I Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

СЧИТАЮЩИЕ ЧЕРТЕЖИ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Старостин И.Е. 1

---

1

Старостина С.А. 1

---

1

Работа в формате PDF

168.1 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение.

Начиная с 8 класса, каждый ученик на уроках геометрии знакомится с таблицей В.М. Брадиса. Умение пользоваться таблицей открывают новые возможности, например, нахождение тригонометрической функции любого угла, возведение числа в квадрат, извлечение квадратного корня...[3]

Листая страницы таблицы, я обнаружил странные рисунки, с помощью которых решаются приведенные квадратные уравнения и уравнения вида

Что это: еще одна математическая загадка или факты, которые уже используются в различных отраслях – этому вопросу я посвятил свое исследование, а проект назвал - "Считающие чертежи".

Хотя геометрические изображения зависимостей между переменными, избавляющие от вычислений, известны давно, но о них знают не все. К ним можно отнести достаточно сложные построения, содержащие семейства линий и шкалы как изображения переменных (встречающиеся, например, в солнечных часах и Астролябиях). Разработка теории номографических построений началась в 19 в. Первой была создана теория построения прямолинейных сетчатых номограмм (французский математик Л. К. Лаланн, 1843). Основания общей теории номографических построений дал М. Окань в 1884—1891 г.; в его же работах впервые встречается название номограмма. Первым в России вопросами номографии начал заниматься Н. М. Герсеванов в 1906—1908 г. Большая заслуга в деле развития теории номографии и организации номографирования инженерных расчётов принадлежит Н. А. Глаголеву, возглавлявшему советскую номографическую школу.[1]

Задачи исследования:

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Изучить виды номограмм и применение их в математике.

3. Продемонстрировать возможности применение номограмм.

Обзор литературы по данной теме:

Изучив литературу по данному вопросу,я пришел к выводу, чтоприменение номограмм широко распространено во всех областях нашей жизни, а вопрос об обосновании номограмм остается интересным для многих.

Цель работы:

Использование номограмм в математике и обоснование построенных номограмм.

Актуальность темы заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека.

Объект исследования: номограмма и её обоснование.

Практическая значимость исследовательской работы:

Думаю, что знания по этой теме будут интересны тому, кто хочет знать о математике больше.

Глава 1. Что такое номограмма?

Глава 1.1. Разберемся с определениями...

Номография - (от греч. nómos — закон) - раздел математики, объединяющий теорию и практические методы построения номограмм — специальных чертежей, являющихся изображениями функциональных зависимостей.

Каждый чертеж номограммы изображает заданную область изменения переменных, а каждое значение изображено на чертеже определенной геометрической фигурой (точкой или прямой). Переменные, связанные такой функциональной зависимостью, находятся в определенном соответствии, что являются общим для номограмм одного и того же вида. [1]

Номограмма - графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью таких операций, как прикладывание линейки, можно получать результат без вычислений.

Не прибегая к математическим терминам можно предложить более простое определение: номогра́мма [от греч. nomos - закон и gramma - черта, запись] - графическое изображение теоретических или эмпирических зависимостей, упрощающее практические расчеты.[1]

Глава 1.2. История создания номограммы.

Несмотря на молодость номографии, как науки, трудно точно указать время ее возникновения. К примеру, логарифмическая линейка Гунтера - это один из образцов номограммы. Однако самой первой и настоящей номограммой, в точном смысле, следует считать номограмму француза Пуше для выполнения операции умножения. Разработки математика были помещены в книгу "Линейная арифметика", которая была опубликована в 1795 году. Этот год можно считать годом рождения номограммы.

Что же представляли собой первые номограммы? Первые номограммы были чертежами, на которых были изображены пересекающиеся между собой сложные кривые и прямые линии.

Победа и утверждение капитализма в Европе (конец XIX и начало XX века) способствовали развитию науки и техники. Технический прогресс в области материального производства, неразрывно связанный с прогрессом прикладных и точных наук, поэтому номограммы стали необходимы в строительстве. Требования к номограммам изменились, они уже стали представлять собой более простые чертежи, потому что сложные кривые были заменены на окружности. Преобразование до более простых чертежей относится к сороковым годам девятнадцатого столетия, и открыл их французский инженер Лаллан, что позволило сэкономить время и труд.

К концу XIX века номограмма стала состоять из кривых и прямых по числу величин, входящих в формулу, примерно к этому времени на кривые стали наносить на них деления.

В развитие номографии большой вклад был внесен французским инженером и математиком Оканем в своем труде "Новые способы графического вычисления" (1884 г.), где взамен прежних номограмм, часто случайно найденных, математические номограммы приведены с доказательством. Само название номографии также было предложено Оканем.

Первым в России вопросами номографии занимался Н.М. Герсенванов, который применял новые математические методы в инженерных расчетах, сделал попытку применения алгебры логики для технических расчетов. Его труды оценило правительство. За разработку и внедрения новых методов строительства в условиях макропористых грунтов (макропористыегрунты, содержащие карбонаты кальция и проявляющие просадочные свойства при замачивании водой под нагрузкой.), Н.М. Герсенванов получил Сталинскую премию (1948 г.)

Большая заслуга в развитии номографии и в организации первой номографической школы принадлежит Н. А. Глаголеву. Номограммы, которые были предложены им, применялись даже в военно-морском флоте и артиллерии. Им был разработан курс монографии на русском языке.

В настоящее время номография получила всеобщее признание во всем мире. Номограммы можно найти в книгах по разным специальностям. Номография за последние годы проникает в различные отрасти науки и техники, существует большая база номографической литературы, специальные курсы читаются в технических ВУЗах.

Но все же трудность в использовании номограмм еще существует, зачастую инженеры предпочитают пользоваться простой логарифмической линейкой. Возможно, преодоление боязни перед номограммами даст возможность сделать новые открытия в этой области.[1]

Глава 2. Чертежи, которые считают сами.

Глава 2.1. Что может рассказать график квадратичной функции.

В 9 классе я изучал тему "Квадратичная функция". Начинается изучение с построения графика функции у=x². Для построения графика этой функции на уроке задавали таблицу значений, используя эту таблицу, строили график - всем известную параболу, с вершиной в начале координат.

В результате построения графика функции у=х² получилась необычная таблица умножения или номограмма (Приложение 1).

Как увидеть таблицу умножения?

Сначала нужно на ветви параболы нанести цифры 1, 2, 3 и т.д., абсциссы которых равны ±1, ±2, ± 3 и т.д.

Например, чтобы узнать произведение 7∙4, достаточно соединить прямой линией точку, отмеченной на правой ветви параболы.[4]

Проверить остальные значения не составило для меня никакого труда. Конечно, нет необходимости рисовать линии, я просто приложил линейку или натянул нитку.

Ясно, что построенная номограмма не представляет никакой ценности, т.к. каждый помнит таблицу умножения наизусть. Начать изучения номограммы я решил с самого простого.

Хотя и номограмма является простой. Каждое математическое утверждение должно иметь доказательство, решению этого вопроса я и посвятил свою исследовательскую работу (Приложение 2).

Глава 2.2. Доказательство номограммы.

Сформулирую задачу: доказать, что на графике функции у=х² выбрать точку А (-m; m²) и В (n; n²), то на оси ОУ существует такая точка D (0; m∙n), точка О (0;0)

Доказательство:

Рассмотрим все возможные случаи:

1. mn

2. m=n

1. Рассмотрим первый случай: mn (Приложение 3)

Опустим перпендикуляр из точек А и В на ось абсцисс: обозначим точки пересечения с положительной полуосью – т. S, а с отрицательной – т. L

Проведем через точку B прямую параллельную оси ОХ: точку пресечения с осью ОУ обозначим т. K, а точку пересечения с отрезком AL – т. V

Очевидно, что KO=VL=n², поэтому AV=AL-VL=m²-n²

Рассмотрим треугольники BFK и BAV. Треугольники являются подобными по первому признаку подобия (∟B-общий, ∟AVB=∟FKB=90̊ ):

Коэффициент подобия равен:

FK==

FO=FK+KO=(mn-n²)+n²=mn

1. Случай n=m очевиден.

Я рассмотрел все случаи, следовательно, утверждение доказано полностью.

Вывод:

1. График функции у=х² является номограммой - таблицей умножения.

2. Номограмма доказана аналитически.

Заключение.

Выполнив исследование по теме «Считающие чертежи», я открыл для себя новый раздел математики.

Раньше я даже не предполагал, что расчет пожарных кранов, расчет давления и мощности газовых горелок, определение физической работоспособности, определение параметров литья под давлением, расчет температур воздуха в помещении и т.д. – это лишь небольшая часть примеров, где без применения номограмм не обойтись.

Разработка и составление номограмм целое искусство: надо не только удачно планировать маршрут по данным, но и выбрать правильный масштаб, чтобы охватить нужный диапазон данных, а это непросто и требует особого навыка.

Скоро я закончу школу, моя будущая специальность будет связана с математическими расчетами, где обязательно найдут применение номограммы.

Список использованной литературы и интернет-ресурсов.

1.  
   1.  
      1.  

         1. Александровский А. М. Математика в терминах. – М.: Просвещение, 2003.-504 с.

         2. Блох Л.С. Курс номографии: Учебное пособие.- М.: Высшая школа, 1971.- 328 с.

         3. Брадис В.М. Четырехзначные таблицы для средней школы. Изд. 57-е.-М.: Просвещение, 1990.-83 с.

         4. Пентаковский М.В. Считающие чертежи.- М: Физматгиз, 1959.- 127 с.

         5. Юрьев Н.П. Счетная техника.- М.: Госстатиздат. 1952.-172 с.

Приложения

Приложение 1. Номограмма на графике функции у=х²

Приложение 2. Доказательство номограммы у=х² (1 случай)

Приложение 3. Доказательство номограммы у=х² (2 случай)