Гравитационная постоянная и ускорение свободного падения

X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Гравитационная постоянная и ускорение свободного падения

Лущиц Р.С. 1
1СОШ №17 г Белебей
Лапкарева Е.Г. 1
1СОШ №17 г Белебей
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

 

Все тела во вселенной, как небесные, так и находящиеся на Земле, взаимно притягиваются. Даже если мы не замечаем притягивания между обычными предметами, которые окружают нас в повседневной жизни (например, между книгами, тетрадями, мебелью и т.п.), то это потому, что оно в таких случаях слабое.

Взаимодействие, свойственное всем телам во вселенной и проявляющееся взаимным притягиванием друг к другу, называют гравитационным, а само явление гравитацией (лат. gravitas – “тяжесть”).

Гравитационное взаимодействие осуществляется с помощью особенного вида материи, который называют гравитационным полем. Такое поле существует вокруг любого тела – планеты, камня, человека или листа бумаги. При этом тело, создающее гравитационное поле, действует им на любое другое тело так, что у того появляется ускорение, всегда направленное к источнику поля. Появление такого ускорения и значит, что между телами возникает притяжение. Для описания гравитации необходимо еще один элемент, это - гравитационная постоянная.

В этой работе Я расскажу, что такое гравитационная постоянная и ускорение свободного падения.

Гравитационная постоянная. Откуда она взялась

Гравитационная постоянная или иначе – постоянная Ньютона – одна из основных констант, используемых в астрофизике. Фундаментальная физическая постоянная определяет силу гравитационного взаимодействия. Как известно, силу, с которой каждое из двух тел, взаимодействующих посредством гравитации, притягивается можно высчитать из современной формы записи закона всемирного тяготения Ньютона:

Здесь:

m1 и m2 — тела, взаимодействующие посредством гравитации

F1 и F2 – векторы силы гравитационного притяжения, направленные к противоположному телу

r – расстояние между телами

G – гравитационная постоянная

Данный коэффициент пропорциональности равен модулю силы тяготения первого тела, которая действует на точечное второе тело единичной массы, при единичном расстоянии между этими телами.

G = 6,67408(31)·10−11 м3·с−2·кг−1, или Н·м²·кг−2.

Очевидно, что данная формула широко применима в области астрофизики и позволяет рассчитать гравитационное возмущение двух массивных космических тел, для определения дальнейшего их поведения.

Работы Ньютона

Примечательно, что в трудах Ньютона (1684—1686) гравитационная постоянная в явном виде отсутствовала, как и в записях других ученых аж до конца XVIII века.

Исаак Ньютон (1643 — 1727)

Ранее использовался так называемый гравитационный параметр, который равнялся произведению гравитационной постоянной на массу тела. Нахождение такого параметра в то время было более доступно, поэтому на сегодняшний день значение гравитационного параметра различных космических тел (в основном Солнечной системы) более точно известно, нежели порознь значение гравитационной постоянной и массы тела.

µ = GM

Здесь: µ — гравитационный параметр, G – гравитационная постоянная, а M — масса объекта.

Размерность гравитационного параметра — м3с−2.

Следует отметить тот факт, что значение гравитационной постоянной несколько варьируется даже до сегодняшнего дня, а чистое значение масс космических тел в то время было определить довольно сложно, поэтому гравитационный параметр нашел более широкое применение.

Эксперимент Кавендиша

Эксперимент по определению точного значения гравитационной постоянной впервые предложил английский естествоиспытатель Джон Мичелл, который сконструировал крутильные весы. Однако, не успев провести эксперимент, в 1793-м году Джон Мичелл умер, а его установка перешла в руки Генри Кавендишу – британскому физику. Генри Кавендиш улучшил полученное устройство и провел опыты, результаты которых были опубликованы в 1798-м году в научном журнале под названием «Философские труды Королевского общества».

Генри Кавендиш (1731 — 1810)

Установка для проведения эксперимента состояла из нескольких элементов. Прежде всего, она включала 1,8-метровое коромысло, к концам которого крепились свинцовые шарики с массой 775 г и диаметром 5 см. Коромысло было подвешено на медной 1-метровой нити. Несколько выше крепления нити, ровно над ее осью вращения устанавливалась еще одна поворотная штанга, к концам которой жестко крепились два шара массой 49,5 кг и диаметром 20 см. Центры всех четырех шаров должны были лежать в одной плоскости. В результате гравитационного взаимодействия притяжение малых шаров к большим должно быть заметно. При таком притяжении нить коромысла закручивается до некоторого момента, и ее сила упругости должна равняться силе тяготения шаров. Генри Кавендиш измерял силу тяготения посредством измерения угла отклонения плеча коромысла.

Для получения точного значения константы Кавендишу пришлось прибегнуть к ряду мер, снижающих влияние сторонних физических факторов на точность эксперимента. В действительности Генри Кавендиша проводил эксперимент не для того, чтобы выяснить значение гравитационной постоянной, а для расчета средней плотности Земли. Для этого он сравнивал колебания тела, вызванные гравитационным возмущением шара известной массы, и колебания, вызванные тяготением Земли. Он достаточно точно вычислил значение плотности Земли – 5,47 г/см3 (сегодня более точные расчеты дают 5,52 г/см3). Согласно различным источникам, значение гравитационной постоянной, высчитанное из гравитационного параметра с учетом плотности Земли, полученной Кавендишем, составило G=6,754·10−11 м³/(кг·с²), G = 6,71·10−11м³/(кг·с²) или G = (6,6 ± 0,04)·10−11м³/(кг·с²). До сих пор неизвестно, кто впервые получил численное значение постоянной Ньютона из работ Генри Кавендиша.

Как определяют массу Земли и других планет

Од­на из пер­вых оце­нок мас­сы Зем­ли по­лу­че­на Г. Ка­вен­ди­шем по­сле про­ве­де­ния опы­та по экс­пе­рименту оп­ре­де­ле­нию уни­вер­саль­ной гра­ви­тационной по­сто­ян­ной. Из­ме­ряя с по­мо­щью кру­тиль­ных ве­сов си­лу при­тя­же­ния ме­ж­ду мас­сив­ным свин­цо­вым ша­ром и под­ве­шен­ным вбли­зи не­го не­боль­шим ме­тал­лическим ша­ри­ком, Ка­вен­диш срав­нил ве­ли­чи­ну этой си­лы с си­лой при­тя­же­ния ша­ри­ка Зем­лёй и су­мел вы­чис­лить, во сколь­ко раз мас­са Зем­ли пре­вы­ша­ет мас­су свин­цо­во­го ша­ра. Та­ким об­ра­зом бы­ла по­лу­че­на оцен­ка мас­сы Зем­ли (6·1024 кг) и её средней плот­но­сти (5,5 кг/м3).

Мас­сы др. пла­нет оп­ре­де­ля­ют по па­ра­мет­рам их ор­бит с по­мо­щью третье­го за­ко­на Ке­п­ле­ра (см. Ке­п­ле­ра за­ко­ны). В обоб­щён­ной фор­ме этот за­кон име­ет вид: 

T21(M☉+m1)/T22(M☉+m2)=a31/a32T12(M☉+m1)/T22(M☉+m2)=a13/a23,

где M☉M☉  – мас­са Солн­ца, 

m1m1 и m2m2 – мас­сы двух пла­нет, 

a1a1 и a2a2 – боль­шие по­лу­оси их ор­бит, 

T1T1 и T2T2 – пе­рио­ды об­ра­ще­ния этих пла­нет во­круг Солн­ца.

Для пла­не­ты, имею­щей спут­ник мас­сой mсmс, дви­жу­щий­ся по пла­не­то­цен­три­че­ской ор­би­те с боль­шой по­лу­осью aсaс и пе­рио­дом об­ра­ще­ния TсTс, этот за­кон при­об­ре­та­ет вид: 

T2(M+m)/T2с(m+mс)=a3/a3с,T2(M+m)/Tс2(m+mс)=a3/aс3,  

где mm – масса планеты, 

aa и TT– её боль­шая по­лу­ось и пе­ри­од об­ра­ще­ния со­от­вет­ствен­но.

Ес­ли в этой фор­му­ле пре­неб­речь мас­сой пла­не­ты по срав­не­нию с M☉M☉ и мас­сой спут­ни­ка по срав­не­нию с мас­сой пла­не­ты, то мож­но по­лу­чить со­от­но­ше­ние, по­зво­ляю­щее оп­ре­де­лить от­но­ше­ние мас­сы пла­не­ты к M☉:m/M☉=T2a3с/T2сa3M☉:m/M☉=T2aс3/Tс2a3. По па­ра­мет­рам ор­бит Зем­ли и Лу­ны бы­ла про­ве­де­на оцен­ка массы Солнца – при­мер­но в 333 000 раз боль­ше мас­сы Зем­ли.

Мас­сы Мер­ку­рия и Ве­не­ры, у ко­то­рых от­сут­ст­ву­ют ес­тественные спут­ни­ки, этим спо­со­бом оп­ре­де­лить не­воз­мож­но. Един­ст­вен­ный и го­раз­до бо­лее труд­ный путь со­сто­ит в ис­поль­зо­ва­нии воз­му­ще­ний (все­гда яв­ляю­щих­ся функ­ция­ми воз­му­щаю­щей мас­сы), ко­то­рые пла­не­та вы­зы­ва­ет в дви­же­нии др. тел Сол­неч­ной сис­те­мы. Зна­чи­тель­но бо­лее труд­ную за­да­чу пред­став­ля­ет оп­ре­де­ле­ние мас­сы Лу­ны. Яв­ля­ясь бли­жай­шим к Зем­ле не­бес­ным те­лом, Лу­на не мо­жет, стро­го го­во­ря, счи­тать­ся спут­ни­ком на­шей пла­не­ты, т. к. Солн­це при­тя­ги­ва­ет её в 2,5 раза силь­нее, чем Зем­ля. Во­круг Солн­ца об­ра­ща­ет­ся т. н. ба­ри­центр (центр масс) двой­ной пла­не­ты Зем­ля–Лу­на, в то вре­мя как обе они опи­сы­ва­ют от­но­си­тель­но ба­ри­цен­тра эл­лип­тической ор­би­ты с пе­рио­дом в 1 ме­сяц. По­это­му мас­су Лу­ны мож­но вы­чис­лить по ве­ли­чи­не ме­сяч­но­го сме­ще­ния Зем­ли от­но­си­тель­но ба­ри­цен­тра. В точ­ных ас­тро­но­мических на­блю­де­ни­ях дол­го­ты Солн­ца про­яв­ля­ет­ся т. н. лун­ное не­ра­вен­ст­во, сви­де­тель­ст­вую­щее о том, что центр Зем­ли в те­че­ние ме­ся­ца опи­сы­ва­ет эл­липс с боль­шой по­лу­осью, рав­ной при­мер­но 3/4 ра­диу­са Зем­ли. По­след­нее оз­на­ча­ет, что ба­ри­центр сис­те­мы Зем­ля–Лу­на все­гда рас­по­ла­га­ет­ся внут­ри Зем­ли и ни­ко­гда не вы­хо­дит за пре­де­лы её по­верх­но­сти. Оп­ре­де­лён­ная по этим дан­ным мас­са Лу­ны со­став­ля­ет около 1/81 мас­сы Зем­ли.

Мас­сы всех пла­нет Сол­неч­ной сис­те­мы вхо­дят в чис­ло фун­даментальных ас­тро­но­мических по­сто­ян­ных, зна­че­ния ко­то­рых ре­гу­ляр­но уточ­ня­ют­ся на ос­но­ве всей со­вокуп­но­сти ас­тро­но­мических на­блю­де­ний и утвер­жда­ют­ся Ме­ж­ду­на­родным ас­тро­но­ми­ческим сою­зом.

Ускорение свободного падения

С ускорением свободного падения (g) знаком каждый, кто изучал физику в школе или колледже или хотя бы раз подпрыгивал. Но не все знают, что точное значение величины может быть больше или меньше 9,8 метров, делённых на секунду в квадрате. Эти расхождения не имеют особого значения для разбора школьных задач, которыми часто злоупотребляют, но крайне интересны для понимания природы вещей.

Вот только оказалось, что величина ускорения свободного падения у поверхности планеты не везде одинакова - она зависит от плотности участка планеты и скорости её вращения. Если бы Земля являлась неподвижным идеальным геометрическим телом с равномерным распределением вещества внутри, тогда в любой её точке ускорение падающих тел было бы одинаковым. На деле всё не так, ведь благодаря движению планеты, вклад в величину g вносит и центростремительное ускорение поверхности.

Точные измерения показали: экваториальный и полярный радиусы Земли отличаются на 22 километра. Так же с разной скоростью двигаются точки, лежащие в экваториальных и полярных областях. Поэтому падая вблизи экватора, тело двигается с ускорением 9,79 метров, делённых на секунду в квадрате, на полюсах величина достигает 9,82.

Значение меняется в зависимости от состава и массы пород в том или ином месте планеты. По величине g можно судить о наличии залежей полезных ископаемых или о пустотах в земных глубинах.

Эти незначительные отклонения от средней цифры в 9,8 демонстрируют, как сложно устроена наша планета и как могут быть далеки от реальности наши представления о мире, на поверхности которого живёт человечество.

Формулы для расчета радиуса, скорости орбитального движения и периода планет.


При расчетах используются величины:
- радиус орбиты  R (при условном круговом движении)     в   а.е.
- период     T  (земной год)         
- орбитальная скорость   V  а.е./год
1. Соотношение радиуса и скорости.
Произведение радиуса и квадрата скорости для всех планет одинаково.
R * V2    =    const   
(получается от преобразований третьего закона Кеплера:  R3/ T2  const)      
R V2     =       R V2   - для  разных радиусов обрит  разных планет и разных радиусов кривизны одной планеты.
производим вычисления:
для Земли    -            1 х 6.28 х 6.28 / 1   = 39.434   
где   V  -  2х 3.14 х R  /  T       

     2 х 3.14  х  1 :  1 = 6.28 а.е. /год
       для Марса   1.532  х  5.07 х 5.07   =  39.379
       скорость для марса : 2 х 3.14  х 1.52  : 1.88 =   5, 07 а.е. / год
       радиус орбиты  Марса взят средний - он колеблется от 1.405 (перигелий)   до 1.693 (афелий)
     для Юпитера 5.2  х 2.75 х 2.75 = 39.325
скорость 2 х 3.14 х 5.2   :  11.86 = 2.75  а.е. / год
2. Соотношение радиуса и периода.


Для вычисления периода по радиусу орбиты  можно использовать следующую формулу:
Радиус, умноженный на корень квадратный из радиуса,  дает период.
(Если единица измерения радиуса -  а.е.
то период получается в земных годах.)
получается, что для каждой планеты есть некое число, которое умноженное на себя дает радиус орбиты, а умноженное на себя еще раз - дает период.
Для Марса это число примерно 1.232, для Юпитера 2.28, для Урана 4.38,
для Плутона 6.26  , для Венеры 0.85


  Получается числовой ряд планет:


Меркурий    0.62     0.387    0.24
Венера      0.85     0.723    0.615
Земля      1          1       1 
Марс       1.232     1.52    1.88
Юпитер      2.28       5.2      11.86
Сатурн     3.09      9.58    29.6
Уран       4.38       19.18   84.048


где: первое это некое базовое число;

второе радиус;

третье период.


зависимость:1 - число, 2-  число возведенное в квадрат, 3- возведенное в куб.
Базовое число планеты - соотношение скоростей  Земли и планеты.
А соотношение скоростей Земли и планеты  получается из соотношения  квадратных корней радиусов этих планет.
Теперь, если взять, например, орбитальную скорость Земли за единицу,
то орбитальная скорость Земли относительно скорости Марса  1.2328.
тогда: радиус обриты Марса есть  1.2328 х 1.2328 = 1.52  а.е.
а период орбиты Марса 1.52 = 1.2328 = 1.8739 в земных годах
что  в упрощенной записи :


Vз   :  V м       (Vз :V м ) 2 =  R   (Vз :V м ) 2 х  R      =  T
или  n , далее n в квадрате и n в кубе.
где  n   Vз :V м  - отношение скоростей Земли и Марса.
   3.      R  V2
R  V2    =    const    (получается от преобразований третьего закона Кеплера)   


    Квадрат движения.


  Для понимания сути движения планет интересно сделать ещё и такое построение. Все планеты СС одновременно движутся по своим орбитам. Если взять некий общий отрезок времени, то каждая из планет пройдет за это время по орбите своё расстояние. Если на основе этого расстояния,  построить  квадрат, то площадь этого квадрата для каждой планеты будет пропорциональна орбитальной скорости. И, если площадь этого квадрата умножить на радиус орбиты, то для всех планет получится одинаковое число, выражающее объём. И получиться некая константа трехмерного пространства.

  Это можно выразить так:

Квадрат расстояния пройденной каждой планетой за общую единицу времени обратно пропорционален радиусам их орбит или произведение радиуса обриты на квадрат расстояния для всех планет  за общую единицу времени есть величина одинаковая.

  Период соединения.

Есть ещё одна формула которая позволяет вычислить через какое время произойдет соединение планет планеты.

Т1 х Т2  /  Т2-Т1 
   

6. И, конечно, каждая планета за одну единицу времени проходит угол (сектор), который по отношению к земному, обратно пропорционален периодам. Формулы могут применяться и для расчета параметров движения спутников.
Заключение

Падение тел впервые исследовал Галилео Галилей, который экспериментально доказал: причина того, что легкие тела падают с меньшим ускорением, — сопротивление воздуха; при отсутствии воздуха все тела — независимо от их массы, объема, формы — падают на Землю с одинаковым ускорением. Более точные эксперименты провел Исаак Ньютон, изготовив для этого специальное устройство — трубку Ньютона. Эксперименты показали: в вакууме свинцовая дробинка, пробка и птичье перо падали одинаково (а), в воздухе перо безнадежно отставало (б).

Движение тела только под действием силы тяжести называют свободным падением.

При свободном падении сила тяжести, действующая на тело, никакой силой не скомпенсирована, поэтому согласно второму закону Ньютона тело движется с ускорением. Это ускорение называют ускорением свободного падения и обозначают символом g.

Гравитационная постоянная численно равна силе, с которой две материальные точки массой1 кг каждая взаимодействуют на расстоянии1 м друг от друга(если m1 = m2 = 1 кг, а r = 1м, то F = 6,67 10-11 Н).

Гравитационная постоянная и ускорение свободного падения участвуют в описание закона всемирного тяготения который позволяет описать большое количество явлений, в том числе движение естественных и искусственных тел в Солнечной системе, движение двойных звезд, звездных скоплений и др. В астрономии, опираясь на этот закон, вычисляют массы небесных тел, выясняют характер их движения, строение, эволюцию.

 

Список используемых источников и литературы:

Наука. Величайшие теории: выпуск 2: Самая притягательная сила природы. Ньютон. Закон всемирного тяготения./Пер. с исп.- М.:Де Агостини, 2015. – 168 с.

Наука. Величайшие теории: выпуск 1: Пространство это вопрос времени. Энштейн. Теория относительности. /Пер. с исп.- М.:Де Агостини, 2015. – 176 с.

Наука. Величайшие теории: выпуск 4: Танцы со звездами. Кеплер. Движение планет./Пер. с исп.- М.:Де Агостини, 2015. – 160 с.

Наука. Величайшие теории: выпуск 13: Вселенная работает как часы. Лаплас. Небесная механика./Пер. с исп.- М.:Де Агостини, 2015. – 168 с.

Наука. Величайшие теории: выпуск 46: Чистое притяжение. Кавендиш. Гравитационная постоянная./Пер. с исп.- М.:Де Агостини, 2015. – 176 с.

 

Просмотров работы: 75