I Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
РАЗНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1.Введение
2. Основная часть
3.Заключение
4. Список используемой литературы
I Введение
Сегодня можно наблюдать стремительное изменение в окружающем нас мире. Эти изменения требуют от человека новых качеств. Прежде всего обществу нужны люди, способные нестандартно мыслить, принимать самостоятельные решения, даже самые абсурдные, быть инициативны. Все это можно развивать, решая задачи на уроках математики и во внеурочное время.
Задачей называют требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. В одних задачах объектами являются реальные предметы, в других – все математические объекты (числа, геометрические фигуры). Все эти задачи могут быть стандартные и нестандартные. Мне нравится решать стандартные задачи. В учебнике «Математика» в начальной школе даются стандартные задачи как арифметические, так и геометрические. Но в большей части решаются арифметические задачи. К сожалению, на уроках отводится мало времени для решения геометрических задач. И почти все их мы решаем по слаженному алгоритму, хотя многие виды задач модно решать разными способами.
Отсюда вытекает гипотеза: если действоватьне по алгоритму, то можно найти другие способы решения геометрических задач.
Цель: найти разные способы решения геометрических задач.
Задачи: сделать анализ учебников по математике;
сгруппировать задачи геометрического характера;
решить задачи разными способами, рассуждая традиционно и
нестандартно;
Объект: стандартные геометрические задачи с заданными величинами.
Предмет: найти способы решения геометрических задач.
Методы – практические и теоретические.
Значимость работы заключается в том, что, исследуя решения, мы найдем возможные способы. Вследствие этого будут развиваться различные типы и
виды мышления (синтез, анализ) и, затем на уроках, можно применять эти
способы к решению других геометрических задач, показать другим, что такие задачи можно решать разными способами.
II Основная часть
Проанализировав учебники начальных классов, я пришел к выводу, что только 15-20% всех задач занимают геометрические задачи. Это очень мало. Да и времени, отведенной программой курса математики в начальной школе, тоже недостаточно. Отсутствие времени не дает глубоко проанализировать, найти всевозможные способы решения геометрических задач. Поэтому я решил на практике заняться поиском, возможных для меня, способов решения геометрических задач. Сначала я сгруппировал геометрические задачи, встречающиеся в учебнике «Математика».
Все геометрические задачи можно разделить на четыре группы:
-нахождение площади (S);
-нахождение периметра (P);
-нахождение периметра прямоугольника, где неизвестна одна сторона;
- нахождение стороны прямоугольника по известному периметру;
Итак, теперь можно каждую группу проанализировать, выполняя решение.
III Описание исследовательской деятельности
Разделив задачи на группы, я начал решать, опираясь сначала на ранее изученные способы решения задач.
- Задачи на нахождение площади.
Длина прямоугольника 7 см, ширина на 3 см короче. Найти площадь.
7 см
?
1 способ. По формуле нахождения площади, мы знаем, что площадь прямоугольника - это произведение длины (а) на ширину (в).
- 4 -
По условию задачи нам известна ширина. Нам лишь сказано, что она короче длины на 3 см. Значит, нам нужно найти ширину, а поэтому из данных величин мы получим: 7 - 3 = 4 см.- ширина прямоугольника. Отсюда следует, что площадь можно найти так: S = 7 * 4 = 28 см 2.
2 способ: Это решение нахождения площади выражением:
S = (7 – 3)* 7 = 28 см2.
3 способ:
7 см
4 см
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной известной нам и равной 7 см, значит, площадь квадрата равна:
S = 7* 7= 49 см2.
Найдем неизвестную ширину, ведь нам известно, что она короче длины на 3 см, а значит: 7- 3 = 4 см.- данная ширина.
Но мы достроим прямоугольник, данный нам до квадрата со стороной 7 см. Значит ширина достроенной фигуры сейчас составляет 4 см и 3 см. Площадь достроенной фигуры нами части равна: 3 * 7 = 21 см2.
Наша искомая площадь тогда составит:
S = 49 – 21 = 28 см2.- что нам и следовало найти.
-
4 способ:7 см
4 см 3см
Из данного условия задачи, нам нужно найти ширину прямоугольника, это
- 5-
значит: 7 – 3 = 4 см.- ширина.
Зная, что ширина 4 см, мы можем уменьшить наш прямоугольник до квадрата со стороной 4 см и найти его площадь.
S = 4 * 4 = 16 см2.
А нам дано, что длина по условию задачи равна 7 см. Если сторона нашего квадрата 4см, значит можно найти длину второго прямоугольника:
7 – 4 = 3 см2.
При условии нам можно найти его площадь, ведь мы знаем, что его ширина 4см, а длина 3 см, значит S = 4 * 3 =12 см2.
А, теперь сложив площадь квадрата и площадь прямоугольника, мы можем смело найти площадь искомой нами фигуры – прямоугольника со сторонами 4см и 7 см
S = 16 см2 +12 см2 = 28 см2
У данного вида задач я сумел найти четыре способа решения.
Задачи на нахождение периметра (Р).
Дан квадрат со стороной 5 см. Найти периметр этого квадрата.
1 способ: Нам известно, что периметр- это сумма длин всех сторон. Из этого следует, что Р=5 + 5 + 5 + 5 = 20 см.
2 способ: Периметр – сумма длин всех сторон, а значит, можно записать и так: сложив две стороны вместе и умножив на 2, т.к все стороны равны 5 см.
Р = (5 + 5) *2 = 20 см.
3 способ: Мы знаем, что у квадрата все стороны равны, их всего четыре. И нам известно, что сторона квадрата равна 5 см. Это значит, что
Р = 5 * 4 = 20 см.
4 способ:А можно использовать и такой способ: ширину умножаем на 2 ( т.к две ширины в нашем квадрате) и длину тоже умножаем на 2, т.к квадрат это четырехугольник , у которого4 стороны, таким образом
Р = 5 * 2 + 5 * 2 = 20 см
5 способ: У квадрата все стороны одинаковые и равны 5 см. Мы можем
- 6 -
использовать и такой метод нахождения периметра: умножив сторону квадрата на три его стороны и прибавив еще одну сторону. Это будет выглядеть так: Р = (5 * 3) + 5 = 20 см.
Вот таким образом мы можем находить периметр квадрата, выбирая любой из пяти способов, которые я нашел.
Задачи на нахождение периметра прямоугольника, где одна из сторон неизвестна.
Допустим, нам дано условие: ширина прямоугольника 8 см, длина на 2 см больше. Найти периметр этого прямоугольника.
1 способ: По условию задачи нам известно ширина 8 см, а длина больше на 2 см. Из этого нам понятно, что нужно найти длину. Если сказано, что она на 2 см больше, это значит: 8 +2 = 10 см.- длина прямоугольника. По известной формуле нахождения периметра прямоугольника Р = (а + в)*2
Мы можем найти периметр, т.к знаем ширину и длину данного нам прямоугольника Р = (8 + 10 )* 2 = 36 см.
2 способ: Нам дан прямоугольник, у которого 4 стороны и одна из них равна 8 см, другая на 2 см больше. Значит: 8 + 2 = 10 см- длина прямоугольника.
Сейчас нам известно, что ширина равна 8 см, длина 10 см. В прямоугольнике 4 стороны, две из них равны 8 см, две другие 10 см. Значит,
Р = 8 + 8 + 10 + 10 = 36 см.
3 способ: Мы можем смело заменить 2 способ решения нашей задачи умножив ширину на число 2( т.к. две ширины у прямоугольника) и длину на 2 (т.к две стороны у прямоугольника).
Р = 8 *2 + 10 * 2 = 36 см.
4 способ: А можно найти периметр этого прямоугольника и другим способом:
а = 8 см
в = 8 + 2 см
- 7 -
Р = ( 8 + 10 ) + ( 8 + 10 ) = 36 см, т.е.прибавив ширину и длину прямоугольника дважды. Так можно находить периметр прямоугольника с одной неизвестной стороной.
Задачи на нахождение стороны прямоугольника по известному периметру.
Допустим, нам известен периметр. Он равен 24 см, найти длину, если ширина равна 5 см.
1 способ: Если периметр равен 24 см, ширина 5см, найдем длину. Мы знаем, что периметр равен сумме длин всех сторон, а это значит:
Р = ( а + в ) * 2
В эту формулу подставляем известные величины:
24 : 2 – 5 = 7 см- длина прямоугольника
2 способ: Эту задачу можно решить уравнением. Мы знаем ширину и значение периметра. Зная формулу нахождения периметра Р = ( а + в ) * 2. Значение длины заменим х, тогда получим:
( х + 5 ) * 2 = 24
х + 5 = 24 : 2
х + 5 = 12
х = 12 - 5
х = 7 см - искомая длина прямоугольника.
3 способ: Зная, что ширина прямоугольника равна 5 см, мы можем умножить это значение на 2, потому что у прямоугольника 2 стороны одинаковые.
5 * 2 = 10 см – сумма длин 2 сторон.
А зная, что периметр равен 24 см2, можно найти сумму длин двух других сторон. 24-10=14см
А теперь 14 см поделим на 2 (т.к 2другие стороны одинаковы) Длина прямоугольника равна 7см.
14 : 2 = 7 см.
-8-
4 способ:Зная периметр прямоугольника и одну его ширину, мы можем выяснить, сколько сантиметров приходится на 3 другие стороны. Зная формулу нахождения периметра – сумма длин всех сторон, мы можем составить выражение:
Р= а + в + а + в
24 – 5 = 19 см – приходится на три остальные стороны. Но в прямоугольнике 2 равные длины. Это значит из оставшейся суммы нам надо вычесть еще 5 см и получим:
19 – 5 = 14 см – приходится на 2 другие стороны. И они между собой тоже равны. Получим: 14 : 2 = 7 см – длина прямоугольника.
IV Заключение
Проделав практическое исследование, я нашел кроме известных способов решения геометрических задач, с которыми нас знакомят на уроках математики, 4 , а иногда и 5 способов решения. Значит, геометрические задачи можно решать разными способами, подходя к ним творчески и нестандартно. Конечно, для этого нужно время, но если заниматься этим постоянно и систематически, то поиск способов будет проходить быстрее.
Наше предположение по решению геометрических задач разными способами доказано. Решением геометрических задач можно заниматься и в свободное от уроков время и в любой обстановке. Способы решения можно применять к другим задачам данного вида. Это полезная работа. Она приводит к развитию личностных качеств, развитию мышления, помогает углублению знаний в курсе математики и творчески подходить к решению задач.
Список используемой литературы
1. Беденко М.В. Сборник текстовых задач по математике для 1-4 кл.- М.: ВАКО, 2006 г.- 272 с.- (Мастерская учителя).
2. Изучение трудных тем по математике в 1-3 классах: Из опыта работы учителей г. Москвы (Составила Н.Г.Уткина)- М.Просвещение, 1982-159с.
4.Истомина М.Б. Математика. 3 класс: Учебник для четырехлетней начальной школы.- Смоленск: «Ассоциация 21 век», 2000.- 176 с.
5. Истомина Н.Б. Тетрадь по математике «Учимся решать задачи», 3 класс, М., Линка –Пресс, 2014 г.
6. Лавлинскова Е.Ю. Методика работы с задачами повышенной трудности в начальной школе.- Волгоград: Панорама, 2006-112 с.