно, попарно пересекаются отрезки I₃₁₀, I₃₂₀, I₃₃₀,….

Получаем равенство множеств:

(2)

Аналогично из (1) имеем то, что попарно пересекаются отрезки I₃₁₁, I₃₂₁, I₃₃₁,….

(3)

Аналогично из (1) имеем то, что попарно пересекаются отрезки I₃₁₂, I₃₂₂, I₃₃₂,…, и так далее, получаем равенства множеств:

(4)

И так далее,

(11)

Пересечение левых и правых частей множеств равенств (2) – (11) дает множество [α₃₁₉; +∞ ) = [29667; + ∞). С другой стороны, каждый элемент этого множества [29667; + ∞) является элементом каждого из левых частей равенств (2) – (11).

Пусть l= 29667. И пусть моток веревки имеет длину m ≥ l.

Из (2) – (11) получаем, чтоm принадлежит десяти множествам I_k, сразными индексами k₁, k₂, …, k₁₀. Это и означает то, что моток веревки длины m может быть разрезан на части разного количества k₁, k₂, …, k₁₀. То есть на мотке веревки длины l и большей можно сэкономить 9 стандартных кусков.

Покажем теперь, что указанное число l= 29667 является наименьшим с указанным свойством. Действительно, как следует из (1), число 309 уже не является решением неравенства (0), а значит α₃₁₉ > β₃₀₉.

Пусть теперь z – произвольное число из интервала (β₃₀₉; α₃₁₉) = (29664; 29667). Понятно, что z может принадлежать только следующим девяти стандартным интервалам: I₃₁₀, I₃₁₁, … , I₃₁₈. И моток веревки длины z может быть разрезан только на следующее число частей 310, 311, …, 318, только на девять разных, по количеству частей, разрезаний. Сэкономить 9 частей не получается.

Итак, задача 3 решена. Решением задачи является число l= 29667.

IV. Заключение

Задачи, поставленные мне руководителем, решены.

Показано, в каких случаях появляется возможность, за счет разных разрезаний можно сэкономить одну или девять веревок стандартной длины. Понятно, что аналогичным способом можно добиваться экономии от разрезания на различное число частей.

Также появилась уверенность в том, что смогу решать задачи из ЕГЭ, аналогичные тем, что имели тип С6 2012 года [1-3]. Также я постараюсь получить и другие результаты в этом направлении.

V. Литература

1. КИМы 2012 года.

2. Троякова Г.А. Анализ ЕГЭ по математике по тувинскому региону. Выпуск 6. Учебное пособие для учителей и школьников./ Г.А. Троякова – Кызыл: издательство ТувГУ, 2013 – 134 с.

3. Борзенко А.М. Подготовка учащихся к математическим олимпиадам. - Кызыл: издательство Тывинского государственного университета. 1999.-61с.

9